Функция напряжений для этих касательных напряжений

В случае синхронного и синфазного изменения всех случайных компонент тензора напряжений расположение опасной площадки можно считать известным. Оно совпадает с расположением площадки, в которой расчетное напряжение достигает максимального значения. Остается лишь выбрать расчетное напряжение, которое является в этом случае одномерной случайной функцией времени, и применить соответствующие формулы для расчета усталостной долговечности, приведенные в 13—15. Характеристики сопротивления усталости определяются в соответствии с выбранным расчетным напряжением. Если, например, за расчетное напряжение принимается октаэдрическое касательное напряжение, то [c.166]

При помощи этих общих формул особенно просто решается задача о распределении напряжений в клине (рис. 33), подвергающемся действию нормальных и касательных усилий, приложенных по граням О А и ОВ, если только интенсивности этих усилий могут быть представлены целыми алгебраическими функциями г. Составляя при помощи функции напряжений (69) формулы для напряжений 00 и К) и располагая их по возрастающим степеням г, будем иметь [c.101]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

УП-64), где Аа — сложная, функция скорости. Прандтлю удалось заменить коэффициент Аа величинами, имеющими более простую зависимость от скорости. Рассмотрим вывод формулы для определения касательного напряжения в турбулентном потоке, предложенный Прандтлем, на примере течения в прямоугольном канале. В этом простом течении выполняются следующие условия для составляющих осредненной скорости (рис. 11-9) [c.154]

Формулу для определения наибольших касательных напряжений можно получить путем анализа на экстремум функции (с , с полного касательного напряжения, действующего на произвольно выбранной площадке. При этом целесообразно сначала найти главные площадки, совместить оси координат с направлением действия главных напряжений и использовать формулу [c.46]

Каждой из функций, входящих в (1.24), соответствуют радиальные напряжения Ог и касательные напряжения Тгв на краях отверстий выражения для Ог и Тгв состоят из главного члена и бесконечного ряда. Главный член определяет напряжение, которое вызывается функциями Fgs и Для того, чтобы записать разложение Ог и Тго на контуре окружности в ряд Фурье, необходимо представить рядом Фурье каждую из функций и , йп, t/n и и . Эти ряды легко выписать. Так, например, ряд для функции /г (s> 1) имеет вид [c.230]

Это сжатие тем меньше, чем дальше отстоит рассматриваемая точка от острия клина и чем больше угол 0. Нормальное окружное и касательное напряжения равны нулю. Для рассматриваемого элемента примем функцию напряжений [c.45]

Касательные напряжения в этом выражении являются функцией момента внешних сил М и относительного угла закручивания а, кривую зависимости которых получают опытным путем (рис. 68). Угол а связан с деформацией сдвига простым соотношением (Х.5), по которому можно построить кривую деформации чистого сдвига для нахождения предела текучести и определения крутящих моментов при кручении стержня, обладающих при деформации упрочнением (рис. 69). Результаты опытов по- [c.120]

Предположим теперь, что линия дислокации лежит в плоскости хз = О и вектор Бюргерса находится в тон же плоскости и направлен по оси x-i. Определим касательные напряжения в плоскости дислокации для большинства приложений только эти напряжения представляют интерес. В ходе вычислений нам понадобятся производные от перемещений ui, 3, з, i, 2, з и из, 2. Для нахождения производных от составляющих вектора и мы воспользуемся тем обстоятельством, что функция ф = —Q/(4n) представляет собою потенциал скоростей в неограниченной жидкости при наличии вихревой нити единичной интенсивности. Скорость жидкости выражается при этом формулой Еио — Савара [c.465]

Опыт показал, что режим течения в пограничном слое может быть ламинарным или турбулентным интегральные соотношения оказываются пригодными для обоих режимов течения, однако вид функций Wx = f y), способ их выбора, а также метод определения касательных напряжений (правая часть интегральных соотношений) будут различными для ламинарного и турбулентного режимов течения. Поэтому решение интегральных соотношений для этих двух режимов течения рассмотрим раздельно. [c.114]

Соотношения полуэмпирической теории турбулентности. Прандтль предложил более удобную формулу для определения турбулентного касательного напряжения по сравнению с (7.53), где —сложная функция скорости. Прандтлю удалось заменить коэффициент величинами, имеющими более простую зависимость от скорости. Рассмотрим вывод формулы для определения касательного напряжения в турбулентном потоке, предложенный Прандтлем, на примере течения в прямоугольном канале. В этом простом течении выполняются следующие условия для составляющих осредненной скорости (рис. 7.10) [c.132]

