Теория деформаций Перемещения и деформации

Введенные обозначения для компонент усилий, напряжений, перемещений и деформаций стали общепринятыми во многих странах, в особенности для инженерных расчетов, В этой книге оии будут использоваться повсюду. Однако для сжатого представления общих уравнений и выводимых из них теорем более удобна и часто применяется другая система обозначений — система индексных обозначений. В этой системе компоненты перемещения, например, обозначаются и,, u,j, или более коротко и/, где считается, что индекс i может принимать значения 1, 2 или 3, Для координат вместо обозначений А-, у, г используются обозначения х,, х.,, х , или просто х/. [c.31]

Если речь идет о задаче теории упругости, то вариации перемещений и деформаций должны удовлетворять во всем объеме тела уравнениям Коши, а на той части поверхности тела, где заданы перемещения — вариации перемещений должны равняться нулю. [c.481]

Линейные задачи. Как известно из теории упругости, в жестких конструкциях, в которых деформации малы и не влияют на действие нагрузок, напряжения, деформации, перемещения и статически неопределимые реакции линейно связаны с нагрузками. В этом случае уравнение (П.III.4) допускает упрощение к виду [c.457]

ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ 5.1. Перемещения и деформации [c.95]

Перемещения и деформации в тонких оболочках. Оболочкой называют тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с основными размерами тела. В классической теории оболочек справедливы гипотезы Кирхгофа — Лява, состоящие в следующем нормальный элемент к недеформирован-ной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины нормальные напряжения dgg пренебрежимо малы. Энергетическая погрешность гипотез Кирхгофа — Лява в случае оболочек равна rf = max hjR], где R — минимальный радиус кривизны оболочки. [c.160]

Идея линеаризации уравнений теории пластичности принадлежит А.А.Ильюшину, который предложил метод решения задач теории малых упругопластических деформаций - метод упругих решений [37]. Метод заключается в том, что пластическое тело заменяется упругим, имеющим такие же, как и пластическое, перемещения и деформации. Такая замена возможна при условии, что в теле возникают дополнительные напряжения, приводящие к дополнительным объемным и поверхностным силам. Эти первоначально неизвестные силы определяются путем последовательных приближений. [c.231]

В качестве координатной поверхности в теории оболочек обычно принимают срединную поверхность, равноотстоящую от лицевых поверхностей. К срединной поверхности приводятся все внутренние силы в оболочке, а также внешние распределенные и сосредоточенные силы. Перемещения и деформации оболочки ввиду принятых кинематических гипотез полностью определяются поведением срединной поверхности. Таким образом, задача расчета трехмерного тела сводится к двумерной. [c.117]

Различают прямую и обратную задачи теории упругости. В прямой задаче граничные условия заданы, а требуется определить напряжения, деформации, перемещения и др. во всем объеме деформируемого тела. В обратной задаче в объеме тела заданы поля напряжений, перемещений и др., а требуется найти граничные условия. [c.187]

В случае соблюдения законов подобия и равенстве чисел Fo, Hj, где Пг — один из комплексов-аргументов, определяющих условия теплообмена на граничных поверхностях, должно выполняться равенство значений относительных предельных нагрузок образца и элемента конструкции, т.е. (Р/Ро)обр = (Р/Ро)эл- Это означает, что при построении обобщенной характеристики элементов конструкции из КМ в виде соотношения между экспериментально определяемыми значениями предельных нагрузок при повышенной и нормальной температурах Кр = P/Pq могут быть применены методы теории подобия. Очевидно, что они могут использоваться также при определении предельных нагрузок элементов конструкций в случае подобных режимов нагрева. Отметим, что предельные напряженные состояния образцов при совместном действии внешней нагрузки и температуры определяются в основном критическими значениями напряжений, деформаций, перемещений и т.д., т.е. критическими значениями зависящих от температуры физических величин, из которых образованы остальные комплексы или симплексы, входящие в критериальные уравнения рассматриваемой задачи. [c.27]

