Интегрирование уравнений Коши

Подставляя напряжения в уравнения равновесия (б) (при X = У = 0), а деформации — в уравнение совместности деформаций (2.21), видим, что они выполняются. На гранях ML и ON ввиду равенства Оу = Ру равновесие также соблюдается во всех точках. Следовательно, напряжения равновесны, а деформации совместны и им отвечает непрерывное поле перемещений, которое найдем путем интегрирования уравнений Коши (2.14), которые в данном случае получат вид [c.42]

Интегрирование уравнений Коши [c.626]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОШИ 627 [c.627]

I 8.6] ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОШИ 629 [c.629]

Схема интегрирования уравнений (9.3) без определения (Oj-, ( ) у и Юг. Интегрирование уравнений Коши можно осуществить и не используя функций tOj Ыу и oj, при этом производные функций и, V и W, входящие в формулы (9.34), выражают непосредственно через известные функции ej е , е ,. .., у х- Покажем, как это делается. [c.631]

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ КОШИ [c.633]

Как видно из изложенного выше, интегрирование уравнений Коши всегда сводится к квадратурам, и, таким образом, можно считать, что оно выполнимо всегда. [c.633]

Поскольку подробно интегрирование уравнений Коши было прокомментировано в 9.6, здесь покажем лишь результаты интегрирования и, чтобы читатель, выполняя это интегрирование самостоятельно, имел возможность контролировать правильность [c.31]

Поскольку подробно интегрирование уравнений Коши было прокомментировано в 9.6, здесь никаких пояснений не даем и при- [c.117]

Выполним интегрирование уравнений Коши Р(1-г) [c.152]

После того как будут найдены функции напряжений, из уравнений обобщенного закона Гука можно определить все деформации, а далее интегрированием функций деформаций (уравнений Коши) можно получить и функции перемещений, удовлетворяющие заданным геометрическим граничным условиям. [c.56]

Определение и s< > сводится к интегрированию уравнений (13.3.6). Эта система по форме совпадает с условиями Коши—Римана, которым должны подчиняться действительная часть и коэффициент при мнимой части аналитической функции комплексного переменного. Отсюда следует, что [c.181]

Эти )фавнения в точности совпадают с уравнениями для приращений метода последовательных нагружений, построенными В.В. Петровым [276]. Изложенный здесь подход с точки зрения метода продолжения решения по параметру, позволяющий легко строить различные уточненные (как явные, так и неявные) вычислительные схемы интегрирования задачи Коши и варьировать параметры продолжения, дан в работах [173, 348]. Уточненные схемы метода последовательных нагружений предлагались также в статьях [176, 14, 177, 181, 180]. Подробное изложение метода последовательных нагружений и полученных с его помощью результатов дан в монографии [284]. [c.183]

Основная идея предлагаемого метода заключается в разделении процессов интегрирования задачи Коши для уравнений оболочки (уравнений равновесия и геометрических соотношений) и уравнений состояния материала. Интегрирование уравнений состояния материала выполняют для каждой точки отдельно, обеспечивая заданную точность решения для этой точки. [c.279]

Задача сводится к интегрированию уравнения Лапласа при линейных гра-280 ничных и начальных условиях. И Коши, и Пуассон- подвергли детальному исследованию волны, вызываемые местным возмущением свободной поверхности бесконечно глубокого и неограниченного протяженного бассейна, позже были исследованы также некоторые случаи, соответствующие конечной глубине и наличию стенок (сосуда). Уже в XX в. было показано, что для сосуда конечных размеров математическая постановка задачи должна быть существенно изменена. Тем не менее теория Коши — Пуассона бесконечно малых волн имела и имеет большое значение при изучении волновых движений она достаточно хорошо оправдывается опытом, и с ее помощью были выявлены некоторые существенные черты волновых движений. [c.280]

