Теория деформации Перемещение

Теория деформаций изучает механическое изменение взаимного расположения множества точек сплошной среды, приводящее к изменению формы и размеров тела. Деформация тела возникает в результате действия внешних сил, магнитного и электрического полей, теплового расширения и приводит к возникновению напряжений. Для описания деформации тела в целом в качестве ее меры используются перемещения точек. Деформация тела в целом слагается из деформации ее материальных частиц. Для описания деформации частиц используются относительные удлинения и сдвиги. Они связаны между собой определенными дифференциальными зависимостями, выражающими условие того, что тело, сплошное до деформации, должно оставаться сплошным и после деформации. Как и напряжения, деформации изменяются при переходе от одной частицы к другой, образуя поле деформаций. Знание деформации тела необходимо для оценки его жесткости и определения напряжений. [c.63]

При стационарном тепловом процессе, рассматриваемом ниже, предполагают, что полная деформация тела является суммой упругой деформации, связанной с напряжениями обычными соотношениями, и чисто теплового расширения, соответствующего известному из классической теории теплопроводности температурному полю. В теории термоупругости обычно накладывается ограничение на величину термического возмущения приращение температуры предполагается малым по сравнению с начальной абсолютной температурой. Снятие этого ограничения не нарушает предположения о малости деформаций (перемещений), но [c.90]

Для указанных тел чаще всего нет возможности получить элементарные формулы для определения напряжений, деформаций, перемещений. В то же время существуют некоторые общие пути решения задач, основанные на уравнениях, описывающих деформацию упругой среды под нагрузкой. Последовательное применение такого подхода, в принципе, дает возможность исследования сил упругости и перемещений в элементе конструкции любой формы. Эти уравнения и методы их решения изучаются в курсе теории упругости и пластичности. [c.6]

В 6.1 отмечалось, что линейная теория деформаций основана на предположении об относительной жесткости тела. Как уже указывалось там, под этим подразумевается малость перемещений точек по сравнению с размерами тела. Сейчас, уточняя, добавим, что под этим подразумевается и малость углов поворота элементов тела по сравнению с единицей. Итак, относительная жесткость тела понимается нами в смысле малости перемещений ) и поворотов. При этом малыми (по сравнению с единицей) оказываются [c.487]

Итак, линейная теория деформаций применима при малости перемещений (по сравнению с размерами тела) и малости углов поворота (по сравнению с единицей), влекущими за собой малость относительных линейных и угловых деформаций. В нели нейной теории деформаций в самом общем случае считается, чтО перемещения не малы по сравнению с линейными размерами тела, углы жесткого поворота элементов не малы по сравнению с единицей, относительные линейные и угловые деформации (сдвиги) тоже не малы по сравнению с единицей. В частных случаях нелинейной теории какие-то из упомянутых величин оказываются малыми, тогда теория становится проще. [c.488]

Линейные задачи. Как известно из теории упругости, в жестких конструкциях, в которых деформации малы и не влияют на действие нагрузок, напряжения, деформации, перемещения и статически неопределимые реакции линейно связаны с нагрузками. В этом случае уравнение (П.III.4) допускает упрощение к виду [c.457]

ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ 5.1. Перемещения и деформации [c.95]

Различают прямую и обратную задачи теории упругости. В прямой задаче граничные условия заданы, а требуется определить напряжения, деформации, перемещения и др. во всем объеме деформируемого тела. В обратной задаче в объеме тела заданы поля напряжений, перемещений и др., а требуется найти граничные условия. [c.187]

В случае соблюдения законов подобия и равенстве чисел Fo, Hj, где Пг — один из комплексов-аргументов, определяющих условия теплообмена на граничных поверхностях, должно выполняться равенство значений относительных предельных нагрузок образца и элемента конструкции, т.е. (Р/Ро)обр = (Р/Ро)эл- Это означает, что при построении обобщенной характеристики элементов конструкции из КМ в виде соотношения между экспериментально определяемыми значениями предельных нагрузок при повышенной и нормальной температурах Кр = P/Pq могут быть применены методы теории подобия. Очевидно, что они могут использоваться также при определении предельных нагрузок элементов конструкций в случае подобных режимов нагрева. Отметим, что предельные напряженные состояния образцов при совместном действии внешней нагрузки и температуры определяются в основном критическими значениями напряжений, деформаций, перемещений и т.д., т.е. критическими значениями зависящих от температуры физических величин, из которых образованы остальные комплексы или симплексы, входящие в критериальные уравнения рассматриваемой задачи. [c.27]