В теории малых перемещений перемещения считаются столь малыми, что допускается линеаризация всех уравнений твердого тела, за исключением соотношений напряжения—деформации. Следовательно, в теории малых перемещений уравнения равновесия, соотношения деформации-перемещения и граничные условия сводятся к линеаризованным соотношениям. [c.18]

Излагаемая теория применима к тонким оболочкам при неограниченных перемещениях и деформациях, например при перемещениях, сопоставимых с радиусом кривизны, и деформациях порядка единицы. Для задач, включающих в себя как большие перемещения, так и большие деформации, по-видимому, невозможны иные упрощения, кроме тех, которые только что обсуждались, и расчеты следует проводить с помощью [c.406]

Можно было бы согласиться, что с точки зрения выполнения условия совместности деформаций уместнее было бы использовать теорию для плоского деформированного состояния, но совместность становится бессмысленной при сопоставлении одного приближения (игнорирование малых поперечных деформаций для упрощения соотношений между перемещениями и деформациями) с другим, полностью не связанным с этим приближением (игнорирование неизвестных поперечных деформаций или напряжений для того, чтобы упростилось соотношение между деформациями и напряжениями в направлениях осей аир). [c.427]

Главное, что будет излагаться в этой книге, по существу, состоит из трех основных частей 1) основные понятия о перемещениях, внутренних напряжениях, деформациях и работе внутренних сил, а также о процессе нагружения малого элемента твердого тела 2) основные механические свойства твердых тел, такие, как упругость и идеальная пластичность, текучесть, ползучесть и релаксация, вязкость и динамическое сопротивление, усталость и разрушение 3) основные кинематические и геометрические гипотезы, упрощающие математическую постановку задач о напряжениях, деформациях, перемещениях и разрушениях твердых тел при различных внешних воздействиях, а также основные уравнения и методы решения задач о деформации и прочности тел. Методы сопротивления материалов отличаются от более строгих методов теории упругости и пластичности в основном введением ряда упрощающих предположений кинематического и геометрического характера и, тем не менее, в большинстве случаев оказываются достаточно точными. [c.12]

В настоящее время существуют две теории пластичности. Их различие заключается в конкретной записи физических соотношений. Что же касается двух других основных соотношений механики сплошной среды - уравнений равновесия (10.1), (10.2), и соотношений, устанавливающих взаимосвязь между перемещениями и деформациями (10.16), то они идентичны в обеих теориях пластичности и имеют тот же вид, что и в теории упругости. [c.209]

Использование полимеров, высокопрочных сплавов и резины потребовало развития нелинейной теории упругости. Так называемая физически нелинейная теория упругости, т. е. такая теория, где нелинеен лишь закон, связывающий напряжения и деформации, практически тождественна теории упруго-пластических деформаций при нагружении. Поэтому мы не будем рассматривать ее отдельно от последней и обратимся к развитию так называемой нелинейной теории упругости, в которой учитываются нелинейные эффекты, связанные с большими перемещениями и деформациями. Интерес к этой теории, возникший в связи с работами Ламе и Кирхгофа, потом надолго угас и возродился лишь в 20-х годах. В работах Н. В. Зволинского и П. М. Риза развивается квадратичная теория упругости, в которой во всех соотношениях удерживались члены второй степени относительно деформаций. При решении задач нелинейной теории упругости наиболее эффективен метод последовательных приближений, который позволяет свести их к решению линейных задач. В развитии этого метода большую роль сыграли [c.260]

В этом разделе понятие энергии деформации будет использовано для вывода теорем взаимности перемещений и взаимности работ. Эти теоремы взаимности полезны во многих случаях и играют важную роль при исследовании конструкций. Более того, они включают некоторые основные теоретические концепции, применимые ко всем линейно упругим конструкциям. [c.446]

Отметим, что напряжения в общем достаточно близки по обеим теориям, большее расхождение имеет место для перемещений и деформаций. [c.121]

