Сходимость итераций

Достаточные условия сходимости итерации (1.79) заключаются в следующем. Если на множестве К векторов х таких, что р(х, — решение системы (1.78)], система функций [c.30]

Система (7.45) является нелинейной системой уравнений относительно a,(n+i), t=l, 2,..., N. Решение ее методом простой итерации нецелесообразно, так как условия сходимости итераций приводят к ограничению на шаг h (hxx) такому же, как при использовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой-либо иной метод, например метод Ньютона с переменной матрицей Якоби D, элементами которой являются dfi/dak- Эту матрицу удобно находить, используя аналитические выражения для производных dfi/dak. Неизвестные адп+1) находят итерациями по формуле [c.207]

Предложен ряд мер, обеспечивающих быструю сходимость итераций к решению. При вычислениях по формуле (7.46) около 90% времени расходуется на расчет компонент матрицы D и ее обращение. Поэтому основная экономия может быть получена при вычислении обратной матрицы В связи с этим матрица вычисляется в точке +1 только в первых двух итерациях, после чего фиксируется и последующие итерации проводятся с неизменной матрицей Более того, матрица D вычисленная в точке л+1, используется для нахождения решения по формуле (7.46) в точках /г-t-2, и + 3 и т. д. Вычисление новой матрицы в точке n + k производится только тогда, когда число итераций, потребовавшихся для сходимости к решению с [c.207]

Очевидно, что для схемы, составленной только из радиационных теплообменников и трубопроводов, точное решение достигается уже на первом шаге итерации. Так же за один шаг выполняется решение системы уравнений для парогенератора с конвективными теплообменниками, если они соединены по прямоточной схеме. Итерационный процесс возникает при противоточной или смешанной схеме соединения теплообменников по газовому тракту, которая характерна для современных крупных парогенераторов. Однако общее число итераций обычно невелико, итерационный процесс сходится быстро, поскольку связи через газовый тракт относительно слабее связей теплообменников по паровому тракту. По мере возрастания частоты скорость сходимости итераций увеличивается, поскольку уменьшаются значения модулей передаточных функций по всем каналам. [c.157]

Для улучшения сходимости итераций Зейделя вводится множитель со (ускоряющий множитель Либмана) [c.126]

Вычислительный процесс стартует с начального приближения Х,, и в случае сходимости итераций заканчивается, когда погрешность, оцениваемая как [c.105]

Отметим существенно отличие контактного краевого эффекта от обычного краевого эффекта цилиндрической оболочки, для которого из соотношения (II 1.32) при k = О получаем известную формулу Ро = 1.285 (/ /г) . Ширина зоны здесь в VWh раз больше. Искусственное уменьшение коэффициента к способствует ускорению сходимости итераций (см. параграф 3 главы III). Выясним, как это отразится на характере всплесков контактного давления у границы зоны контакта и скорости изменения решений. Приведем выражение (111.32) к виду [c.59]

Заключительные замечания. Линеаризация является очень полезной процедурой для представления источникового члена, зависящего от температуры. Она позволяет предугадывать изменения источникового члена, соответствующие изменениям температуры. Однако, чтобы избежать возможной расходимости, мы не используем формулировки, которые могут привести к положительным значениям Sp. Существует большая свобода в выборе конкретных формул для коэффициентов 5с и Sp, обеспечивающих условие 5/,<0 и соответствие (при сходимости итераций) рассчитанного по (2.84) источникового члена заданной функции 5 =j T). [c.53]

Численное решение п-зонной задачи мы проиллюстрируем на примере системы уравнений, записанной, как это обычно делается, в блочном виде (см. гл. 3), где каждая строка блоков отвечает отдельной зоне. Данная матрица является более плотно заполненной, чем это обычно требуется для применения итерационных методов кроме того, хотя все ее диагональные элементы больше остальных в каждой строке, она не обязательно имеет диагональное преобладание, и поэтому сходимость итераций не может быть гарантирована. Такую систему уравнений, следовательно, лучше всего решать методом непосредственного исключения. [c.420]

По формулам (31) получаем оценку на область сходимости итераций /iq = 0,1, при этом погрешность формулы (44) не превосходит 0,1/i. [c.417]

Основные характеристики итерационного метода — сходимость итераций и скорость сходимости к точному решению X. Выражение (2.14) сходится, если для любого начального приближения Хо [c.35]

Особенность метода состоит в том, что в ближайшей окрестности решения X всегда выполняются условия сходимости итераций <1. Для практической реализации метода необходимо решить задачи выбора критерия окончания итераций, способа вычисления матрицы Я , обеспечения сходимости метода от заданного начального вектора Хо. [c.40]

Элементы матрицы Якоби можно вычислять аналитически и численно. Практика показала, что метод Ньютона наиболее эффективен при аналитическом вычислении элементов. Численное дифференцирование соответствует дискретному методу Ньютона, который в общем случае не обладает квадратичной скоростью сходимости итераций. [c.40]