Поле скоростей находим численным интегрированием уравнений (2.11), (2.12) из решения смешанной краевой задачи с граничными условиями (3.12), (3.13) или с условием непрерывности скоростей на 0 ОСВ при ф = 7г/2. На рис.3 6 показано поле скоростей в виде годографа в плоскости Ух- , УгА, соответствующее полю линий скольжения, показанного на рис.За. В отличие от годографа при плоской деформации в треугольных областях Коши под эллиптическим штампом и около свободной границы полупространства поля скоростей неоднородны, и в области центрированного веера линий скольжения скорости зависят от обеих полярных переменных с центром на ребре штампа. Сравнение соответствующих областей, образуемых узловыми точками на поле линий скольжения и на годографе скоростей, показывает, что скорость деформации 3 по направлению напряжения сгз отрицательна, и неравенство (2.15), контролирующее неотрицательность диссипации В, выполняется. [c.70]

Вопрос об интегрировании уравнений упругого равновесия при заданных граничных условиях привлекал внимание великих математиков, начиная с Коши и Пуассона, но не получил у них решения. Впоследствии этим вопросом занимались многие выдающиеся учёные ими были предложены различные формы выражений, в которых могут быть представлены решения уравнений упругого равновесия. Эти формы решений и методы их нахождения, на наш взгляд, представляют большой интерес, [c.113]

Если принять за основные функции неизвестные перемещения, то решение задачи теории упругости можно свести к интегрированию системы трех дифференциальных уравнений в перемещениях. Действительно, заменяя в дифференциальных уравнениях равновесия (движения) (2.22) компоненты напряжений через компоненты деформаций согласно обобщенному закону Гука (2.24), а затем с помощью геометрических уравнений Коши (2.23) представляя компоненты деформаций через компоненты перемещений, получаем три дифференциальных уравнения равновесия в перемещениях [c.74]

Дело Б том, что в многосвязных телах (телах с пустотами или отверстиями) возможно существование таких полей совместных деформаций, которым отвечает локально-разрывное поле перемещений. Рассмотрим тонкую пластинку с отверстием (рис. 2.10, а) как простейшее двухсвязное тело. Превратим ее в односвязное тело, проведя разрез через точку М (рис. 2.10, б). Пусть поле деформаций, возникающих в пластине с разрезом, будет совместным и ему будут отвеча-чать непрерывные функции перемещений во всем объеме. Но в общем случае в точках и М , принадлежащих разным берегам разреза, возникнут разные перемещения Ф м, м, = т. е. вдоль линии разреза возникнут разрывы в перемещениях. При интегрировании уравнений Коши для пластин с отверстием надо такие поля перемещений исключить. Поэтому в дополнение к уравнениям совместности составляются условия однозначности перемещений для точек воображаемого разреза, а именно [c.36]

Общая схема определения и, и Интегрирование уравнений Коши, т. е. операция отыскания функций и, v nw т уравнений (9.3) при условии задания функций е , Ъу, е , уху, уу , Угху может быть выполнено путем использования (кроме уравнений [c.626]

Так как область интегрирования произвольна, то подинтегральное выражение всюду равно нулю. Таким образом, мы получаем первое из следующих уравнений, два же других напишутся по аналогии. Это уравнения Коши [c.312]

Соблюдение условий совместности деформаций (6.23), как уже указывалось, гарантирует интегрируемость уравнений Коши (6.И) для любой области, односвязной и неодносвязной, но однозначность перемещений это соблюдение гарантирует лишь в телах односвязных. В неодносвязной области при соблюдении лишь условий Сен-Венана нельзя гарантировать однозначность перемещений. Действительно, совершая интегрирование по замкнутой [c.478]

В теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами такое построение решения известно под названием метода Коши- Исторически, однако, получилось так, что в сопротивлении материалов тот же по существу метод был разработан на основе механических идей, В создании метода в такой трактовке принял участие ряд ученых, среди них были А- Клебш, И. Г. Бубнов, Н. П. Пузыревский, А. Н. Крылов, Н, К- Снитко. Этот метод получил название метода начальных параметров. Он используется в механике твердых деформируемых тел не только при интегрировании уравнения изгиба балки, но и в других случаях (см. гл. II, XI), где ситуация аналогична (наличие участков)—при интегрировании дифференциальных уравнений изгиба балки на упругом основании, сложного (продольно-поперечного) изгиба балки и других аналогичных. [c.215]

