Интеграл дифракционный

Рассмотрим сначала дифракционные явления Фраунгофера. В этом случае множитель 1/г в (43.1) можно считать постоянным, равным 1/г, и вынести его из-под знака интеграла, полагая г г. Величину г в аргументе косинуса можно заменить приближенным выражением [c.186]

Применяя метод разделения переменных, можно получить выражения для рассеянного поля в виде суммы собственных функций, которая хорошо сходится лишь для рассеивателей небольших по сравнению с X размеров. Однако, применяя преобразование Ватсона для превращения суммы в контурный интеграл, из этих рядов можно получить асимптотическое разложение. Решение, как правило, получается в виде суммы двух членов, первый из которых представляет собой геометрооптический член, а второй —дифракционный, отвечающий за образование дифракционных полей одного из четырех типов. [c.35]

Знания геометрической волновой поверхности на выходе оптической системы или, что эквивалентно, семейства лучей, ортогональных к этой поверхности, во многих случаях достаточно для описания системы. Оно позволяет найти фокальные точки, каустики, другие характеристики. Однако в некоторых случаях геометрическая оптика неприменима, например в окрестности фокальной точки, т. е. там, где радиус кривизны волновой поверхности сравним с длиной волны. В этой области волновое уравнение решают с помощью интеграла Кирхгофа — Френеля. Обычно применяют комбинированный подход, заключающийся в том, что методами геометрической оптики на выходе оптической системы определяют волновую поверхность, используя ее для вычисления дифракционного интеграла в окрестности фокальной точки. Практика подтверждает допустимость и плодотворность такого метода. [c.10]

Второе замечательное свойство разложения (1.6)—независимость коэффициентов Ст, определяющих распределение энергии дифрагированного света по порядкам дифракции, от вида эйконала записи, т. е. для данного вида зависимости (1.3) можно искать эти коэффициенты, считая Фо линейной функцией координат в плоскости ДОЭ, а сам элемент — периодической решеткой. Определение эффективности дифракционных решеток путем преобразования Фурье профиля штриха, к которому сводится интеграл (1.5) при линейной зависимости Фо от координат, широко известно [34], однако Ст легко вычислить, не прибегая к такого рода упрощениям. Отметим, что коэффициент пропускания t и эффективность ДОЭ в данном порядке (т. е. квадрат модуля Ст, имеющий смысл отношения интенсивности света, дифрагированного в т-й порядок, к интенсивности падающего света) зависят от многих факторов длины волны падающего [c.13]

Вычислим интеграл (7.12), считая Аф и Аг]) малыми по сравнению с X/k. После преобразований получим следующую приближенную формулу для дифракционной эффективности неидеального ступенчатого ДОЭ в минус первом порядке [c.204]

До сих пор в нашем рассмотрении мы пользовались соображениями геометрооптической оптики. Чтобы получить более близкую к действительности картину мод неустойчивого резонатора, необходимо использовать волновое приближение (например, можно снова использовать дифракционный интеграл Кирхгофа). Мы не будем здесь рассматривать подробно этот вопрос, а лишь приведем и обсудим некоторые важные результаты. [c.225]

Есть два способа построения геометрической оптики. Первый, наиболее общий, связан с уравнением эйконала [1, 7, 8]. Второй — с вычислением интеграла Френеля — Кирхгофа методом стационарной фазы. Преимущество этого способа состоит в том, что он позволяет рассматривать геометрические и дифракционные эффекты с единой точки зрения (см. приложение 1). Именно таким образом строится дифракционная теория аберраций [7]. В нелинейной оптике первому способу соответствует [c.57]

Выражение (2.95) показывает, что линзу можно рассматривать как фазовый модулятор с квадратичной зависимостью фазовой модуляции от координат. Она трансформирует каждую волну, исходящую из элементарных источников — точек объекта, и создает таким образом картину пространственного распределения амплитуд в изображении. С точки зрения этой трансформации дифракция одной элементарной волны определяется при помощи дифракционного интеграла по поверхности линзы, а всех волн, исходящих от плоского предмета, — интегралом по координатам предмета (рис. 31) [c.50]