Основные методы обеспечения сходимости итераций при заданном начальном векторе Хо — продолжения по параметру и дифференцирования по параметру. [c.40]

Согласно [1] сходимость итераций можно улучшить, если на первом шаге задавать д=1, а на последующих руководствоваться формулой (4.44). Более радикальной модификацией является так называемый циклический метод Чебышева [42], в котором обход сеточных узлов осуществляется в шахматном порядке счет сначала ведется только в узлах с четной суммой индексов 1- -к по формуле [c.101]

Если метод установления содержит один параметр для регулирования вычислительным процессом — шаг по времени т, то в релаксационном алгоритме их три дт, <7со и <7,1,, т. е. для каждой из функций по одному. Увеличение числа независимых параметров, безусловно, предоставляет более широкие возможности в управлении скоростью сходимости итераций, позволяя учитывать специфику каждого уравнения в отдельности и их взаимосвязь. Машинные эксперименты, описанные в 5.2, показывают, что при оптимальном выборе дт, да и д релаксационный метод становится чрезвычайно эффективным. Там же предложен простой алгоритм оптимизации этих параметров для различных задач и разностных схем. [c.108]

Критерий сходимости итераций. Поскольку итерационный процесс не может продолжаться бесконечно, нужно выбрать подходящее условие его окончания критерий сходимости итераций, при выполнении которого последнее найденное итерационное приближение может быть принято за искомое решение. Аналогичная проблема возникает и при использовании метода установления. [c.109]

Полезно организовать через каждые 30—50 итераций выдачу на печать текущей информации о величине итерационных погрешностей ег, 8ш, и значениях некоторых интегральных характеристик решения — чисел Нуссельта, экстремумов температуры, завихренности, функции тока и других, по изменению которых можно дополнительно судить о достигнутой сходимости итераций. [c.110]

Оказывается, что этот итерационный процесс может расходиться, если значения некоторых щ (или всех) близки к равновесным значениям. Это связано с тем, что релаксационные уравнения (4.16) вблизи равновесия являются уравнениями с малым параметром. Вблизи ])авновесия функции Fi очень чувствительны к изменениям щ и Т. Нарушение сходимости итерационного процесса связано с тем, что при использовании уравнения (4.20) приходится вычислят1 Fi в точке 3 по значениям параметров предыдущей итерации. Для сходимости итераций нужно использовать более мелкую сетку, чем это требуется для решения газодинамических уравнений. [c.119]

Известно также, что сходимость метода Ньютона к решению зависит от близости начального приближения к этому решению. В связи с этим начальное приближение в точке +1 целесообразно задавать посредством экстраполяции искомых функций с использованием их значений в предшествующих точках. И наконец, время расчета существенно зависит от точности задания данных в начальной точке отрезка интегрирования, если эта точка находится в околоравновесной области, как, наиример, для течений в соплах. Даже незначительные ошибки в начальных данных (в четвертой — пятой значащих цифрах) в силу малых значений т могут привести к длительному счету начального участка из-за медленной сходимости итераций. Поэтому в начальной точке целесообразно также решать систему (7.45) методом Ньютона с переменной матрицей, полагая второй член в левой части (7.45) равным а,-. [c.208]

При аМ < Я < М значение выражения под корнем в формуле (1.66) отрицательно, поэтому величина 0 — комплексная. Ее модуль равен оз, т. е. приблизительно 1 —2 i/a [см. (1.64)]. Следовательно, так как при аМ < X < 7И модуль 0 = onst, то темп сходимости итераций во всем спектральном интервале постоянен [c.44]

Так как 0 — комплексное число, то фаза вектора недосчитанности б изменяется от итерации к итерации. Это приводит к тому, что недосчитанность изменяется немонотонно. При правильно выбранных значениях а, М итерационный процесс (1.63) сходится. Отклонения значений величины а от истинного приводят к замедлению темпа сходимости итераций. Отклонение значений величины А1 от истинного значения в сторону его уменьшения приводит к расходимости процесса. Этим можно воспользоваться для определения верхней границы спектра матрицы М. Пусть [c.44]

Каким образом обеспечивается сходимость итераций при решении СНАУ [c.152]

Отметим, что интервал изменения угла 7 ограничен минимальным значением 7 , до которого проводился расчет Х(т, 7) [1]. При 7 1т ухудшалась сходимость итераций по а при отыскании корня изопериметрического условия Су т 7, а) = onst, причина чего будет ясна из дальнейшего. Таким образом, согласно результатам [1] поиск зависимости К ) в рамках изопериметрической задачи с заданными т ж Су при 7 < 7 стандартными приемами оказался затруднительным и потребовал создания специальных подходов. [c.674]