Метод матриц перехода. Весьма эффективный численный метод, приспособленный для ЭВМ [14], основан непосредственно на общей теории. Этот метод состоит в вычислении матрицы перехода (монодромии) R и исследовании мультипликаторов как собственных значений этой матрицы. Первая часть алгоритма — построение матрицанта X (/) непосредственным численным интегрированием уравнения (3), например, по методу Рунге — Кутта для этого нужно решить 2га задач Коши с начальными условиями, следующими из (7). Матрица перехода R находится как значение матрицанта в конце первого периода. Другая существенная часть алгоритма — [c.130]

В уравнении теплопроводности можно аппроксимировать конечными разностями производные не по всем независимым переменным. В итоге получится система дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных). Если удается получить аналитическое решение такой системы, то оно будет приближенным решением задачи, так как при конечноразностной аппроксимации внесена погрешность в математическое описание процесса тегглопро-водности. Однако обычно такой прием частичной замеггы производных конечными разностями, известный как метод прямых [27], используют для решения полученной системы уравнений одним из эффективных численных методов. Например, для задачи нестационарной теплопроводности- аппроксимация производных по пространственным координатам переводит уравнение в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем случае нелинейных), которая может быть решена методами численного интегрирования Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Адамса и т.п. [4, 104]. Такую же систему обыкновенных диф -ренггиальных уравнений получают из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней [27]. [c.210]

В теории ребристых оболочек широко применяется также метод непосредственного интегрирования уравнений ребристой оболочки обычно с помощью двой- " ных и одинарнйх тригонометрических рядов. Так как коэффициенты уравнений в местах присоединения ребер терпят разрыв, переменные не разделяются. Использование двойных рядов приводит к бесконечной системе алгебраических урав- яений, а одинарных в направлении, нормальном к осям ребер, к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При использовании разложения в окружном направлении для оболочек со шпангоутами или в продольном направлении для оболочек со стрингерами переменные разделяются, поэтому здесь дело обстоит проще. Получается система обыкновенных дифференциаль- ных уравнений восьмого порядка со слагаемыми в виде дельта-функций. Перенося эти слагаемые в правую часть, можно представить частное решение с помо- -щью формулы Кошн в виде интегралов с переменным верхним пределом. Процесс дальнейшего решения становится рекуррентным и сводится к последова- I тельному решению систем восьми алгебраических уравнений. Число таких решений равно числу ребер плюс одно решение. Указанный метод использовал Н. И. Карпов [40] при расчете круговой цилиндрической оболочки с продольны- ми ребрами, а также П. А. Жилии [24] при анализе осесимметричной задачи для круговой цилиндрической оболочки со шпангоутами. При использовании формулы Коши необходимо знать систему нормальных фундаментальных функций (ядро Коши). Метод определения ядра Коши для линейных дифференциальных уравнений е переменными коэффйциеитами развит в книге И. А. Биргера [4]. Он осно- г -ван на решении так называемых нормальных интегральных уравнений (аналоги уравнений Вольтерра). В указанной книге дан также ряд приложений теории нормальных интегральных уравнений. [c.324]

На рис. 1.12 точками представлен результат интегрирования задачи Коши для уравнения (13.19) методом Эйлера с шагом ЛХ = 4. Крестикам соответствует результат, полученный модифицированным методом Эйлера с тем же шагом. Кружками обозначены точки, полученные методом Рунге — Кутта 4-го порядка с шагом ДХ = 4 и ДХ = 2. Здесь мы уже имеем практическое совпадение с точным решением. С целью сохранения накопившейся погрешности переход через точку фуркации Б осуществлялся также по условию симметртш, как и при построении лемнискаты Бернулли. [c.48]