Теоретически форму распределения интенсивности можно рассчитать следующим образом. Пусть точка на круглом отверстии имеет плоские координаты р, 0, а точка на дифракционной картине — плоские координаты со, ф. Тогда амплитуда электрического поля выражается через дифракционный интеграл Кирхгофа [36] [c.63]

Интеграл в (1.21) обычно называют амплитудным дифракционным интегралом, с которым мы в дальнейшем будем часто встречаться. Поэтому проведем его вычисление и преобразование. Выполняя интегрирование в (1.21), получим [c.31]

Содержание книги достаточно полно отражено оглавлением. Несколько больше внимания, чем обычно, уделено статистическим свойствам света и спектральному представлению. Дифракция изложена в рамках интеграла Кирхгофа. На материале геометрической оптики и интерференции в тонких пленках показана эффективность матричных методов. Дифракционная теория формирования изображений, пространственная фильтрация изображений, голография и другие аналогичные вопросы представлены единообразно в рамках Фурье-оптики. Анализ частичной когерентности и частичной поляризации проводится в рамках первой корреляционной функции. [c.9]

Функция P зрачка оказывает влияние на дифракционную картину Если зрачок не очень мал, то Р = 1 для всех х, у, потому что вне зрачка экспоненциальные функции, зависящие ч "(хо,уо) от этих переменных, сильно осциллируют и вклад в интеграл от области вне зрачка становится пренебрежимо малым. При этом условии интегрирование по dx и d в (36 4) можег быть выполнено с помощью известной из таблиц интегралов формулы [c.240]

Отсюда видно, что поле в фраунгоферовой дифракционной картине, т. е. в фокальной плоскости объектива, представляет собой (с точностью до постоянного множителя) двухмерное преобразование Фурье функции Е х, у), описывающей поле в плоскости ху. Функция E kx, ky), т. е. фурье-образ искаженного препятствием волнового поля Е х, у) в плоскости ху, пропорциональна комплексной амплитуде плоской волны, дифрагировавшей в определенном направлении kx, ky. Пространственное разделение волн, дифрагировавших в разных направлениях, позволяет наблюдать отдельные фурье-компоненты функции Е(х, у). Поэтому можно считать, что в дифракции Фраунгофера физически осуществляется разложение функции (лг, у) в двухмерный интеграл Фурье. [c.292]

Рис. 2.1. К выводу дифракционного интеграла в параксиальном приближении

Такое упрощение дифракционного интеграла (2.1) называют приближением Френеля. Очевидно, что оно должно достаточно точно описывать ситуацию, если максимальное изменение фазы экспоненты, вносимое членом более высокого порядка в разложении корня (2.2), много меньше тг. Это условие выполняется, если [c.119]

Таким образом, получаем простые синусоидальные полосы постоянной амплитуды. Сравнение с дифракционной картиной Френеля показывает, что для данного объекта дифракционная картина не зависит от того, в каком приближении берется общий интеграл Кирхгофа (см. задачу 2). [c.51]

Если дифракционные амплитуды г )(/, т, п) могут быть измерены так, чтобы можно было вывести Р и), то распределение р(г) можно получить численной оценкой этого интеграла. Однако для рассматриваемых нами излучений амплитуды волн нельзя измерить. Можно зарегистрировать лишь интенсивности, которые даются выражением г)зг)з. Таким образом, информация об относительных ф)азах дифрагированных пучков утрачивается, и функцию р(г) нельзя получить непосредственно. [c.103]