В механике композиционных материалов (КМ) получили развитие два взаимосвязанных и дополняющих друг друга направления исследований. Первое из них базируется на строгом учете структуры материала, второе — на использовании интегральных диаграмм деформирования, которые могут быть получены экспериментально или расчетным путем. Точные решения задач механики в постановке, соответствующей первому направлению, кроме рассмотренных специфических вопросов [1-4], подтвердили применимость методов второго направления к весьма широкому классу композитов, использующихся для изготовления оболочечных конструкций, в связи с этим при разработке методов решения задач статики и динамики оболочек из КМ структурные особенности последних учитываются только при расчете эффективных характеристик анизотропной сплошной среды, имеющей такие же диаграммы деформирования и прочностные характеристики, что и исходный КМ. Построив в таком приближении уравнения состояния КМ, а также используя уравнения движения и соотношения между перемещениями и деформациями теории упругости анизотропного тела, можно получить решение соответствующих задач, хотя это сопряжено со значительными трудностями. [c.105]

В предыдущих главах нами рассмотрены теория напряжений, освещающая статическую сторону задачи, а также теория перемещений и деформаций, освещающая задачу с геометрической точки зрения. Эти две теории сами по себе не могут служить для решения физических задач теории упругости о деформациях, которые происходят в упругом теле под действием приложенных к нему внешних сил,—до тех пор, пока напряжения и деформации не связаны каким-либо физическим законом. Физический характер этого закона заключается в том, что он должен связать разнородные признаки изучаемого явления — напряжения и деформации. [c.67]

Оно формулирует теорему о минимуме упругой энергии действительное деформированное и напряженное состояние отличается тем, что для него полная упругая энергия тела имеет минимальное значение. Назовем эту теорему первой теоремой о минимуме и еще раз отметим, что здесь варьируются перемещения и деформации, соответствующие состоянию равновесия, напряжения же не варьируются действительно, согласно (11.13а) [c.329]

Перемещения и деформации, В силу основной гипотезы итерационной теории нормальное к срединной поверхности оболочки перемещение не зависит от координаты у, т. е. имеем [c.82]

Использовав зависимость (2.3) и записав уравнения равновесия, сплошности и граничные условия в размахах внешних нагрузок, напряжений, перемещений и деформаций, придем к задаче о циклическом деформировании детали. Методы решения такой задачи полностью совпадают с расчетом упругопластических деформаций по деформационной теории (см. гл. 4), если все величины в формулах заменить на их размахи и, в частности, вместо кривой упругопластического деформирования 0 = /(во) использовать кривую циклического деформирования А0о = /(Аео). Введя секущий модуль диаграммы циклического деформирования (см. рис. 2.2) [c.218]

В прямом методе построение соотношений для элемента осуществляется непосредственно с помощью учета приведенных в предыдущей главе трех систем уравнений теории упругости уравнений равновесия, соотношений между перемещениями и деформациями, а также уравнений состояния. Этот метод особенно полезен при выяснении фундаментальных соотношений между конечно-элемент-ной аппроксимацией и реальной конструкцией. Так, этим методом будет проведено теоретическое обоснование построений, проведенных в разд. 2.2 и 2.3. Прямому методу присущи черты, свойственные и другим подходам к построению конечно-элементной модели. Особенно это затрагивает вопросы задания сил, если известны напряжения, и деформаций, если известны перемещения. Этот подход включает основные положения, использованные на ранней стадии развития метода конечных элементов [см. 5.1, 5.2]. Однако область применения прямого метода ограничена его трудно или даже невозможно применять при выводе соотношений для усложненных элементов и в некоторых специальных задачах. [c.125]

Если теперь учесть соотношения между перемещениями и деформациями в плоской задаче теории упругости (4.7а, Ь, с) и применить их к (5.21а, Ь), то получим соотношение (5.6с), в котором [c.137]

