Интегрирование простейших функций

В практике инженерных расчетов могут также встретиться случай, когда функция возмущения W имеет вид, достаточно сложный для ее аппроксимации на всем кинематическом цикле. В этом случае ее следует либо аппроксимировать на отдельных участках более простыми функциями, либо, выделив характерные участки, определить частное решение и его производную методами численного интегрирования. При этом для участка j i [c.94]

Решения для непрерывных точечных или линейных источников в областях, рассмотренных в настоящей главе, можно получить путем интегрирования соответствующих функций Грина. Однако эти решения очень просто получаются и непосредственно. В качестве примера рассмотрим непрерывный линейный источник, выделяющий при t>Q в единицу времени на единицу длины количество тепла, равное Q. Источник располагается параллельно оси z цилиндра г- а и проходит через точку (г, 0). Начальная температура цилиндра равна нулю. Теплообмен на его границе отсутствует. [c.378]

Эта функция, обобщающая интегрирующий множитель, введенный Эйлером в задаче интегрирования простейшего уравнения Xdx Ydy — Q, называется множителем Якоби. [c.18]

Воспользовавшись методикой интегрирования рациональных функций, после некоторых простых операций находим [c.97]

Нетрудно вычислить также сумму по х, содержащую произведение двух функций если снова заменить суммирование по х интегрированием. Простые выкладки дают следующий результат [c.109]

Выбрав таким образом контуры интегрирования, мы можем больше не заботиться о различии между функциями /4+(ксо) и /4 (ксо)—оно автоматически принимается во внимание выбором пути интегрирования. Поэтому вместо /4+(ксо) и /4"(ксо) можно использовать просто функцию /4(ксо), получающуюся из (3.144) или (П. 43), если опустить в знаменателях слагаемое 6. Таким образом, [c.373]

Пусть функции Гт с т < о известны. Тогда I можно вычислить простым интегрированием и функцию можно найти, решив линейное уравнение (3.9) с известной правой частью. Именно эту задачу мы и будем решать, причем полное ее региение можно разделить на два этапа. [c.41]

В рассмотренном простом случае преимущества второго способа еще не очевидны однако для более сложных антенн упрощение вычислений очень значительно, и мы будем в дальнейшем пользоваться преимущественно интегрированием разрывных функций. [c.305]

Наличие члена, соответствующего аэродинамическому сопротивлению, в уравнении (1.2) делает невозможным точное интегрирование этого уравнения, даже если бы коэффициент Со не зависел от скорости. Только в некоторых искусственных случаях точное интегрирование оказывается возможным. Например, если пренебречь силой тяжести (при горизонтальном полете или при очень высокой тяговооруженности), то уравнение можно проинтегрировать при условии, что произведение Св задано как простая функция скорости [3]. Если же можно полагать величину Q r) F постоянной, то уравнение можно проинтегрировать, не пренебрегая и силой тяжести [5]. Лишь непосредственное интегрирование уравне- [c.16]

Чтобы получить точное значение Т, следует позаботиться о выборе метода численного интегрирования уравнения (7.69). Функции 5(Я) и /(Я) всегда имеют вид таблиц, так как они являются результатом экспериментальных измерений, выполненных для большого числа дискретных длин волн. При выполнении численного интегрирования существует много способов подбора аналитических функций к экспериментальным данным, и результирующая погрешность зависит от выбора функций и от интервалов между экспериментальными точками. Численные методы обработки уравнения (7.69) обсуждались в работе [83], где предложена простая процедура, основанная на подгонке набора полиномов для (Я) и (Я). В каждом интервале между экспериментальными точками при длинах волн X,- и Я,+1 используется полином степени п (4 п 6) для описания в (ц+1) точках по обе стороны Я,. Таким образом, для каждого интервала используются различные полиномы. Интегрирование выполняется по методу Симпсона с величиной шага, который выбирается так, чтобы погрешность интегрирования была ниже выбранного значения. Если определить функцию / (Я, Т) формулой [c.370]

Более современные методы минимизации объема численного интегрирования значительно сложнее по сравнению с описанным [1, 24]. Принято вычислять стандартную функцию пирометра, которая сама является результатом численного интегрирования членов типа / в уравнении (7.74), вычисленных для реперной температуры. Для других температур соответствующие / члены находятся по отклонениям от члена при реперной температуре. Этот процесс облегчается тем, что разности оказываются малыми. Интерполяция выполняется с использованием относительно простых уравнений, содержащих стандартную функцию пирометра Т и две или больше произвольных констант. Читателя, интересующегося подробностями методов, мы отсылаем к оригинальным статьям. [c.372]