Расширение приложений являлось одной из главных целей подготовки нового издания. Приложения А — N посвящены четырнадцати различным темам. Среди новых тем, включенных в приложения, отметим Вариационные принципы в динамике системы материальных точек (приложение В), О функциях энергии деформации и дополнительной энергии (приложение D), О различных видах тензоров напряжений в теории конечных перемещений (приложение Е) и О методе граничных элементов (приложение N). [c.8]

В теории малых перемещений перемещения считаются столь малыми, что допускается линеаризация всех уравнений твердого тела, за исключением соотношений напряжения—деформации. Следовательно, в теории малых перемещений уравнения равновесия, соотношения деформации-перемещения и граничные условия сводятся к линеаризованным соотношениям. [c.18]

В теории пластичности вполне естественно использовать принцип виртуальной работы в качестве основы для установления вариационных принципов. Если в задаче можно ограничиться теорией малых перемещений, то в качестве такой основы может быть использован и принцип дополнительной виртуальной работы. Поскольку соотношения напряжения—деформации в теории пластичности сложнее, чем в теории упругости, можно ожидать, что установление вариационных принципов теории пластичности будет более сложным. Можно показать, что различные вариационные принципы, которые были установлены в теории пластичности, формально выводятся аналогично принципам теории упругости, хотя для справедливости этих вариационных принципов должны быть даны строгие доказательства. [c.21]

Соотношения деформации—перемещения. В геометрически линейной теории упругости используются следующие соотношения между деформациями и перемещениями [c.24]

Формулировки вариационных принципов, приведенные выше, были даны в рамках теории конечных перемещений. Однако они могут быть получены и для малых перемещений с помощью известной процедуры — линеаризации соотношений деформации— перемещения (5.89). [c.144]

В этом параграфе исследуем большие прогибы упругой балки и в качестве примера рассмотрим задачу о нагружении балки из 7.2. Очевидно, что поскольку перемещения балки описываются соотношениями (7.12), а деформации можно выразить через и и ш с использованием (3.19), то теория конечных перемещений балки с использованием гипотезы Бернулли—Эйлера может быть построена с помощью принципа виртуальной работы (3.49). Однако в нашей задаче ограничимся предположением, что хотя теперь прогиб балки не является малым по сравнению с ее высотой, но он мал по сравнению с продольным размером балки, поэтому используем следующие выражения для перемещений и соотношений деформации—перемещения ) [c.193]

Рассмотрим теорию больших прогибов пластины, предложенную Карманом (см. [2, 11, 121), в задаче, аналогичной исследованной в 8.2. Предполагается, что хотя прогиб пластины не является малым по сравнению с толщ,иной пластины, но он все еще мал по сравнению с другими линейными размерами пластины. В таком случае можно, пренебрегая членами высшего порядка, записать выражения для перемещений v v к w и соотношения деформации—перемещения в следующем виде ) [c.230]

До сих пор рассматривалась теория тонких пластин, основанная на гипотезе Кирхгофа. В этом параграфе мы рассмотрим теорию малых перемещений тонких пластин с учетом деформаций поперечного сдвига. При этом мы будем вынуждены отказаться от гипотезы Кирхгофа, а использовать другую разумную гипотезу. [c.238]

Выше рассматривалась нелинейная теория тонких пологих оболочек. В связи с этим заметим, что уравнения линейной теории можно получить с помощью линеаризации соотношений деформации—перемещения (8.130), что дает [c.247]

Соотношения деформации—перемещения для теории пластин Кармана имеют вид [c.257]

Соотношения деформации—перемещения для теории Кармана имеют вид 1 ди, о дА, 1 / 2 [c.258]