НИИ известны все компоненты тензора деформаций. В случае свободной поверхности в локальной системе координат, связанной с точкой поверхности тела, в которой одна ось ( з) совпадает с нормалью к поверхности, а две другие (sj и ij) — с касательными к линиям кривизны поверхности, три компоненты тензора деформаций получаются непосредственно из изме-рений(ец, 22, е 12), одна ( 33) - из закона Гука, а две остальные (ei з, баз) равны нулю. Для соответствующего тензора напряжений отличными от нуля компонентами являются i, ffa 2. 2 В этих случаях естественно и целесообразно установить связь искомого вектора напряжений на Z, не с компонентами вектора перемещений, а с тензором напряжений на S. Для этого определим тензор функций напряжений Грина s, х), соответствующий тензору перемещений (j, х) [c.67]

На рис. 20 приведена зависимость функции G"a (0) для т] = О, характеризующей касательное напряжение на стенке канала. С увеличением относительной амплитуды колебания скорости внешнего потока и уменьшением числа Sh трение на поверхности увеличивается. При этом данные, полученные по методу, изложенному в работе [67 ], с погрешностью 0,5—3% совпадают с приведенным выше расчетом методом последовательных приближений. [c.95]

На рис. 7 представлены изолинии функции Гтах( , п) Для двух значений плотности расположения контактных зон при взаимодействии шероховатого индентора с вязкоупругим слоем, лежащим на упругом основании. Контактное давление на периоде приложено внутри интервала (—1,1) на оси О . Сравнение полученного распределения максимальных касательных напряжений для случая // = О и малой плотности расположения контактных зон (рис. 7 а) с решением для упругой полуплоскости (задача Герца) позволяет заключить, что наличие вязкоупругого слоя приводит к несимметричному по отношению к оси симметрии контактной зоны распределению напряжений Гтах(С )- С увеличением значения (при сохранении величины . осп) точка ( , г/ ) максимума функции Гтах(С) V) приближается к границе (значение г т уменьшается) и величина Тщах уменьшается [8]. В присутствии вязкоупругого слоя максимальное значение функции Ттах(С П) ДО" стигается па границе г)т = 0) при более высоком значении коэффициента трения по сравнению со случаем контакта двух упругих тел. Заметим, что при этом вязкоупругий слой оказывает существенное влияние на контактные характеристики (см. рис. 2 и 3) и, следовательно, на внутренние напряжения. [c.288]

Решение плоской задачи для полосы, ослабленной двумя рядами расположенных в шахматном порядке одинаковых круговых отверстий, было получено Лингом [3.19]. Используя метод многократного зеркального отражения полосы (рис. 6.15, а) на систему полос, заполняюш,их всю плоскость, автор сводит задачу построения функции напряжения для полосы к построению функции, регулярной в полученной путем отражения области О (рис. 6.15,6), Последняя представляет собой главную часть функции напряжения, имеющую особенности в центрах отверстий. К этой главной части добавляется некоторая бигармопиче-ская функция, дающая возможность выполнить условия отсутствия нормальных и касательных напряжений на боковых гранях полосы. [c.258]

Схема напряженного состояния. Поковки, получаемые в ре зультате выдавливания — обратного и прямого, радиального и редуцирования, в большинстве представляют собой тела вращения с осевой симметрией. Заготовки, предназначенные для получения этих поковок, также обладают осевой симметрией. Приложение внешней нагрузки и течение металла при этих операциях также сохраняют осевую симметрию. Следовательно, схема напряженного состояния в произвольной точке заготовки на стадии свободного истечения является осесимметричной, рассматриваемой в цилиндрической или сферической системе координат. При этом касательные напряжения в меридиональных площадках в условиях осесимметричного напряженного состояния равны нулю, т. е. Гp0=t20—toг="0 а все остальные напряжения не должны зависеть от координаты 0, т. е. Зр=Ср(р, г) 0 = (рэ-2 ) а =а (р, z) и Грг Грг(ру г). Для вьшол 1ення условий осесимметричного течения необходимо, чтобы скорость течения г7е=0, а скорости течения г7р и были функциями координат Р, г, т. е. Ур=г7р(р, 2) и г7г = г г(р, г). [c.15]

