Лагранжа натуральные системы

Для обоснования принципа Гамильтона были использованы уравнения Лагранжа в независимых координатах. Сами же эти уравнения в случае натуральной системы были получены из общего уравнения динамики [c.107]

Для натуральной системы функция Лагранжа имеет вид L = Т — V, [c.96]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

Понятие натуральная система по своему смысловому содержанию является более широким, чем приведённое выше. К натуральным системам естественно относить любые динамические системы, аксиоматика которых имеет научные физические основания. Тогда, например, релятивистская частица, описываемая функцией Лагранжа (коэффициент при сИ в формуле (38.15)), не будет считаться ненатуральной на том лишь основании, что выражение функции Ь не является полиномом второй степени относительно скорости. Системы с функцией Лагранжа вида (5) далее будем называть системами с евклидовым действием. [c.130]

Натуральная механическая система — тройка (М, йз, У), где М — гладкое п-мерное многообразие (конфигурационное пространство), ds — риманова метрика на М (которая задает кинетическую энергию системы = ds/dt) /2), У — гладкая функция на М (потенциал поля сил). Движения натуральной системы — это отображения т А М (Д — интервал в К), удовлетворяющие в локальных координатах на М уравнениям Лагранжа с лагранжианом = 5 + У. Так как форма [c.130]

Натуральные системы обратимы их лагранжианы инвариантны при подстановке i —> —I, так что наряду с движением всегда имеется движение д —Ь). [c.24]

Используя эти ранее установленные факты, мы получим теперь уравнения, специально приспособленные для описания движений в потенциальных полях, и изучим некоторые общие свойства таких движений. Весь материал этой главы в равной мере относится к системам, для которых существует обобщенный потенциал. Более того, за редкими исключениями, которые будут далее оговорены, он относится как к натуральным, так и к ненатуральным системам (см. 5 гл. IV). о связано с тем, что далее мы будем исходить из предположения, что движение системы может быть описано уравнениями Лагранжа (4), и лишь в отдельных особо оговариваемых случаях будем предполагать, что [c.259]

В частном случае, когда рассматривается натуральная (т. е. консервативная) система, действию по Лагранжу можно придать определенный механический смысл. Вспомним с этой целью выражения для Р и АГ и представим функцию Якоби в виде [c.331]

Классические системы, в которых силы имеют обычный потенциал П(г , q ) или обобщенный потенциал V t, qi, ( i), мы будем называть натуральными. Для таких систем функция Лагранжа L является функцией второй степени от обобщенных скоростей, т. е. представляется выражением (4), где Z.3 — положительно определенная квадратичная форма относительно обобщенных скоростей. [c.81]

Лагранжа (с функцией Лагранжа —f —T — V) для некоторой вспомогательной натуральной склерономной системы с т степенями свободы, имеющей кинетическую энергию т [c.278]

Натуральные и ненатуральные системы. Системы, в которых силы имеют обычный II( , t) или обобщенный V qi, qi, t) потенциал, называются натуральными. В таких системах функции Лагранжа L вводится как разность Т — П или Т — У и является многочленом второй степени относительно обобщенных скоростей, причем [c.282]

Монография Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) содержит теорию устойчивости траекторий динамических систем, которую сейчас называют теорией орбитальной устойчивости. Этот труд систематизирует и пополняет результаты В. Томсона и П. Тэта, изложенные в их известном Трактате натуральной философии Для Томсона и Тэта отправным пунктом была теория кинетических фокусов К. Якоби, намеченная в его Лекциях по динамике . Якоби, исходя из наглядных геометрических соображений, показал, что на истинной траектории динамической системы действие , которое Входит в интегральные вариационные принципы механики (П. Мопертюи, Л. Эйлер, Ж. Лагранж), не обязательно минимально. Томсон и Тэт связали эти результаты с теорией устойчивости, показав, что минимальность действия на траектории влечет за собою устойчивость последней, тогда как стационарность действия на траектории,— а только к этому должен сводиться вариационный принцип механики,— оставляет вопрос об устойчивости траектории открытым, Жуковский справедливо оценил те несколько страниц из Трактата натуральной философии Томсона и Тэта, которые уделены авторами исследованию прочности (Жуковский пользуется этим термином вместо устойчивости), как только легкий набросок, в котором указываются пути для более обстоятельного исследования . [c.122]

Лагранж дал обд],ую теорию малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы, изложив ее прх помощи обобщенных координат. Работа Лагранжа написана намеренно несколько абстрактно по форме ) полная динамическая интерпретация явления выпала на долю Томсона п Тэта ( Натуральная философия , 1867), которым мы обязаны также современной терминологией в этой области. Теория была значительно развита Рэлеем и систематически использована им в акустике, а также в других областях физики, в его различных работах, большинство которых (вплоть до 1896 г.) включены в его Теорию звука ). [c.81]