Формула Кирхгофа применима к решению различных дифракционных задач, например, при прохождении излучения через отверстие произвольной величины и формы в непрозрачном экране (рис. 5.1.3). Предположим, что излучение попадает на экран, отверстие которого А затянуто плоской прозрачной пленкой 5л. Если дополнить пленку сферической поверхностью 5, то получим замкнутую поверхность, к которой можно применить формулу Кирхгофа при бесконечном увеличении радиуса сферической поверхности. В этом случае интеграл Кирхгофа, взятый по этой части поверхности, стремится к нулю. Интеграл Кирхгофа применяем лишь к той части поверхности 5 , которая совпадает с отверстием А в непрозрачном экране, так как на поверхности пленки, закрытой непрозрачным экраном от прямого излучения, амплитуда световой волны равна нулю. Обозначим 6 угол, образованный радиусом г, исходящим из произвольной точки М отверстия А к точке наблюдения Ро, с нормалью п, восстановленной в точке М, внутри поверхности 5. Исходя из этого, можно показать, что в этом случае интеграл (5.1.4) принимает более простой вид [c.335]

В гл. 3 гармонические члены фурье-разложения оптической структуры объекта в виде многоапертурной решетки отождествлены с деталями создаваемой ею дифракционной картины. Аналогичная связь существует между единичной апертурой и ее дифракционной картиной, и эта связь нуждается в дальнейшем исследовании. Речь идет о фурье-преоб-разовании, включающем в себя, как и следовало ожидать для непериодической картины, не ряды, а интеграл. Этот вопрос рассматривается в разд. 4.2. [c.62]

Выражение (3.2) представляет собой дифракционный интеграл Кирхгофа — Френеля в приближении дифракции Френеля (первая экспонента — амплитуда волнового поля, сформированного оптической системой в ее выходном зрачке, вторая — фре-нелевский множитель) со всеми вытекающими отсюда ограничениями [24]. [c.84]

Рис. 4.20. К расчету мод плоскопараллельиого резонатора с помощью дифракционного интеграла Кирхгофа.

Расчет конкретных схем преобразования изображения основан на приближенном вычислении интеграла Грина (2.27), что позволяет выделить часть нелинейного кристалла, дающую основной вклад в излучение на суммарной частоте, и пренебречь влиянием остальной части. Излучатели, интерферирующие точно в фазе, определяют лучи, соответствующие геометрической оптике. Оставшиеся излучатели описывают эффекты, аналогичные дифракционным. Таким образом, удается построить отдельно геометрическую онтику нелинейно-оптических преобразователей (гл. 2, 4), а затем дать дифракционную теорию разрешающей способности (гл. 3, 4). [c.57]

Последний сомножитель в выражении (4.58) только видом медленной амплитудной функции отличается от рассмотренного в предыдущем разделе интеграла (4.35). Это позволяет утверждать, что распределение элект ромагнитного поля частоты os в плоскости фокусировки накачки xz имеет дифракционный характер при малых апертурах в направлении оси у, параллельной линейному источнику накачки, а ири произвольных апертурах — в иерпенди-кулярном направлении. В самом деле, если даже апертура велика, так что нельзя пренебрегать зависимостью фазы экспоненты в первом интецрале (4.58) от ф , то этот интеграл не зависит от положения точки наблюдения 6ps. Следовательно, зависимость его от фгг приведет к появлению дополнительной апертурной диафрагмы. Характер распределения остается дифракционным. [c.106]

Из (7.88) следует, что в дифракционном гало и в обоих голографических изображениях наблюдаются интерференционные картины с одинаковым периодом, что свидетельствует об одинаковой чувствительности голографической и спекл-интерферомет1ЯШ к наклонам объекта. Различие состоит в том, что интерференционные полосы формируются в оптических полях, имеющих разные распределения интенсивности и пространственную протяженность. Действительно, поскольку интервал значений переменных, в котором интеграл автокорреляции не равен нулю, определяется [74] удвоенной шириной исходной функции, то протяженность дифракционного гало в два раза больше протяженности изображения. Поэтому в дифракционном гало должно укладываться в два раза больше полос, чем на голографическом изображении. [c.170]