Остается найти положение площадки действия максимального касательного напряжения и его значение. Схема исследования аналогична применявшейся для определения главных напряжений дифференцируем выражение для Ха, приравниваем нулю произвольную, находим тангенс угла, определяющего положение площадок действия Ттак, и убеждаемся, что этот угол (обозначим его 01) отличается на 45° от оо. Поставив О) в выражение для Та и выразив функции этого угла через Стг и тг, получим формулу [c.158]

Теперь оказывается возможным перейти к рассмотрению задачи, когда нагружение (осуществляемое лишь нормальными усилиями) не является осесимметричным. Для этого следует обратиться к формулам (1.27), положив в них ст (0) = б(0), т. е. рассмотреть задачу, когда в полюсе приложена сосредоточенная сила. Тогда, просуммировав эти решения по всей сфере, можно получить интегральное представление решения в случае произвольного нагружения нормальными силами (которые можно рассматривать как своего рода функцию Грина). Поскольку же задача внутренняя, то подобный прием нуждается в корректировке. Дело в том, что в этом случае нагружение оказывается неуравновешенным и формально полученное решение становится лишенным смысла. Необходимо приложить какую-либо компенсирующую нагрузку (которая на заключительном этапе построения решения автоматически устраняется из-за условия самоурав-новешенности внешних сил). Можно приложить, например, в центре компенсирующую сосредоточенную силу. Правда, тогда решение будет иметь особенность в начале координат, но она уничтожается при суммировании. В уже упомянутой работе [7] предложен иной путь компенсирующая нагрузка представляется в виде суммы массовых сил, равномерно распределенных по объему и направленных по оси г, и некоторого решения, компенсирующего касательные напряжения. Тогда решение [c.340]

Если закон деформирования задан графиком функции ф(е), то значение деформации, при котором происходит потеря устойчивости, можно найти графически. Для этого из точки, лежащей на оси е на расстоянии —1 от начала координат (рис. 4.13.1), нужно провести касательную к диаграмме а е. Абсцисса точки касания определит критпческую деформацию. На том же рисунке штрихами построен график зависимости условного напряжения от деформации при е > бк условное напряжение, т. е. растягивающая сила, уменьшается [c.145]

Формулы (11.1.5) представляют перемещения в упругом теле через четыре гармонические функции. Однако в общем случае в граничных условиях фигурируют комбинации этих функций, и воспользоваться известными решениями задач теории гармонических функций, как правило, не удается. Однако в некоторых случаях задача теории упругости сводится к той или иной задаче для уравнения Лапласа таким образом, удается построить эффективные решения. Одной из таких задач служит задача об упругом полупространстве. Пусть упругая среда занимает область пространства а з [О, °°), плоскость а з = О является границей, на которой заданы те или иные условия. Здесь мы ограничимся изучением наиболее простого случая, когда на граничной плоскости равны нулю касательные напряжения Оаз (а = 1, 2). В этом случае, как будет показано, все перемещения и напряжения выражаются через одну гармоническую функцию. Условимся сохранять индексные обозначения только для осей Xi и Х2, ось Хз, будем обозначать как ось z. Как уже было прппято ранее, [c.368]

ОНО имеет в точках, определяемых координатами T = th = Когда эллипс очень узок, эти значения весьма велики и точки, в которых они действуют, близки к концам большой оси. Имеются решения для эллиптического отверстия в пластинке, находящейся под действием чистого изгиба в своей плоскостии параболического распределения касательных усилий, которое возникает в тонкой балке прямоугольного сечения ), для эллиптического отверстия с равными и противоположными по знаку сосредоточенными силами, приложенными по концам малой оси ), а также для жесткого и упругого включений, заполняющих отверстие в растянутой пластинке ). Рассматривались и более общие виды решений в форме рядов для действительной функции напряжений ф в эллиптических координатах ). Эквивалентные им комплексные потенциалы можно построить из функций, использованных или упомянутых здесь вместе с аналогом простых функций, приведенных в задачах на стр. 197, если необходимо учесть влияние дислокаций, а также сосредоточенных сил и моментов. Решение для общего случая нагружения эллиптического отверстия дается позже в 67—72. [c.204]

Чтобы найти частные производные этой функции напряжений, представим себе гладкую поверхность, координаты которой в узловых точках имеют вычисленные значения. Наклон этой поверхности в любой точке даст нам соответствуюш,ее приближенное значение касательного напряжения при кручении. Максимальные напряжения действуют в серединах сторон контура сечения. Чтобы получить некоторое представление о точности, которой можно добиться с принятым малым числом узловых точек сетки, найдем вызванные кручением напряжения в точке О (рис. 2). Для получения необходимого наклона рассмотрим некоторую гладкую кривую, имеющую в узловых точках на оси л вычисленные значения а, р и 7. Эти значения, деленные на /4G0б приведены во второй строке табл. 1.1. Остальные строки таблицы дают значения конечных разностей последовательно возрастакщего [c.519]