Докажите, что выражение для перемещений и соотношения деформации— перемещения теории Кармана в цилиндрических координатах [c.259]

Так как теория тонких оболочек, рассмотренная в 9.4, приводит к довольно громоздким формулировкам, то в настоящем параграфе мы будем интересоваться упрощенными формулировками. Примем упрощающее предположение, что оболочка столь тонка, что в геометрических соотношениях и в соотношениях деформации — перемещения малыми членами можно пренебречь. При этом упрощающем предположении величинами h/Ra и h/Rf можно пренебречь по сравнению с единицей. Прежде всего примем, что уравнения (9.14) и (9.16) соответственно сводятся к следующим [c.274]

Сначала сформулируем инкрементальную теорию, которая основана на подходе Лагранжа и в которой используются тензоры напряжений Кирхгофа и тензоры деформаций Грина. Начнем с определения напряжений, деформаций, перемещений, массовых и поверхностных сил, действующих на S , и заданных на перемещений в состояниях и как показано в табл. [c.389]

Сформулируем другой вариант инкрементальной теории с помощью модифицированного подхода Лагранжа, в котором используются модифицированные тензоры напряжений Кирхгофа и модифицированные тензоры деформаций Грина. Обозначим напряжения, деформации, перемещения, массовые силы, внешние силы, действующие на 5,,, и заданные на перемещения в состояниях Q(N) и Q(A/-fi) .дк, как показано в табл. 16.2. Отметим, что напряжения и внешние силы на отнесены к единичной площади, а массовые силы — к единичному объему состояния Q< ). Тогда принцип виртуальной работы в состоянии запишется в виде [c.392]

Здесь компоненты напряжений, деформаций и перемещений обозначаются соответственно через Oij, и а величины Xt, Fi и Ы(- являются компонентами заданных массовых сил, поверхностных сил и перемещений. Из приведенных выше соотношений получим принцип виртуальной работы для квазистатической задачи в рамках теории малых перемещений в виде [c.499]

При выводе уравнений равновесия (6.11) не учитывались физические свойства материала оболочки и картина деформации. Такую независимость теории равновесия от теории деформации оболочки возможно допустить при условии малости перемещений оболочки по сравнению с ее толщиной и рассматривать равновесие оболочки в недеформированном состоянии. [c.167]

Упражнение 1.2. Показать, что для случая теории малых упругопластических деформаций перемещения при простом растяжении бруса имеют вид [c.119]

Главное, что будет излагаться в этой книге, по существу, состоит из трех основных частей 1) основные понятия о перемещениях, внутренних напряжениях, деформациях и работе внутренних сил, а также о процессе нагружения малого элемента твердого тела 2) основные механические свойства твердых тел, такие, как упругость и идеальная пластичность, текучесть, ползучесть и релаксация, вязкость и динамическое сопротивление, усталость и разрушение 3) основные кинематические и геометрические гипотезы, упрощающие математическую постановку задач о напряжениях, деформациях, перемещениях и разрушениях твердых тел при различных внешних воздействиях, а также основные уравнения и методы решения задач о деформации и прочности тел. Методы сопротивления материалов отличаются от более строгих методов теории упругости и пластичности в основном введением ряда упрощающих предположений кинематического и геометрического характера и, тем не менее, в большинстве случаев оказываются достаточно точными. [c.12]

В теории осесимметричной деформации перемещения поперечного сечения кольца представляют в виде поворота сечения на угол v)/ относительно нейтральной точки С (рис. 8.52), напряжения в которой равны нулю. Координата нейтральной точки z =/г Дь где Ii и /г — геометрические характеристики поперечного сечения [c.281]

На основе классической теории деформации пластинок исследуются свободные осесимметричные колебания кольцевых пластинок переменной толщины. Для решения дифференциального уравнения, определяющего поперечное движение таких пластинок, применен метод коллокаций. Перемещение элемента пластинки аппроксимируется полиномом Чебышева в функции от радиальной координаты. В качестве примера рассматриваются две первые формы колебаний пластинки с линейным законом изменения толщины, для которой частоты и формы свободных колебаний были получены при различных значениях постоянных в функции от изменения толщины и отношения внутреннего и наружного радиусов пластинки. [c.7]

