Вариации перемещений

Нужная в принципе Лагранжа (—6Л + 5И = 0) вариация перемещений может быть осуществлена посредством вариации траектории, от которой перемещения зависят. Следовательно, условие (24.12) по существу есть видоизмененный принцип Лагран. ка. [c.198]

Под обобщенными возможными перемещениями понимаются не только вариации линейных би и угловых бг4 перемещений, но и вариации внутренних сил и моментов 6А0 и 6АМ. В строительной механике при приближенных решениях задач статики используются два принципа принцип возможных перемещений и принцип возможных изменений напряжений. Изложенный в данном параграфе метод использует оба эти принципа, поэтому его можно назвать обобщенным принципом возможных перемещений. В механике сплошной среды этот принцип (использующий вариации перемещений и напряжений) называется принципом Рейсснера. [c.109]

Принцип вариации перемещений (принцип Лагранжа) может быть сформулирован так для истинных перемещений и, v, w функционал полной энергии деформированного тела имеет экстремальное (стационарное) значение, т. е. его первая вариация равна нулю (3.17). [c.55]

Поскольку вариации перемещений и напряжений произвольны и независимы, вследствие основной леммы вариационного исчисления мы заключаем, что из написанного условия следует равенство нулю множителей при соответствующих вариациях как в объемном, так и в поверхностном интеграле, т. е. уравнения (8.31), (8.32) и граничные условия (8.33), (8.34). [c.221]

В принципе возможных перемещений работа внешних сил ЬА возникает на вариации перемещений Ьи. Этой работы нет при отсутствии вариации перемещений, как нет и просто работы А. В принципе возможных перемещений отклоненное состояние не есть состояние равновесия, так как при вариации только перемещений (нри постоянных силах) новые перемещения не находятся в согласии с силами на основании линейной связи по Гуку. Тем не менее, для отклоненного состояния потенциальная энергия деформации записывается по той же формуле, что и для состояния равновесия, с тем, однако, условием, чтобы эта запись производилась через внутренние усилия и перемещения (поскольку переход от внутренних факторов к поверхностным требует соблюдения линейной связи между перемещениями и усилиями, или, иначе, такой переход справедлив, если перемещения вызваны приложенными силами). [c.53]

Наконец, отметим, что смысл понятия отсутствие равновесия — разный при вариации перемещений в принципе возможных перемещений и при вариации длины трещины в теории трещин. В последнем случае отсутствие равновесия может означать нарушение баланса энергий (упругая энергия совместно с работой внешних сил превышает работу разрушения), в то время как все перемещения находятся в согласии с внешними силами. [c.55]

Принимая во внимание уравнение (8.46), а также то, что вариации перемещений 651 произвольны, получим следующее выражение для Лд [c.223]

Полная потенциальная энергия деформации выражается через перемещения и их производные. Методы, основанные на начале возможных перемещений, часто называют методами, вариации перемещений. [c.323]

Дальше примем, что вариации перемещений бп>,-(а , х , — [c.389]

Если речь идет о задаче теории упругости, то вариации перемещений и деформаций должны удовлетворять во всем объеме тела уравнениям Коши, а на той части поверхности тела, где заданы перемещения — вариации перемещений должны равняться нулю. [c.481]

Рис. 15.7. Изменения (вариации) перемещений а), 6) возможные изменения перемещений — не нарушаются ни внешние, ни внутренние связи в) нарушена внешняя связь— на правой опоре перемещение должно быть равно нулю, а в вариации перемещений оно не равно нулю, Такое изменение (такая вариация) перемещений не является возможной г) нарушена внутренняя связь — излом в оси. Такое изменение (такая вариация) перемещений не является возможной.

Можно придать аналитической записи теоремы Клапейрона вид, полностью аналогичный формуле (15,58), с этой целью получим формулу для работы, производимой внешними силами (объемными и поверхностными) при статическом их приложении на упругих перемещениях. Такая формула может быть выведена аналогично тому, как это было сделано в 15.5 (вывод формулы (15,30)), но с учетом того, что в рассматриваемом здесь случае, во-первых, отсутствуют силы инерции (первый интеграл в формуле (15,30) равен нулю) и, во-вторых, вместо вариаций перемещений и отвечающих им вариаций деформаций должны иметь место соответственно перемещения и деформации. Тогда искомая формула, получаемая из формулы (15,30), приобретает вид [c.484]

Рассмотрим теперь бесконечно малую возможную вариацию перемещений (возможные перемещения), отсчитываемую от дефор- [c.485]

Если у системы имеются внешние упруго податливые связи, то реакции в них производят работу на вариациях перемещений по направлению этих связей. Будем относить эти реакции к числу внешних сил и работу, производимую ими, включать в первый член ( юрмулы (15.61). [c.486]