Величина сдвига равна 1г у) = и у). Следовательно, касательное напряжение 5(й) постоянно вдоль любого волокна у = onst. Полное касательное усилие, действующее вдоль каждого из этих отрезков, составляет LS(k) и для равновесия должно быть равно / —касательному усилию, приложенному к верхней плите. Таким образом, если функция S k) однозначна, то величина сдвига k должна быть постоянной, а поле деформаций описывается формулами [c.309]

Пек и Гёртман рассматривали полубесконечную среду, ограниченную плоскостью Xi = 0 и нагружаемую равномерно распределенным по границе нормальным давлением. Зависимость внешнего давления от времени выбиралась в форме ступеньки— единичной функции Хевисайда. Касательные напряжения на границе не задавались вместо этого при Х = 0 было наложено требование равенства нулю перемещений, параллельных осям Xi и лгз. Подобные смешанные граничные условия обычны для задач о механических волноводах, поскольку они позволяют построить решение путем наложения бесконечных синусоидальных волновых пакетов. Было найдено точное решение для компоненты dujdxi тензора деформаций в виде суперпозиции синусоидальных мод — бесконечной суммы интегралов Фурье по бесконечным интервалам. Асимптотическое приближение к точному решению для больших значений времени и больших расстояний было построено при помощи метода перевала. [c.372]

Пусть нам известны главные площадки в точке С напряженного тела. Свяжем с телом систе ly координат xyz, расположив начало в точке С и направив оси пёрпендикулярно главным площадкам (ось г — перпендикулярно площадке с нулевым главным напряжением). Теперь проведем через эту же точку тела произвольно площадку с нормалью V, направляющие косинусы которой в системе осей хуг суть I, т, п (п = Q — площадка нормальна главной с нулевым напряжением). Полное напряжение на этой площадке р ., а нормальная и касательная его составляющие суть и Найдем такую ориентацию этой площадки (т. е. найдем такие I и т), при коюрой Tv достигает своего максимума. С этой целью составим выражение для Tv в функции от / и т. Так как вектор полного напряжения / v равен геометрической сумме составляющих Ov и для Tv имеем формулу на основании теоремы Пифагора [c.400]

Введена величина Z, которая является функцией касательных напряжений, прило/кенпых к поверхности раздела фаз. Допущение о том, что эта функция имеет постоянную величину во всем диапазоне режимов, исследованных Локкартом и Мартинеллн, дает хорошее совпадение расчетных и измеренных значений градиента давления. Приведены частные случаи общего уравнения для расчета градиента давления при кольцевом режиме течения и нрн режиме течения такого потока, который можно рассматривать как однородный. Для этих случаев Z имеет вполне определенное значение. Для использования в инженерной практике рекомендованы упрощенные уравнения. [c.144]

При выводе этого уравнения принималось столько упрощающих допущений, что оно должно быть всесторонне проверено путем сопоставления с опытными данными. Такие данные имеются, причем весьма обширные [Л. 2]. Уравнение (11-20) превосходно согласуется с этими данными, хотя оно должно давать ошибочные результаты в области ступенчатого изменения температуры поверхности, поскольку тепловой пограничный слой здесь целиком находится в подслое, где принято искусственное выражение для ет- Решение, близкое к точному, для этой области можно получить путем непосредственного интегрирования дифференциального уравнения энергии. Течение здесь почти ламинарное следовательно, профиль скорости приблизительно линейный и потому является известной функцией местного касательного напряжения на стенке (см. вывод уравнения (10-12) в гл. 10 или решение Лайтхилла [Л. 3]). [c.291]

Н. Кёрл 1[Л. 157] развил метод расчета пограничного слоя при симметричном поперечном обтекании цилиндра. Он использовал идею Л. Хоуарта об ограничении рядО(В в выражениях для ll), и, Тш определенным числом членов и введения в эти выражения функций Л( ) и В(г)) для учета влияния остальных членов. Изменение скорости Ui x) принято в виде (2-67). Для функции тока, распределения скорости в пограничном слое и касательного напряжения на стенке сохранены соотношения (2-68), (2-69) и (2-71). На примере изменения скорости u x) по закону u x)=fn — ) Н. Кёрл показал, что ряды (2-68), (2-69) и (2-71) можно ограничить первыми шестью членами. Отрыв пограничного слоя доллсен наступить (при 0,бб. При этом значении ряд (2-71) принимает вид (Лм/Лг/), ,=0,8135— —0,8331-4-0,0896—0,0033—0,0073—0,0064. [c.70]