Дифракционную картину (по интенсивности) можно рассматривать как импульсный отклик оптической системы. Интенсивность изображения как функция пространственных координат изображения легко определяется через интеграл свертки функции распределения интенсивности в предмете (получаемого в плоскости изображения при использовании приближения геометрической оптики) с функцией распределения интенсивности дифракционной картины (в плоскости изображения). Фурье-образ дифракционной картины также называется функцией частотного отклика оптической системы, так как он дает распределение света в изображении предмета, имеющего пространственно периодическое распределение интенсивности. Наконец, можно легко показать, что функция частотного отклика оптической системы равна пространственной свертке комплексной амплитуды распределения света в апертуре с этой же комплексной амплитудой. Например, для равномерно освещенной апертуры, рассмо тренной выше, функция частотного отклика, как это сразу видио. [c.41]

Когда в лазере генерирует наинизшая угловая мода, распределение интенсивности на зеркале близко к функции Гаусса. Если пределы фраунгоферовского дифракционного интеграла можно расширить до бесконечности (в большинстве случаев это законное приближение), то интеграл берется точно. В результате получается, что распределение интенсивности в пучке также имеет гауссову форму. Фраунгоферовские дифракционные интегралы от картины поля, определяюш,ейся выражением (3.10), также могут быть взяты точно, так что форма распределения интенсивности в пучке идентична картине ближнего поля. [c.71]

Теперь ясно, как можно рассмотреть дифракцию на произвольной периодической структуре. Надо, представить ее характеристики рядом Фурье, рассмотреть дифракцию первого порядка, описываемую отдельными членами ряда Фурье. Совокупность этих дифракций первого порядка составляет всю дифракционную картш на периодической структуре. Ясно, в принципе, что дифракцию на непериодической (структуре можно рассмотреть аналогично. Надо вместо ряда Фурье. использовать интеграл Фурье [c.231]

На дифракционном этапе в случае пучков с узким угловым спектром поле может быть описано с помощью нестационарного интеграла Кирхгофа [Морс, Фешбах, 1958]. [c.110]

В общем случае величина р определяется из решения нелинейной дифракционной задачи для волны накачки (в духе задач, рассмотренных в гл. 4). При этом как нахождение так и вычисление интеграла в (2.3) может оказаться достаточно сложным делом, поэтому обычно здесь принимаются дополнительные упрощающие предположения, основанные на качественном анализе поведения первичного пучка в зависимости от соотношения характерных масштабов нелинейности 1 , Щ1фракции 1д, а также затухания 1 . [c.130]

Третий случай. Широкие щели. Ы1 = 2 Ио- Далеко на крыльях положение / яа рис. 11) ситуация вполне аналогична рассмотренной для 1 = 1. Как только в область окна попадает центральный максимум, значение интеграла свертки резко возрастает и практически не меняется при дальнейшем смещении окна к центру. Из рис. 11 видно, что положение и вблизи х = 0 чрезвычайно невыгодно для усреднения. Заштрихованная на рисуцке область дифракционной кривой намного меньше, чем площадь самого окна . Результатом этого является уменьшение максимума по отношению к крыльям контура. Одновременное увеличение ширины входной и выходной щелей монохроматора приводит к тому, что расширяющаяся центральная часть и поднимающиеся крылья формируют в конце концов характерный треугольный контур. [c.23]

Вспомним теперь, как была выведена формула (44). Интересующая нас переменная составляющая сигнала получена в результате вычисления интеграла j j os2na(Ao + 2ex)dxdt/. Интегрирование производилось по всей поверхности дифракционных решеток. Преобразуем этот интеграл [c.68]