В непрямых МГЭ решение исходной задачи выражается через функции плотности, которые сами по себе пе имеют реального физического смысла. После того как функции плотности найдены, значения реальных физических параметров задачи могут быть получены из них путем простого интегрирования. [c.61]

Исходя из указанных особенностей динамических задач, в простейшем случае для аппроксимации У (О можно предложить кусочно-постоянную функцию времени, получаемую следующим образом. Пусть численное интегрирование уравнений динамики осуществляется с постоянным шагом At. На произвольном интервале времени [пМ, ( +l)Д ] управление У(t) постоянно и равно вектору Y . Тогда уравнение динамики (3.38) можно заменить простейшей разностной схемой в виде [c.76]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

Компонента излучения прямой видимости. Для расчета компоненты нерассеянного прострельного излучения от видимой нз точки детектирования части источника служит метод прямой видимости. Расчет этой компоненты обычно не вызывает затруднений для наиболее простых случаев удается получить аналитические функции, в остальных случаях решение сводится к численному интегрированию. [c.143]

Если функция задана в виде графика (рис. 5.2) или таблично, то задача ее численного интегрирования заключается в нахождении площади под ломаной, соединяющей узловые точки. В простейшем случае под кривой на участке ab площадь будет [c.44]

Может возникнуть вопрос почему решение уравнения (4.114) ищется в виде произведения (4.115) с разделенными переменными. Объясняется это тем, что если такие решения существуют, то определение функций (i), (х) должно свестись к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, т. е. к задаче на порядок более простой, чем задача интегрирования уравнения в частных производных. Итак, для того, чтобы предложенный метод отыскания решения задачи (4.114), названный методом разделения переменных или методом Фурье, удалось реализовать, необходимо [c.155]

Последний интеграл при а = i и ni с точностью до множителя 1/й совпадает с гипергеометрической функцией. Весьма просто вычисляются теперь и интегралы по переменной интегрирования ф, после чего получаем окончательные представления для смещений в виде [c.339]

Для интегрирования полученного выражения необходимо предварительно установить связь между давлением р и плотностью р. Простейшую зависимость дает закон Бойля—Мариотта, который верен при условии постоянства температуры. По этому закону плотность есть линейная функция давления, т. е. [c.24]

Формула (3.9.6) представляет общий интеграл линейного дифференциального уравнения с правой частью в форме, наиболее удобной для приложений. Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл это начальные (при 2 = 0) значения искомой функции и ее производных. Поэтому метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на> формуле (3.9.6) и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров, он разрабатывался рядом советских авторов не только в применении к балкам, но также к пластинкам и оболочкам. [c.105]

После интегрирования обратился в нуль (в силу нечетности на интервале О, я функции os (fi, Х ) член, связанный со спонтанным излучением. После простых преобразований, возвращаясь к векторной форме, получим [c.170]

Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование иррациональных функций приводит часто к пеэлементарным трапс-цеидентным функциям. В простейших случаях интегралы могут быть приведены к интегралам от рациональных функций при по.мощп подстановок. [c.34]

Интегрирование выражения (12.40) производится с помощью теории вычетов и контурного интегрирования. Подынтегральная функция имеет пять простых полюсов (корни уравнения Ai=0 и полюс —i%), которые либо комплексные, либо чисто мнимые и все расположены в нижней полуплоскости o = Re o+t Ini [66]. Положение полюсов зависит от величи н р и р/а. [c.296]

Поскольку мы интегрируем по конечному интервалу ф1<<р< <Ф2. то в асимптотике дифракционного интеграла возникают слагаемые, соответствующие концам области интегрирования ф1 и (рг и обязанные своим существованием решению ограничить область интегрирования этими значениями, а не в физике дела. Хотя они имеют при больших к порядок т. е, относительно малы, их при вычислении дифракционного интеграла целесообразно исключать, Это легко сделать при аналитическом расчете дифракционного интеграла. В случае же численного расчета (что целесообразно, например, для каустики, показанной на рис. 3.16, когда расстояния Р1Р2 и Рг з — порядка длины волны Я.=2п /й, а все прочие характерные размеры много больше) можно просто вычесть из полученных значений аналитически вычисленные вклады в асимптотику от концов области интегрирования. При этом область интегрирования хорошо брать не очень широкой не только для того, чтобы в нее не вошли паразитные стационарные точки, но и чтобы уменьшить объем численного интегрирования. Целесообразно выбрать ее таким образом, чтобы при движении от стационарных точек, соответствующих проходящим через точку наблюдения лучам, до краев области интегрирования фазовая функция испытала примерно две-три осцилляции. [c.85]