Независимо от внешнего потока равновесный слой с линейным распределением касательного напряжения (7-18) является автомодельным с масштабом длины Ти./а и масштабом скорости н, а течение в целом может быть автомодельным, если те же самые масштабы являются подходящими для автомодельного развития внешнего потока. Такое требование представляет собой сильное ограничение для движения в пограничном слое, если хотя бы одна из величин (касательное напряжение на стенке Ти или градиент давления 1р1йх) не будет пренебрежимо малой. Если это последнее условие удовлетворяется точно или приближенно, описание слоя может быть получено из уравнения осредненного движения через функцию распределения скорости, форма которой приведена в предыдущем параграфе. Хорошее приближение к ней во внешнем потоке можно получить при следующих допущениях. [c.192]

Касательное напряжение на стенке можно рассматривать как известную функцию и принять, что входящая в уравнение (10-6) функция Ф определяется формой профиля скорости. Опытные данные в таком случае используются для выражения функции Ч " через 2 и С/ или Ке . В [Л. 187, 206, 285, 294, 347], исходя из этих предположений, получены дополнительные уравнения.В первых двух работах иепользованы интегральные уравнения количества движения и момента количества движения. В (Л. 285] в качестве исходного принято видоизмененное интегральное уравнение кинетической энергии оно рассмотрено совместно с логарифмическим законом стенки, зависимостью формпараметра Я от Я и С/ и значениями интеграла диссипации [Л. 89], где Я = е/0 — второй формпараметр профиля скоростей. [c.277]

При первоначальном расчете скорости v и касательного напряжения t было найдено, что некоторые члены, включающие в себя полные производные искомой функции / уравнения (1), могут быть объединены весьма простым путем. Данный раздел следует начать с более детального рассмотрения уравнения количества движения с целью определения условий, которые приводят к формуле (9), описывающей распределениз касательного напряжения в жидкости с постоянной плотностью. Для этого удобно представить зависимую переменную и в уравнении (3) в безразмерном виде [c.142]

При перекрестных потоках, например при движении жидкости в горизонтальном направлении и газа (пара) в вертикальном, что имеет место в тарельчатых колоннах, создаются благоприятные условия для вих-реобразований на границе раздела фаз. В этом случае результирующая сила движения действует под некоторым углом к горизонтали в направлении потока жидкости, вызывая появление значительных касательных напряжений на границе раздела фаз. Угол, под которым эта сила действует, зависит от формы и типа тарелок, от направления кинетической энергии жидкостного и газового потоков. В зависимости от этого угла энергия жидкости накладывается на поток образуемой пены или парожидкостной эмульсии так, что высота пены и парораспределение вдоль тарелки являются функцией этого угла. [c.152]

Если изотермическое течение происходит в отсутствие массовой силы [F = 0), то при Л1 = О имеем для завихренности 2 ) = <т,2 /Это означает, что вихрь скорости прямо пропорционален вязкому касательному напряжению, если жидкость либо ньютоновская либо вязкоупругая с оператором субстанциональной производной в реологическом уравнении состояния. Линейная связь со и г,, для некоторых изотермических и неизотермнче-ских течений ньютоновских и вязкоупругих жидкостей была отмечена ранее в п. 1.2.3 (рис. 1.1), и. 1.5.1 (рис. 1.14), п. 1.5.2 (рис. 1.18), п. 2.1.1 (рис. 2.1). Если релаксация вязких напряжений отсутствует у - 0), и жидкость нелинейно-вязкопластичная (1.8), то в классе движений (2.57)-(2.59) зависимость т,2 =т,2((у) - дробно-степенная функция [c.76]

Релаксация теплового потока существенно перестраивает температурное поле (рис. 2.30). Т и q становятся немонотонными функциями касательного напряжения. Увеличение меняет количественные характеристики гидродинамического и теплового полей особенно сильно это влияние при /з > О, Если 1, 5 0 ив у-области давление переменное, то решение может быть получено в квадратурах, а для частных значений числа Маха (папри-мер, Л/ =0,5 2) - в элементарных функциях. Условие того, что Ф <0 совпадает с изобарическим случаем. [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...