Метод Зейделя

В методе простых итераций И может достигать неприемлемо больших значений, поэтому целесообразно ввести на И ограничение Игр сверху. Если принять Ягр=1,5-10 , то из соотношения Ягр = —0,5 Ц Ige при е=10" получаем, что метод простых итераций можно применять только к решению системы уравнений, у которых матрица Якоби имеет Ц< 0. Методы Зейделя, Якоби, последовательной верхней релаксации (ПВР) имеют аналогичный характер зависимости И от Ц, хотя скорость сходимости у них часто оказывается несколько выше, чем в методе простых итераций. [c.234]

Итерации по методу Зейделя отличаются от простых итераций тем, что новое значение k-ro элемента вектора V, сразу же после его вычисления на г-й итерации заменяет старое значение и используется для вычисления новых значений следующих элементов вектора V,- на той же t-й итерации, т. е. [c.251]

Рассмотрим теперь несколько более подробно алгоритм вычислений по методу итераций. Процесс вычисления вектора х в (/г + 1)-м приближении по известному к-му приближению состоит в последовательном вычислении компонент этого вектора. При этом вектор х в k-м приближении должен быть сохранен в памяти вычислительной машины до конца вычисления нового вектора х. Затем необходимо организовать пересылки вновь вычисленных компонент вектора х в те ячейки памяти, где хранилось предыдущее приближение. После этого весь процесс можно повторить. Намного проще реализуются вычисления по методу Зейделя, одному из модификаций метода простой итерации. В ней матрица А заменяется суммой двух матриц + 2. где [c.92]

Отметим одну из модификаций рассмотренного метода, которая называется методом Зейделя. В этом методе при вычислении Л/ используются все уже вычисленные на ( + 1)-й итерации компоненты. Для системы (1.67) k+ )-n итерация заключается в следующем [c.27]

Таким образом, метод Зейделя эквивалентен методу простой итерации (1.69) приВ=—ЛГ Лг, с = ЛГ Ь,что определяет и условия его сходимости. Сформулируем достаточное условие сходимости метода Зейделя если 1 I йц], / = 1, 2,..., [c.27]

Большинство итерационных методов для системы /lv=f А — матрица, v, f —векторы), в том числе метод простой итерации и метод Зейделя можно символически записать в виде [c.134]

Следует отметить, что релаксационный метод решения системы разностных уравнений трудно осуществим на современных электронных цифровых вычислительных машинах, так как на них быстрее и дешевле работать с уравнениями в циклическом порядке, нежели искать наибольшие остатки 7]. Поэтому для расчета больших температурных полей (число узлов примерно более 20) целесообразнее использовать итерационные методы решения системы разностных уравнений, например метод Зейделя. [c.92]

Рис. 6.7. Распределение температуры в узлах сетки куба, верхняя грань имеет температуру 100"С, а пять других 0°С (представлена 1/4 куба, так как задача симметричная) значения температуры слева от узлов получены по методу релаксации, справа — по методу Зейделя, вторые справа — аналитически по формуле (6.10)

Результаты расчета по методу Зейделя температурного поля по той же разностной схеме (6.7), в том же кубе, и с тем же шагом (при максимальном абсолютном значении остатка, не превышающем 0,1°С) приведены на рис. 6.7 справа от узлов и обведены. Можно констатировать совпадение результатов по обоим численным методам (релаксации и Зейделя) с точностью до десятых долей градуса. [c.93]

На рис. 6.7 эти температуры указаны справа от названных узлов и подчеркнуты сверху. Расчет по методу Зейделя до максимальной величины остатка, не большей 0,1° С, с шагом а/8 дает в этих точках температуры 3,0 и 17,2° С, а с шагом а/16 —3,7 и 19,0° С соответственно, т. е. по мере уменьшения шага (а/4, а/8, а/16) разница результатов, полученных аналитически (2,6 и 16,7° С) и численно (3,0 3,0 и 3,7°С и 16,7 17,2 и 19,0°С), возрастает. [c.93]

Расчет по методу Зейделя температурного поля в кубе (рис. 23.6) по той же разностной схеме (23.8) и с тем же шагом (при максимальном абсолютном значении остатка, не превышающем 0,1 °С) дал те же результаты, что и метод релаксации. [c.240]

Для численного решения этих уравнений применяют различные итерационные методы (методы последовательных приближений). В гидравлических расчетах хорошо зарекомендовал себя метод простой итерации или его модификации — метод Зейделя. Могут быть использованы также метод Ньютона, метод деления интервала пополам и т. д. [c.137]

Метод Зейделя, реализованный, как правило, в стандартной программе математического обеспечения, задается следующими формулами [c.137]