Если соотношения между перемещениями и деформациями (или уравнения совместности деформаций) продифференцировать по времени, то станет ясно, что задача представляет собой задачу нелинейной теории упругости, в которой обычные деформации и перемещения заменены на скорости деформаций и скорости. Решение для этих величин не зависит от времени и его можно получить любым из описанных ранее методов, не прибегая к методам приращений. При этом напряженное состояние конструкции постоянно, а деформации возрастают пропорционально времени. [c.428]

В рассматриваемой области выполнены многочисленные и глубокие шахтные, лабораторные и теоретические исследования. Несмотря на значительную результативность исследований, процессы деформаций, перемещений и разрушений горных пород вблизи выработки исследованы далеко не полно. При этом выявлен ряд новых, неизвестных ранее, не учитывавшихся обстоятельств и закономерностей процессов деформаций и напряжений горных пород, окружающих выработки, что связано не только с возрастанием глубины работ, но и с развитием методов исследований проявлений горного давления в шахтных и лабораторных условиях, новой аппаратурой, углублением исследований, уточнением известных закономерностей, выявлением новых сторон явлений и развитием теории, а также включением в эксплуатацию все более сложных месторождений. Для решения данной задачи в настоящее время применяются методы механики сплошной среды теория упругости, пластичности, ползучести, сыпучей среды и комбинированных сплошных сред. [c.50]

Использование в рамках жестко-пластического тела деформационной теории приводит к результатам, которые отличаются от только что приведенных заменой скоростей перемещений и деформаций на сами перемещения и деформации. [c.69]

Если напряжения лежат в пределах пропорциональности для материала О., то для расчёта О. пользуются зависимостями упругости теории. В статич. расчёте О. на прочность и жёсткость определяют напряжения, деформации и перемещения разл. точек О. в зависимости от заданной нагрузки. Как правило, в расчётах на прочность прогибы О. (перемещения вдоль нормали к срединной поверхности) могут считаться малыми по сравнению с толщиной О. тогда соотношения между перемещениями и деформациями линейны соответственно линейными (для упругой задачи) будут основные дифф. ур-ния. [c.476]

Исследование устойчивости оболочек при больших перемещениях связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений. А поскольку их нелинейные члены характеризуют изменение геометрии поверхности деформируемой оболочки, то применение шагового метода позволяет описать большие формоиз-мерения оболочки на основе теории малых перемещений и деформаций. С помощью этого метода можно определять как совокупность критических нагрузок, так и соотпетствующую ей последовательность форм потери устойчивости. [c.145]

Частица, находящаяся в момент f в точке х, имеет скорость v(j , /), и потому ее координата в момент t+dt будет x-j-vdt, так как ее бесконечно малый вектор перемещения за время dt будет vdt Таким образом, в каждый момент времени t для исследования движения всей среды за малый интервал dt можно принять метод Лагранжа, если х считать начальной координатой частицы (в момент t), а u (j , t)=ydt применять в качестве вектора перемещения этой частицы. Отсюда происходит совпадение теории малых перемещений и деформаций по методу Лагранжа и теории бесконечно малых деформаций, т. е. скоростей деформаций в эйлеровом пространстве. [c.65]

Изучению напряжений, деформаций и перемещений в пластически деформируемых телах посвящен раздел механики деформируемого твердого тела, называемый теорией пластичности [10, 12, 13, 18, 36]. Теория пластичиости решает глав1гым обра юм те же задачи, что и линейная теория упругости, но для материалов с другими физическими свойствами. Поэтому между указанными теориями имеется много общего, в частности общими оказываьзтся уравнения равновесия, зависимости между перемещениями и деформациями, уравнения совместности деформаций. Только вместо закона Гука, используемого в линейной теории упругости, в теории пластичности применяются другие физические соотношения. [c.293]