Для определения производных момента относительно ГШ достаточно простого анализа, поскольку они влияют не на окончательное решение, а лишь на сходимость итераций. Гессоу дает для них следующие значения [c.694]

Так, при hiR = 10 , с = 1, k Ъ 10 величина определяющая скорость сходимости итераций, равна 0,98 вместо 0,9999 при fe = 1. Дополнительные сведения о выборе кеэф-фициента k даны далее. [c.54]

Уравнения (17), (18) записаны в виде, пригодном для последовательных итераций. Метод итераций дает наилучшие результаты для задач с заданными граничными усилиями, которым соответствуют уравнения (15). При начальном вы ре фиктивных нагрузок равными действительным усилиям обеспечивается довольно быстрая сходимость итераций. Например, в первой задаче, рассмотренной в части П, требовалось обычно не более 15 циклов до тех пор, пока максимальная разность между значениями фиктивной нагрузки, полученными при последоватбльных итерациях, не становилась меньшей 10%. Сходимость была несколько более медленной в задачах, где имелись большие градиенты граничных усилий. При использовании указанного условия сходимости компоненты напряжений и перемещений внутри тела были вычислены очень точно, что будет обсуждаться при рассмотрении отдельных примеров. [c.162]

Важнейшие достоинства итерационных методов состоят в наличии эффективных оценок областей сходимости итераций, а также скорости сходимости. К сожалению, их можно непосредственно применять лишь в простейшем случае простого корня порождаюш,его уравнения (т.е. /г = 0). Если же /г 1, то ситуация усложняется итерационные методы применяются в сочетании с некоторыми дополнительными техническими приемами [2-6], что порождает новые серьезные проблемы. [c.407]

Асимптотика решения при функции перераспределен ния Ль Близость рассеяния при функции перераспределения Fll и при полном перераспределении по частоте демонстрируется двумя способами. Один из них заключается в том, что показывается быстрая сходимость итераций этой ФП к ФП при ППЧ, аналогичная сходимости итераций индикатрис к сферической, о чем говорилопь в конце 2.4. [c.219]

Для ускорения сходимости итерации по способу Зейделя один из известных специалистов по прикладному анализу Р. Мемке предлагает разбивать исходную систему (1У -20) на группы по два или более уравнений в каждой. [c.261]

Необходимое и достаточное условие сходимости итераций 9(0. ) <1, где р — спектральный радиус. Скорость уменьшения нормы вектора погрешности ЦЕйЦ в ближайшей окрестности точного решения называется скоростью сходимости итераций, где Е = = Ха—Х . Скорость сходимости Ей+1 =с Е б г>, где р 1, с — константа ( с <1). Если р = 1, то итерационный метод имеет линейную скорость сходимости итераций, если р=2, то квадратичную. Различный выбор вектор-функции С приводит к разным итерационным процессам. Чтобы метод был согласован с системой [c.39]

В задачах первой группы внешние воздействия отсутствуют, а Гкон выбирается из условия завершения всех переходных процессов в модели. Метод интегрирования должен быть Л-устойчивым, требования по точности не предъявляются. Неявный метод Эйлера первого порядка точности в данном случае будет лучшим 2й= = (и —Ми-1)1Ьь. Область абсолютной устойчивости метода показана на рис. 2.5, а, устойчивость контролировать не надо. Шаг /г выбирается из условия обеспечения сходимости итераций при решении системы НАУ. Например, при 2<1<6 кк==2кк-1 при Ь<2 кк — кк- 12 при >6, где L — число итераций. [c.44]

Метод раздельного итерирования основан на использовании различной скорости сходимости итераций при решении нелинейных алгебраических уравнений для отдельных подсхем. Применение метода Ньютона на каждом шаге интегрирования системы (6.12) приводит к одинаковому числу итераций для всех подсхем, которое определяется по подсхеме с наиболее медленной сходимостью итераций. В сложной БИС, как правило, метод Ньютона для каждой подсхемы сходится за различное число итераций. Например, ряд вентилей на данном шаге интегрирования может находиться в квазистатическом состоянии, т. е. для них итерации не нужны. Независимое решение системы НАУ для каждой подсхемы значительно снижает вычислительные затраты при анализе всей БИС. Рассмотрим возможный алгоритм раздельного итерирования системы НАУ при анализе БИС. Каждой подсхеме соответствует подсистема НАУ [c.148]

Релаксационный метод. При изучении стационарных задач имеет смысл исходить непосредственно из системы (4.45), решать ее с помощью какой-либо итерационной процедуры и подчинять выбор имеющихся итерационных (релаксационных) параметров лищь требованию максимальной скорости сходимости итераций. Иногда для улучшения вычислительной устойчивости (внешний) итерационный процесс дополняют внутренними итерациями для каждого из уравнений (4.45). Однако это влечет за собой повышение временной цены внешних итераций, и предпочтительно добиваться стабилизации без внутренних итераций. [c.106]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...