В случае решения системы большой размерности на ЭВМ. потребовалась бы очень большая память. Поэтому для реализации на ЭВМ решеиия таких сложных систем, как система уравнений математической модели паротурбинной установки, метод Ньютона малоэффективен. Метод простой итерации, а также метод Зейделя [Л. 16] дают возможность более эффективно реализовать на ЭВМ решение рассматриваемой системы. При использовании этих методов в запоминающем устройстве ЭВМ хранятся лишь столбцы (векторы) решения двух последовательных итераций и л , где д Ч = =4>i x°u [c.22]

Вышеприведенные системы линеаризованных алгебраических уравнений необходимо дополнить уравнениями состояния для энтальпии теплоносителей, уравнениями смещения (впрыски и др.), расхода топлива, теплообмена в топке, радиационного теплообмена, а также уравнениями, отражающими связи искомых переменных по поверхностям нагрева. Таким образом, получается математическая модель тепловых процессов в парогенераторе. Для реализации этой модели на ЭВМ разработан алгоритм, сводящийся к итеративному процессу решения данной системы комбинацией методов Зейделя и простой итерации. Расчет полной системы модели парогенератора наиболее эффективно проводится по ходу движения дымовых газов от топки. [c.48]

На первых трех этапах выполнения блока III система уравнений (9-2), (9-7), (9-8), (9-14) решается итерационным методом Зейделя. [c.156]

Всего в программе около 20 итерационно уточняемых параметров. По одним из них (А, Гвых ТS — температура насыщения и т. д.) число итераций невелико, циклы небольшие. При нахождении других (Z)r, вх — температура на входе в турбину низкого давления, бр и т. д.) циклы включают расчет всей схемы, где в свою очередь имеются меньшие циклы, поэтому для таких параметров весьма важно задание хорошего исходного приближения. Для определения температуры теплоносителя на выходе из нагревателя газа, температуры жидкости на выходе из насоса, расходов газа и Na по теплообменным аппаратам применяется метод простых итераций с автоматическим выбором величины шага, в остальных случаях — итерационный метод Зейделя. [c.98]

При электрическом моделировании на 7 -сетке функция данного приближения реализуется одновременно во всех точках, т. е. на модели задача решается не методом простой итерации, а частным случаем метода Зейделя, когда уравнение Лапласа (в разностной форме) имеет вид [c.91]

Метод Зейделя. Метод Зейделя является модификацией метода простых итераций и состоит в следующем. [c.123]

Затем по такой же схеме находим второе приближение и т. д. Таким образом, суть метода Зейделя состоит в том, что при нахождении н -й компоненты х, приближения х = = xi, х , используются только [c.123]

Международная система малых ЭВМ (СМ ЭВМ) 137, 141 Метод Зейделя 123 [c.448]

На каждом этапе решение системы уравнений, описывающей совокупность участков пароводяного тракта, проводится одинаково а основе итерационного метода Зейделя, Метод Зейделя обладает ря- [c.354]

Методы анализа синхронных моделей представляют собой методы решения систем логических уравнений. К этим методам относятся метод простых итераций и метод Зейделя, которые аналогичны одноименным методам решения систем алгебраических уравнений в непрерывной математике. [c.124]

Метод Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби, в котором формула [c.128]

Если/( — симметричная положительно определенная матрица, то при любом начальном приближении метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии. [c.128]

При со = 1 этот метод совпадает с методом Зейделя. [c.129]

Повышение эффективности моделирования логических и функциональных схем. Для повышения эффективности решения уравнений методом Зейделя целесообразно использовать диакоптический подход, в рамках которого итерации выполняются отдельно по фрагментам логической схемы. Введем следующие понятия составной элемент — множество контуров обратной связи, имеющих попарно общие связи фрагмент логической схемы — составной элемент или комбинационная схема, состоящая из взаимосвязанных логических элементов, не вошедших в составные элементы. [c.252]

Принципиальное отличие итерационных методов от релаксационного заключается в следующем если все узлы,сетки, а значит, и температуры в них пронумеровать числами натурального ряда, то в релаксационном методе номер узла, в котором ищется новое значение (приближение) температуры, определяется максимальным абсолютным значением остатка, т. е. последовательность обхода узлов зависит от начального задания температур, а при совпадении максимального абсолютного значения остатка в двух пли более узлах — от вычислителя. В итерационных методах новые значения температур (температуры каждого приближения) ищутся последовательно для всех узлов от первого до последнего в соответствии с их нумерацией если после этого максимальное абсолютное значение остатка в каком-либо узле превышает допустимое (возможны и другие условия), то в этой же последовательности ищутся температуры следующего приближения, т. е. вычислительный процесс осуществляется повторяющимися циклами (термин итера-. ция означает повторение ). При этом в методе Зейделя для вычисления (i-j-l)-ro [c.92]

Параметр релаксации позволяет уменьшить число итераций (по срагиению с методом Зейделя) для достижения требуемой точности решения. Оптимальное значение ш лежит в интервале от 1 до 2. [c.241]