В пределах ограничений классической теории малых перемещений тонких пластинок максимальная потенциальная энергия деформации изгиба F, потенциальная энергия U, обусловленная работой сил, действующих в срединной плоскости при изгибе, и максимальная кинетическая энергия Г пластинки, испытывающей синусоидальные изгибные колебания с прогибом 6)= (л) os (л0- -+ е), определяются выражениями [c.33]

В этом разделе понятие энергии деформации будет использовано для вывода теорем взаимности перемещений и взаимности работ. Эти теоремы взаимности полезны во многих случаях и играют важную роль при исследовании конструкций. Более того, они включают некоторые основные теоретические концепции, применимые ко всем линейно упругим конструкциям. [c.446]

Пользуясь теорией деформаций [1] для определения перемещений, получим [c.232]

Для построения математической теории деформации этого вполне достаточно. Однако в ряде случаев, особенно при разработке методов решения уравнений механики сплошных сред, приходится сталкиваться с обратной задачей. Будем считать, что в области, занятой телом, уже известны деформации и требуется или определить перемещения, или, что даже более важно, установить условия, каким должны удовлетворять деформации, чтобы восстановленные значения смещений не противоречили физическому смыслу. В том, что деформации не могут быть произвольными, можно убедиться с помощью следующих рассуж- [c.212]

В случае необходимости подробно исследовать деформацию гибкой спиралыюй пружины, следует обратиться к теории больших перемещений кривых брусьев [72]. [c.717]

Механизм высокоэластичной деформации [22]. Высокоэластичное состояние является промежуточным физическим состоянием между жидким (текучим) и стеклообразным, поэтому в комплексе механических свойств эластомера можно обнаружить элементы свойств жидкого и стеклообразного тела. В простой жидкости молекулы легко перемещаются тепловым движением. Внешнее силовое поле дает преимущество перемещению в направлении поля, что приводит к возникновению макроскопически наблюдаемого течения жидкости. Развитие высокоэластичной деформации можно рассматривать как течение звеньев или групп звеньев макромолекулы под влиянием внешних сил. С этой точки зрения полимеры (и, в частности, эластомеры) близки к жидкостям. Однако, поскольку все звенья в цепи связаны, а цепи сшиты в пространственную сетчатую структуру, то их течение ограничено связями и не является необратимым. Это соответствует твердому состоянию тела. Таким образом, при высокоэластичном состоянии возможность свободного перемещения имеют только участки цепных макромолекул при отсутствии заметных перемещений макромолекулы в целом. Тепловые движения п эиводят к многочисленным-конформациям этих участков, при которых расстояние между узлами цепей пространственной сетки намного меньше контурной длины участков цепи. Под действием внешней силы цепи изменяют свои конформации, причем проекции участков в направлении деформации удлиняются (или сокращаются). Деформация развивается путем последовательного перемещения сегментов этих участков из одного положения в другое, т. е. протекает во времени [4, 49]. Этим объясняется отставание высокоэластичной деформации от изменения внешней нагрузки. Процесс перегруппировки сегментов сопровождается преодолением внутреннего трения и, следовательно, рассеянием механической энергии. После прекращения действия внешней силы участки цепи под действием теплового движения вновь вернутся в наиболее вероятное состояние сильно свернутых конформаций. По терминологии термодинамики переход в более вероятное состояние системы связан с возрастанием энтропии. Поэтому эластомеры имеют энтропийный характер деформации деформация связана с уменьшением энтропии, а возвращение в начальное положение — с увеличением ее. На основе законов термодинамики разработана статистическая (кинетическая) теория деформации и прочности полимеров, устанавливающая связь механических характеристик с температу-4 51 [c.51]

Мы говорим здесь о больших деформациях, т. е. о компонентах градиента перемещений dufdx, dujdy н т. д. Прн этом не имеется в виду величина перемещений или деформаций сама по себе, перемещения не могут быть ни большими, ни малыми, деформации могут быть большими (по сравнению с единицей), вращения предполагаются большими (опять-таки по отношению к единице). В теории малых деформаций последние всегда <1. В то же время в литературе можно встретить ссылки на теорию больших деформации, что может иметь или не иметь смысла, и на теорию больших перемещений, что смысла не имеет. [c.332]