Дополнительные замечания о методе стационарной фазы. Метод стационарной фазы позволяет находить простые решения задач об излучении и дифракции звука поверхностями, размеры которых велики по сравнению с длиной звуковой волны. Однако далеко не все задачи подобного типа могут быть решены указанным методом. Для того чтобы этот метод был применим, необходимо, чтобы в области интегрирования фазовая функция изменялась на большое количество, длин волн. Поэтому методом стационарной фазы нельзя, например, вычислить диаграмму направленности излучателя, помещенного в фокусе (или вблизи фокуса) параболического рефлектора. В этом случае сумма расстояний г, + в пределах рефлектора будет постоянной (или слабо меняющейся) величиной. Кроме того, метод нельзя использовать для определения диаграммы остронаправленного излучателя, поскольку в направлении главного максимума диаграммы волны, приходящие в точку наблюдения из различных участков поверхности, будут складываться практически синфазно. Для направлений, далеких от оси главного максимума, волны, приходящие в точку наблюдения, имеют большие фазовые сдвиги. Однако точка стационарной фазы будет находиться вне излучающей поверхности и в приближении, определяемом методом стационарной фазьи в указанном диапазоне углов поле будет равно нулю. Таким образом метод не позволяет находить дифракционную картину добавочных максимумов диаграмм направленности. [c.57]

Интегрирование системы конечно-элементных уравнений (1.35) можно осуществить различными способами [55, 177, 178], наибольшее применение среди которых получили методы центральных разностей, Вилсона, Галеркина, Ньюмарка. Нельзя формально подходить к использованию того или иного метода,, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны, которыми и определяется область их рационального применения. Так, применение центральных разностей имеет несомненное преимущество при использовании сосредоточенной (диагональной) матрицы масс, однако устойчивость его зависит от выбора шага интегрирования во времени Ат. Выбирая безусловно устойчивые и более точные двухпараметрические методы интегрирования Ньюмарка и Галеркина, мы значительно увеличиваем время счета. Оптимально и достаточно просто реализуемое интегрирование уравнения (1.35) можно провести с помощью модифицированной одношаговой процедуры Вилсона по двум схемам, отличающимся числом членов разложения в ряд Тейлора функций (т) , (й т) , ы(т) в момент времени т [7]. [c.25]

Рассмотрим случай постоянной жесткости напряженного состояния (Ото/о,) = onst) в процессе нагружения (реализуется простое нагружение х = еР, Кн = ен) и определим е/ = е/(От/о<) для молибдена. В этом случае зарождение пор описывается функцией (2.54) интегрирование выражения (2.70) проводится аналитически и функция стр(еР) может быть определена [c.120]

Источник больших размеров (превосходящих 5—10 длин свободного пробега у-квантов) можно заменить полубесконеч-ным пространством, а для заданного распределения скоростей испускания у-квантов в нем подобрать простую аи.алитическую функцию (линейную или экспоненциальную), представляющую достаточно правильно это распределение лишь вблизи 1 раницы с зашитой. В результате этого интегрирование формулы (11.15) может быть существенно упрощено. [c.116]

Интегрирование уравнения (117,2) дает соотношения вида (у 6) = onst, /-(и, 0) — onst. Функции /+ и I- представляют собой величи Ы, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик С+ и (инварианты Римана). Для политропного газа уравнение (117,2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вычисления заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул (115,3—4). Действительно, согласно общим свойствам простых волн (см. 104) зависимость у от 0 в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем про- [c.612]

Уравнение (2), или (3) представляет собою дифференциальное уравнение враищтельного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Оно позволяет решить следующие две задачи 1) зная момент инерции Jz тела относительно оси вращения 2 и вращающий момент МА найти Ф=/ I), т. е. закон вращения тела или его угловую скоростыи 2) зная момент инерции относительно оси вращения г и зная закон вращения, т. е. <р=/ ), найти вращающий момент Решение первой задачи сводится к интегрированию дифференциального уравнения (3) решение же второй задачи сводится к простому дифференцированию функции <р=/(О по времени. [c.681]