В первом (втором) принципе утверждается, что если система находится в состоянии, удовлетворяющем условиям равновесия (совместности деформаций), то сумма возможных работ всех внешних и внутренних сил (статически возможных бесконечно малых вариаций внешних и внутренних сил) на всяких кинематически возможных бесконечно малых вариациях перемещений (перемещениях, вызванных самими силами) равна нулю. [c.494]

Здесь первый интеграл берется по Sp, поскольку на остальной части поверхности тела Sa = S — Sp вариации перемещений равны нулю (перемещения здесь являются заданными). [c.519]

Функционал Рейсснера (15.116) получен из функционала Лагранжа, в котором отсутствует член, содержащий интеграл по 5 , поскольку функционал Лагранжа варьируется лишь по перемещениям, а вариация перемещений на 5 , где они заданы, равна нулю, вследствие чего указанный член в (и) не был существенным и был опущен. В принципе же Рейсснера варьирование выполняется и по напряжениям, поэтому на варьирование по а может быть выполнено. В приведенном выше функционале Рейсснера на варьирование по а не производилось, поскольку член с интегралом по не был использован. Если бы этот член был включен в функционал, то по а следовало бы варьировать и его. [c.524]

В данном случае выражения истинных деформаций могут быть получены непосредственно из рассмотрения работы внешних сил на вариациях перемещений трубы [56]. Пусть оси координат расположены согласно рис. 2.1, причем ось г связана с физическими частицами, принадлежащими определенному радиальному волокну. Истинные напряжения определяются по текущим размерам среднего диаметра тонкостенной трубы D и толщины стенки Л согласно известным формулам [c.43]

При получении уравнения линейной статики (1.2) предполагалось, что возможные вариации перемещений малы и не изменяют геометрию конструкции. [c.37]

Для того чтобы избавиться от дифференциальных операторов матрицы [L], действующих на вариации перемещений б и), первое слагаемое в уравнении (3.7) проинтегрируем по частям [c.74]

Для получения разрешающих уравнений воспользуемся известным приемом вариационного исчисления. Выполним интегрирование по частям и избавимся в (3.20) от дифференциальных операторов при вариациях перемещений. Тогда [c.78]

Отметим, что это соотношение известно из курса общей физики. Строго говоря, в выражении (13.4) (и ему подобных в дальнейшем) вместо dW и dx следует использовать так называемую вариацию работы 5W и вариацию перемещения 5х. Так как в рассматриваемых здесь вопросах не используются свойства вариации, то можно пренебречь различием между вариациями и соответствующими дифференциалами. Полная работа W переменной силы F x) на конечном перемещении Д/ найдется интегрированием д/ [c.228]

Требуется найти обобщенные силы Qk Решение. Вариация перемещения балки [c.41]

На этой вариации перемещения внешние силы совершают работу [c.42]

При соблюдении этих условий вариации перемещений 5и,- будут удовлетворять граничным условиям [c.44]

Внося сюда выражения для вариаций перемещений (1.4.20) [c.46]

Если в это вариационное уравнение вместо вариации перемещений [c.70]

Если один из торцов тела свободен, то в общем случае щ ф О, но из,а и вариация бг/3,3 не должны зависеть от координат точки М F. Из условия (1.114) вследствие независимости вариации перемещений следует [c.229]

Постоянные а , Ьг, Сг произвольны. Для вариаций перемещений из (1.34) нетрудно получить выражения [c.32]

Для иллюстрации сказанного рассмотрим защемленный на одном конце однородный брус, растягиваемый силой Р, приложенной к другому его концу. Перемещение конца бруса в состоянии равновесия и = PL/iEF). В отклоненном состоянии перемещение и + Ьи = PL/iEF) + Ьи, и это состояние не есть состояние равновесия, так как этому новому перемещению не соответствует по закону Гука сохранившаяся прежней сила Р. Работа силы Р на вариации перемещения равна 6А = Рби. Потенциальная энергия деформации равна 6W = [ ffj Se dF, где [c.47]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

Равенство 28W° = б ° будет справедливо при одновременной вариации силы и перемещения, связанных между собой законом Гука. Действительно, в данном примере работа сплы па полном перемещении А ° = Ри. Энергия деформации на полных перемещениях, согласно теореме Клапейрона W° = /гРи, т. е. 2W° =А°. Работа силы па вариации перемещения равна 8А° = Р8и + и8Р = = 2РЬи (так как Р — ки и 8Р = к8и). Для энергии деформации на вариации перемещения получим [c.54]

С другой стороны, Стрифорс [19] и Карлссон [20] применили принцип виртуальной работы к произвольному объему ]/г тела, содержащему трещину (как на рис. 1), который включает в себя конечную когезионную зону. В их определении явной движущей силы трещины [19,20], которое записано ниже для направления xi, использована вариация перемещений в виде 8Ui = —duijdx как по объему V так и по когезионной зоне размером е [c.147]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...