Итак, мы получили все определяющие соотношения для задачи линейной теории упругости уравнения равновесия (1.4), соотношения деформации—перемещения (1.5), соотношения напряжения—деформации (1.6) внутри тела V и граничные условия в напряжениях и перемещениях (1.12), (1.14) на границе тела S. Эти соотношения показывают, что мы имеем 15 неизвестных, а именно 6 компонент напряжений, 6 компонент дефотмаций, 3 компоненты перемещения в 15 уравнениях (1.4) и (1. , (1.6). Нашей задачей является решить эти 15 уравнений при граничных условиях (1.12) и (1.14). Поскольку все уравнения линейны, то для построения решений может быть использовано правило суперпозиции. Следовательно, мы получили линейные соотношения между заданными величинами, скажем нагрузками на Si, и неизвестными, какими являются напряжения и перемещения внутри тела. [c.26]

Уже отмечалось, что взаимодействие структурного элемента с соседями можно свести к главным вектору сил и моменту, при-лон енным к центру масс (инерции) данного элемента. В момент-ных теориях учитывается только этот аспект. Но на элемент действует и система уравновешенных сил и моментов, вызывающих деформацию внутри пего. В теории деформации не рассматриваются причины, породившие поля перемещений и поворотов. В теории напряжений выясняется, что поля перемещений и поворотов определяются совокупностью уравновешенной системы сил и моментов, а также главными векторрм силы и моментом. Уравновешенная система создает в структурном элементе поля деформаций и изгибов — кручений, определенных симметричными тензорами. Как видно из соотношений (29), уравнение совместности относительно дефектов в чистом виде (без дополнительных членов) получится только для симметричных тензоров. Кроме того, остаются дефекты, определенные через ассиметричные части тензора дисторсии и [c.158]

Из теории деформации следует величины V X и V X характеризуют поведение элемента в целом. Значит, за них ответственны главные момент и вектор сил. Однако и дают представление и о состоянии в точке элемента. Поэтому правые части (33) описывают разницу в поведении элемента в целом и в окрестности некоторой его точки. Отсюда вытекает дефекты а" и 0" можно рассматривать как геометрически необходимые, поскольку они рписывают разницу между макро- и микроповедением, среды. Следовательно, уравнение совместности для дефектов отражает тот факт, что выделенный объем не испытывает поворотов и перемещений. Если выделенный объем не имеет структуры, то его деформацию должны описывать симметричные тен 5оры е и и (т. е. внутри структурного элемента). [c.159]

Центральное место в геометрически нелинейной теории оболочек и пластин занимают соотнощения деформации — перемещения. Анализ этих соотношений позволяет, при соответствующих допущениях, выявить в них главные и второстепенные члены и путем пренебрежения последними существенно упростить нелинейные уравнения теории, указав границы их применимости. Эти и другие вопросы нелинейной теории оболочек разрабатывались многими авторами и получили наиболее полное разрешение в рамках классической теории изотропных однородных оболочек [104, 112, 130, 134, 142, 189, 206, 328, 346, 352, 356, 362, 371, 376 и др.]. С меньшей строгостью и полнотой эти вопросы разработаны в рамках нсклассических теорий упругих изотропных и конструктивно анизотропных однородных [2, 43, 59, 60, 89, 90, 265, 274, 287, 295 и др. ] и многослойных [10, 52, 94, 95, 114, 115, 163, 169, 204, 250, 259 и др. ] оболочек. [c.41]

Исследование устойчивости оболочек при больших перемещениях связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений. А поскольку их нелинейные члены характеризуют изменение геометрии поверхности деформируемой оболочки, то применение шагового метода позволяет описать большие формоиз-мерения оболочки на основе теории малых перемещений и деформаций. С помощью этого метода можно определять как совокупность критических нагрузок, так и соотпетствующую ей последовательность форм потери устойчивости. [c.145]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...