Дело Б том, что в многосвязных телах (телах с пустотами или отверстиями) возможно существование таких полей совместных деформаций, которым отвечает локально-разрывное поле перемещений. Рассмотрим тонкую пластинку с отверстием (рис. 2.10, а) как простейшее двухсвязное тело. Превратим ее в односвязное тело, проведя разрез через точку М (рис. 2.10, б). Пусть поле деформаций, возникающих в пластине с разрезом, будет совместным и ему будут отвеча-чать непрерывные функции перемещений во всем объеме. Но в общем случае в точках и М , принадлежащих разным берегам разреза, возникнут разные перемещения Ф м, м, = т. е. вдоль линии разреза возникнут разрывы в перемещениях. При интегрировании уравнений Коши для пластин с отверстием надо такие поля перемещений исключить. Поэтому в дополнение к уравнениям совместности составляются условия однозначности перемещений для точек воображаемого разреза, а именно [c.36]

Заметим, что операция умножения на интегральные операторы (операция интегрирования по времени) и операция дифференцирования или интегрирования по пространственным координатам пере-ставимы между собой. Отсюда следует простое правило построения решения задачи теории вязкоупругости, которое носит название принципа Волътерры. Принцип заключается в том, что решение задачи для вязкоупругого тела может быть получено так же, как решение аналогичной задачи для упругого тела, если в процессе решения с интегральными операторами обращаться как с упругими постоянными. В итоге решение будет представлено как произведение функции от упругих постоянных и от пространственных координат на известную функцию времени. Последняя определяется по заданным силовым или кинематическим воздействиям. Далее следует заменить упругие постоянные интегральными операторами и произвести необходимые операции над ними. [c.351]

Применение интегральных преобразований позволяет свести задачу об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных к интегрированию системы обыкновешных дифференциальных уравнений для изображения искомых функций. Для иллюстрации этой идеи мы приведем здесь решение задачи об упругой полуплоскости с помощью преобразования Фурье для областей другого вида оказываются удобными другие интегральные преобразования. Напомним, что в 10.4 были изложены приемы, позволяющие получить относительно простое решение этой задачи формулы (10.4.2) и (10.4.3) относились к случаю, когда на границе Oia = О, а формулы (10.4.7) и (10.4.6) —к случаю, когда равно нулю нормальное давление Огг при Хг = 0. Таким образом, задача о полуплоскости может быть сведена к определению одной единствеиноп функции ф(г) по заданным значениям ее действительной или мнимой части на границе. Ограничиваясь теми примерами, которые были рассмотрен] в 10.4, перейдем к изложению метода интегральных преобразований. [c.348]

Во многих случаях в книге применяется также энергетический метод решения задач теории упругости. При этом интегрирование дифференциальных уравнений заменяется исследованием условия минимума некоторых интегралов. При помощи метода Ритца эта задача вариационного исчисления сводится к простой задаче отыскания минимума функции. Таким способом удается получить приближенные решения во многих практически важных случаях. [c.17]

Здесь а и Ь — внутренний и внешний радиусы кольцевой области, а р — немая переменная интегрирования. Функции, определяемые зависимостями (е) и (ж), вводятся в (е). Затем из формул (б) находятся перемещения, а по ним с помощью формул (48), (49) и (50) —компоненты деформации 8 ., ео, Тг0- Они в свою очередь приводят к напряжениям путем использования уравнений (б) и (в) из 150 для плоского напряженного состояния и уравнений (б) из 151 для плоской деформации. Зависимость между касательным напряжением и деформацией сдвига имеет просто вид Тгв = Оугв. [c.485]

Возможность получить у = у(х) дает решение, основанное на уравнении (XII. 1), интегрирование которого даже для простейших случаев опорных устройств, нагружения и геометрии стержня является сложным, а общий интеграл (XII. 1) выражается через специальные функции. Из этого решения следует, что значениям Р) < Р < Р)(" " соответствуют п + 1 возможные формы равновесия упругой линии стержня. Дополнительное исследование этих форм говорит, что устойчивой является только одна из них — криволинейная, имеющая наименьщее число точек перегиба, возможное при опорных устройствах данного стержня. [c.359]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...