Исследования, проведенные в ЦНИИКА на ЭВМ, показали, что расчет температур дымовых газов начиная с хвостовых поверхностей нагрева приводит к значительному числу итераций. Например, неточность предварительного задания температуры уходящих газов в ГС может привести к расхождению расчетных температур газа на выходе из топки до ЮО С и выше. В разработанном ЦНИИКА алгоритме искомые температуры газов уточняются методом Зейделя. Искомые температуры рабочей среды после просчета всех уравнений формируются в отдельный столбец (вектор) и являются исходным приближением для последующей итерации, при совпадении с необходимой точностью вектора этих температур при двух итерациях решение системы заканчивается. По полученному решению уточняются расходы теплоносителей и коэффициенты системы, и решение системы вновь повторяется. [c.48]

Для решения системы нелинейных уравнений высокого порядка (п = 120- 140), благодаря отмеченной выше естественной делимости ее на цепочки узловых подсистем уравнений, наиболее эффективным оказался итерационный метод Зейделя, обеспечиваюший для систем такого вида быструю сходимость, компактность и простоту алгоритма. На рис. 2.10 показаны относительные отклонения значений нескольких параметров У в зависимости от точности исходного приближения и от числа итераций в процессе расчета системы уравнений (2.2). Из рисунка видно, что при весьма неточном задании первоначальных приближений достаточно высокая точность расчета (0,1-4-0,01%) обеспечивается уже на 2—3-й итерации. В связи с этим отпадает необходимость в строгом согласовании задания первоначальных приближений значений параметров. Зависимость числа итераций от требуемой точности оказалась близкой к логарифмической с основанием 10. Время одной итерации составляет 8—15 сек в зависимости от вида тепловой схемы. Причем большая часть времени расходуется на расчет термодинамических свойств рабочих веществ. [c.35]

Исследования математической модели в вычислительном плане показали, что решение системы балансовых уравнений — одна из основных составляющих алгоритма решения задачи. Возможность прямого расчета отдельных подсистем полной системы уравнений с применением итерационного метода Зейделя [21 позволяет организовать лишь два больших цикла — цикл по балансу генераторного вала и цикл по балансу тепла. Кроме того, существует несколько малых циклов, таких, как циклы по определению температур на выходе из компрессора и парогазовой турбины и по определению температур парогаза между пакетами регенератора. Количество итераций и время счета описываемой части математической модели зависят от величины погрешности решения и точности начального приближения. При использовании] для] расчетов ЭЦВМ [c.138]

Для составления канонических уравнений используются формулы (1.7). Канонические уравнения решаются известными методами решения линейных алгебраических уравнений высоких порядков, так как число степеней свободы при решении сложных задач может достигать нескольких десятков тысяч. Обычно используются метод Гаусса, метод квадратного корня (метод Халецкого), метод Зейделя и другие прямые или итерационные методы. В результате решения определяются значения степеней свободы. По найденному вектору степеней свободы q и системе координатных функций ф/ , которая была назначена заранее, определяется функция перемещений (1.4) по всей области системы, а по ней — напряжения и деформации в интересующих расчетчика местах. [c.29]

Для решения СЬ1АУ можно применять прямые итерационные методы, такие, как метод простой итерации или метод Зейделя, но в современньге программах анализа наибольшее распространение получил метод Ньютона, основанный на линеаризации СНАУ. Собственно, модель (3.19) получена именно в соответствии с методом Ньютона. Основное преимущество метода Ньютона — высокая скорость сходимости. [c.105]

Согласно методу простых итераций, в правые части уравнений модели на каждой итерации подставляют значения переменных, полученные на предыдущей итерации. В отличие от этого в методе Зейделя, если у некоторой переменной обновлено значение на текущей итерации, именно его и используют в дальнейших вьшислениях уже на текущей итерации. Метод Зейделя позволяет сократить число итераций, но для этого нужно предварительно упорядочить уравнения модели так, чтобы последовательность вычислений соответствовала последовательности прохождения сигналов по схеме. Такое упорядочение выполняют с помош .ю ранжирования. [c.124]

Пусть выполнено условие В < 1, где ЦЛЦ — одна из норм IISlIj, ЦЗИоо- Тогда при любом начальном приближении метод Зейделя сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем < II ВЦ. В этом случае в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство (5.11), в котором ё = S х X (1 - II i )е, а S — матрица с элементами 6. . = = bjj при I < j и b-j = О при г > j. [c.128]

Теоретические основы САПР (1987) -- [ c.227 , c.251 ]

Методы и задачи тепломассообмена (1987) -- [ c.92 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы (1987) -- [ c.123 ]

Основы автоматизированного проектирования (2002) -- [ c.124 ]

Теплоэнергетика и теплотехника Общие вопросы Книга1 (2000) -- [ c.128 , c.157 ]

Основы теории и проектирования САПР (1990) -- [ c.120 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...