Натуральная механическая система — это тройка М,Т,У), где N—гладкое многообразие (пространство положений), Т — риманова метрика на N (кинетическая энергия), V — гладкая функция на N (потенциал силового поля). Движения такой системы — гладкие отображения К —> Л , являющиеся экстремалями функционала действия Ь[д 1),д 1)) <И, где д 1) — касательный вектор к в точке д[1), Ь — Т — V — функция Лагранжа. Изменение со временем локальных координат д на. N описывается уравнением [c.23]

Определение. Системы, описываемые уравнениями Лагранжа (6), где L - квадратичная функция д, называются натуральными. [c.224]

Натуральной механической системе соответствует функция Лагранжа [c.201]

Определение. Лагранжева система на римановом многообразии называется натуральной, если функция Лагранжа равна разности кинетической и потенциальной энергий, Ь = Т — и. [c.78]

Пусть натуральная механическая система с функцией Лагранжа L = T—V стеснена идеальной односторонней связью. Тогда существуют локальные координаты <7о,. .., <7 на конфигурационном пространстве, в которых связь имеет вид <7о О, а кинетическая энергия равна [c.149]

Уравнения Гамильтона можно составлять для таких систем, динамика которых полностью задается функцией Лагранжа Ь(1,ц,д). Рассматриваются не только натуральные (механические) системы Ь = Т — П), поэтому на Ь накладывается условие (0.3) [c.77]

Пример 1. Натуральная механическая система — тройка M,T,V), где М — гладкое многообразие положений, Т — риманова метрика на М (кинетическая энергия системы), V — гладкая функция на М (потенциал силового поля). Риманова метрика — гладкая функция на касательном расслоении, которая в каждой касательной плоскости является положительно определенной квадратичной формой. Функция Лагранжа 1 = [c.20]

Евклидовское действие и натуральные системы. Классические системы, в которых силы имеют обычный потенциал Il qi,t) или обобщённый потенциал V qi,t,qi), мы будем называть натуральными. Для таких систем функция Лагранжа Ь является функцией второй степени от обобщённых скоростей, т. е. представляется выражением Ь = Ь2 + Ь + Ьо, где 1/2 — положительно определённая квадра- [c.129]

Нормальная форма линейной лагранжевой натуральной системы. Рассмотрим динамическую систему с квадратичноп функцией Лагранжа Ьг=Тг—Га О. Ее колебания выглядят особенно просто в специальных координата., которые называются главными или нормальными. [c.268]

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений классической натуральной вястемы (изображен случай двух степеней свободы, например точка на поверхности) действует семейство отображений Pi— P (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно), обладающее тем свойством, что в любой сопутствующей , увлекаемой системе координат 5i, j выражение лагранжиана получается одним н тем же. Тогда имеет место интеграл движения, представимый в виде скалярного произведения (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью лагранжиана) вектора скорости с порождающим группу векторным полем и. Особенно просто отображения симметрии выглядят в системе координат q, Q2, из которых одна — циклическая тогда соответствующие координатные линии являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, понятие симметрии есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия циклической координаты. Исключение этой координаты из рассмотрения по Раусу (переход к правой части рисунка) на инвариантном языке начинается с факторизации — перехода к новому многообразию меньшей размерности, каждой точке которого отвечает целая траектория группы симметрий многообразия положений

Весьма вероятно, что всегда существует устойчивое стационарное вращение, но доказательство пока неизвестно. Такого рода доказательство не может быть чересчур общим, вспомним трудности, возникающие при попытках обращения теоремы Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия. Нетрудно указать натуральные консервативные системы, у которых все движения компактны, но все равновесия неустойчивы. Пусть, например, потенциальная энергия V x), х е К растет на бесконечности, то есть V x) +сх) при ж +сх). Тогда все движения компактны. Можно так выбрать функцию V x), чтобы у нас было лишь одно критическое значение, а именно — минимум, и оно достигалось бы на некоторой кривой Е. Тогда равновесиями будут точки этой кривой, и только. При этом все они неустойчивы, хотя инвариантное множество Е устойчиво. Такую функцию V x) можно считать С°°-гладкой, когда Е — незамкнутая кривая (ведро с днищем в виде отрезка) и даже аналитической, когда Е — замкнутая кривая (представим себе автомобильную шину с отрезанной верхней половиной, лежащую на горизонтальной плоскости). [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...