Определенная таким образом интенсивность есть интенсивность в точке S, которой по (8) соответствует определенный угол рассеяния. При рассеянии кристаллом, а иногда и волокнистыми веществами — в тех случаях, когда образуются отдельные узкие дифракционные пучки, дающие резкие рефлексы на рентгенограммах,— измеряют суммарную, интегральную интенсивность таких рефлексов, т. е. берут интеграл по всем значениям У(8), соответствующим некоторому телесному углу, скажем, вокруг S = Иш-Так, например, если вращать с угловой скоростью ш кристаллик объема dv, облучаемый пучком рентгеновых лучей с энергией Г, (падающей на единицу площади), то полная, отраженная им в направлении hkl энергия Е определяется соотношением [2, 3] [c.19]

Существует несколько альтернативных соотногпений, связывающих и(Р) и г (Pl). В параксиальном приближении они все сводятся к одному виду. Поэтому для целей теории открытых резонаторов, в которой вполне уместно ограничиться параксиальной оптикой, выбор формы дифракционного интеграла не имеет особого значения. Мы возьмем за основу дифракционный интеграл в форме Рэлея Зоммер-фельда, поскольку вывод этого соотногаения свободен от внутренних противоречий, характерных для другой формы дифракционного интеграла — формулы Френеля-Кирхгофа [32. [c.118]

Подчеркнем, что мы рассматриваем лигпь монохроматические волны. Это волны, амплитуда которых и в каждой точке пространства неизменна. Следовательно, формула (2.1) или (2.4) не описывает процесс расиростраиепия ноля от отверстия до точки Р, а устанавливает лигпь связь в один и тот же момент времени между пространственным распределением ноля в плоскости отверстия экрана и значением данной компоненты поля в точке наблюдения Р,. Часто, обсуждая те или иные задачи дифракции, говорят о распространении волны, о дифракции ее на апертуре и проч., подразумевая, что имеется некоторый немонохроматический пучок, который распространяясь по пространству, встречает препятствия, например, экран с отверстием, и, проходя через это препятствие, искажается. Причем искажения описываются формулой (2.1) или (2.4). Такая терминология в случае параксиальных, квазимонохроматических пучков (амплитуда медленно меняется по сравнению с членом ехр(—га )), оказывается вполне оправданной. Это следует из рассмотрения дифракционного интеграла для нестационарных пучков [31, 32], который в данном случае сводится к виду (2.4). Более подробно с этим вопросом можно ознакомиться в книге [31]. Здесь же лишь отметим законность терминологии, по которой мы будем в дальпейгпем, используя интеграл (2.4), говорить о распространении соответствуюгцих параксиальных нучков. Таким образом, формула (2.4) описывает изменение пространственного распределения комплексной амплитуды поля и при распространении волны от экрана до плоскости наблюдения. [c.120]

Корф [8.35] взял интеграл перекрытия (Аг, 8) для случая дифракционно-ограниченной системы с круглой апертурой, а оставшиеся интегралы рассчитал численным методом. Его результаты представлены на рис. 8.33. Предполагается, что величина Го равна 13 см и приводимые результаты относятся к телескопной оптике диаметром О , равным 15 см, [c.426]

Оценивая интеграл, можно показать, что дифракционная картина определяется из выражения 1/(/ о +/ ) + фR ) =1//, а изображение, как и прежде, — из /R) +(1// ) = 1//. Влияние неполной когерентности падающего излучения на дифракционную картину или на изображение, т, е. освещение объекта некогерентным источником заметной протяженности, учитывается благодаря суммированию интенсивностей для каждой отдельной точки источника. Таким образом, вычисляем интенсивность для точки источника X = X, которая составит величину 1115х (х) р согласно [c.69]

Ограничение ММС возможно также и при нарушении временной когерентности, т. е. для достаточно широкополосного излучения 15П. Это связано с подавлением развития дифракционных эфс ктов, служащих источником затравочных возмущений, если длина дифракционного развития больше длины когерентности L =lMv (Av — ширина спектра). Интеграл распада Врн пропорционален степени когерентности 7к<1 ВрвХу Вр. В работе ]52 экспериментально показана возможность повышения яркости широкополосного излучения. [c.259]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...