Используя при проектировании конструкций предельно упрощенные формулы, связывающие нагрузки с напряжениями, перемещениями и деформациями, мы негласно предполагаем, что выполняются основные принципы теории предельных состояний идеально пластических тел [6, 7] и существует достаточно большая зона допустимых изменений параметров, в которой поведение материала и элемента конструкции устойчиво в широком смысле этого слова. Наиболее утешительным является статический принцип теории предельных состояний [8], который дает нижнюю оценку величины предельной нагрузки для пластичного конструкционного металла. Этот принцип в области своей применимости под-тверл дает наши оптимистические предположения о том, что, если вообще существует возможность равновесного распределения напряжений, когда максимальные напряжения ниже или равны предельным для данного материала, конструкция сама придет к такому распределению или ему равноценному. [c.16]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Изложенный в настоящей главе материал имеет большое практическое значение, поскольку упругое круговоё кольцо является типичной расчетной схемой весьма распространенного элемента силовой конструкции ракет — шпангоута. Приводимые б главе уравнения могут быть использованы для расчета как изолированных шпангоутов, так и шпангоутов, подкрепляющих тонкую обшивку. Кроме того, задача изгиба кругового кольца имеет методическое значение - сравнительно простые уравнения равновесия элемента кольца и зависимости, связывающие перемещения и деформации, весьма полезны для облегчения понимания вывода уравнений теории оболочек вращения. [c.104]

Заметим, что не всякий объект, являющийся тензором по отношению к линейным преобразованиям декартовых координат, есть тензор по отношению к преобразованиям криволинейных координат например, большие пзремещения, рассматриваемые в геометрически нелинейной теории упругости, при нелинейных преобразованиях (13) преобразуются по нелинейному закону, а не по векторному. В данной книге используются только бесконечно малые перемещения и деформации, являющиеся векторами и тензорами. [c.211]

Пластинка, толщина которой б мала по сравнению с остальными размерами, подвергается действию приложенных по контуру сил, лежащих в срединной плоскости пластинки. Положим, что нам известен закон распределения напряжений. Задача заключается в том, чтобы найти, как изменятся напряжения, если в какой-либо точке пластинки, удаленной от контура, сделать круглое отверстие малого диаметра. Частный случай поставленной задачи решен Г. Киршем ), им разобран случай растяжения пластинки. Свое решение Г. Кирш получил путем подбора. Процесса этого подбора решения он не приводит, а дает окончательные значения перемещений и деформаций и показывает, что они удовлетворяют основным уравнениям теории упругости. Недавно вышла по этому же вопросу новая работа П. А. Велихова ). Хотя автор в начале своей работы и указывает, что ему при отыскании решения много помогла гидродинамическая аналогия, но в действительности опять все сведено к постепенному подбору решения. В заключение этой работы автор приходит к результатам Г. Кирша. Ниже мы подробно остановимся на работе П. А. Велихова, здесь же предлагаем решение задачи прямым путем, а не путем подбора. Такое решение вполне возможно, если рассматривать задачу как плоскую и воспользоваться общим решением ее в случае кругового кольца ). [c.106]

Равенство (5.62) позволяет легко доказать теорему единственности решения для всех трех основых задач теории упругости для этой цели продолжим рассуждения 35 и предположим, что при одних и тех же условиях на поверхности и при одних и тех же объемных силах мы получили две различные системы напряжений, перемещений и деформаций, как это обозначено в (5.48). [c.134]

В первой главе рассмотрены вопросы теории метода, построения основных расчетных соотношений, дано описание внешней нагрузки, введены по11ятия о граничных параметрах. Во второй главе показано применение предлагаемого алгоритма для решения задач статики стержневых систем, учета продольных перемещений и деформации сдвига. В третьей и четвертой главах описаны задачи динамики и устойчивости стержневых систем. Пятая глава посвящена выводам и анализу практического применения нового метода. В шестой главе рассмотрены отдельные задачи теории тонких пластин, которые могут быть решены предлагаемым методом. [c.4]

При отсутствии упрочнения приращения папряжепий определяются однозначно, но прпращенпя перемещений и деформаций однозначно определены быть пе могут и поэтому в рамках математической теории остаются неопреде лепными. [c.196]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...