Начальное состояние оболочки задано соотношениями (4.6.2) нриР = 0. Это состояние определяет начальные значения Zq, То вектор-функций Z и Т при X = О, необходимые для интегрирования задачи Коши для уравнений [c.141]

Таким образом, определение собственных чисел и собственных функшш задачи (5.1.3) для областей D е М состоит в определении и для канонической о сти и интегрировании задачи Коши (5.1.7), для которой П/ и W/ являются начальными условиями. Правые части уравнений продолжения (5.1.7) для каждого значения параметра являются решением задачи (5.1.8). Поскольку в п цессе продолжения по параметру для каждого значения X известны юбственные функции к, (Х) и собственные значения (2 (Х), то решение задачи (5.1.5) сводится к вьпш-слениям интегралов в соотношениях (5.1.12)-(5.1.14) и суммированию [c.150]

Продолжение решения уравнения (1.1.1) на основе интегрирования задачи Коши (1.1.6) с помощью явшлх схем будем называть непрерывным продолжением. [c.178]

Подход Давиденко использован для исследования свшств операторов уравнений Феппля—Кармана в работе [440]. Отдельные задачи [514,462, 402, 38, 179, 39, 343, 300,461, 187, 532] решены с помощью дифференцирования по параметру с применением различных явных схем разного порядка точноста и неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру и методов типа прогонки для решения пошаговых линейных краевых задач. [c.186]

Различные методы решения нелинейных з ч теории пологих оболочек. обсуждаются в работе [172] применительно к нелинейным алгебраическим уравнениям метода Ритца. Наряду с методом продолжения решения в форме Давиденко и с использованием явных схем для интегрирования задачи Коши по параметру (непрерывное продолжение), рассматривается также модифицированный процесс Лазя (дискретное продолжение), причем для получения начального приближения предлагается квадратичная экстраполяция [199]. [c.188]

С целью устранения накопления ошибки при шаговом интегрировании задачи Коши использовались неявные схемы интегр фования, которые требуют организации итерационного процесса на каждом шаге по параметру. Общий вид шагового процесса интегр1фования задачи Коши для уравнения (1.5.1) с использованием неявных схем можно представить в виде [c.191]

Оценим значение шага, необходимое для получения приемлемых результатов в процессе интегрирования задач Коши. Исходим из того, что при интегрировании уравнения у = = ту, уф) — 1 (точное решение у — е ) методом Кутта — Мерсона четвертого порядка погрешность решения на одном шаге [159] г = тАх)Ч720, где Дл — шаг интегрирования. Поскольку решение (III.31) изменяется какехр (P[c.60]

Простейшим и наиболее глубоко и всесторорше изученным случаем интегрирования уравнений Эйлера для несжимаемой жидкости является так называемое безвихревое движение с потенциалом скоростей. Понятие потенциала скоростей было введено самим Эйлером. Лагранж в 1781 г. первый нашел те динамические условия, при выполнении которых будет существовать безвихревое движение с потенциалом скоростей. Теорема Лагранжа, лежащая в основе всей теории безвихревого течения и оправдывающая практическое применение теории, Г>ыла в 1815 г. более строго доказана Коши (1789—1857), [c.24]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Трудности, связанные с интегрированием уравнений упругого равновесия при заданных граничных условиях, оказались столь значительными, что их не смогли преодолеть для упомянутых основных задач теории упругости (растяжение, кручение, изгиб) даже такие великие математики, как Коши и Пуассон. Только Сен-Венан смог найти практически пригодное решение задач растяжения, кручения и изгиба призматических брусьев. Но это удалось ему потому, что он отказался от точного удовлетворения граничных условий в тех концах брусьев, где приложена действующая на брус нагрузка. Эти граничные условия удовлетворяются у Сен-Венана приближённо, на основании вышеупомянутого принципа, только для равнодействующей силы и момента равнодействующей пары заданной системы нагрузок. [c.105]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...