Лагранжева система общая функция

Общие лагранжевы системы. С аналитической точки зрения форма (50) уравнений Лагранжа наводит на мысль рассматривать в виде естественного обобщения системы дифференциальных уравнений типа (50) в предположении, что 2 есть какая угодно функция от аргументов q, q м t. Эти системы обычно называются общими лагранжевыми системами. [c.296]

При распространении на случай общей лагранжевой системы гиростатическими называются те члены функции линейные относительно q, которые влияют на уравнения движения системы, но не входят в обобщенный интеграл энергии. Из сказанного вначале следует, что гиростатическими членами живой силы Т, наверное, будут члены, линейные относительно q во всех тех динамических задачах, в которых как Г, так и потенциал U не зависят от времени. [c.302]

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50 ), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S ( 119°), то можно определить посредством одних только операций вида (50 ), (50") общее решение лагранжевой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31 ), [c.440]

При этом предположении уравнение Ь Н = Ь Е, так как Ъ Н явно содержит bdt dU, не накладывает никаких ограничений ни на вариацию энергии, ни на 817, но определяет только посредством квадратуры вариацию ht, когда произвольно заданы S Е, вариации 8 (как функции от С) и, следовательно, кривая с , бесконечно близкая к траектории с решения о лагранжевой системы. Естественно, что при более общем предположении надо допустить, что при переходе от траектории с к произвольной бесконечно близкой кривой варьируются также и крайние конфигурации. [c.441]

Применяя прямо равенство (45), мы увидим, что А будет зависеть от /q, и от 2 произвольных постоянных, которые входят в общий интеграл лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (31 ) и которые мы можем отождествить с начальными значениями величин и р. Наоборот, аргументы входят в А только в виде бинома действительно, так как дифференциальные уравнения не зависят от t, то это переменное появится в решении а и, следовательно, в функции под знаком А только в виде бинома t — отсюда следует, что после выполнения интегрирования действие А будет зависеть только от ty — (но не от или /ц в отдельности). [c.442]

Общий интеграл в динамическом случае. Вернемся временно к общим рассуждениям п. 35. В особенно интересном случае, когда каноническая система, которую надо интегрировать, вытекает из динамической задачи о движении голономной системы, в которой параметры q являются лагранжевыми координатами, основной целью будет определение изменения координат q в функциях от / и постоянных интегрирования. [c.302]

Как и в общем случае, уравнения (74а), (746), конечно, будут разрешимы относительно q (в функциях от и от тг, Е, у, но здесь мы можем добавить, что при наличии t только в уравнениях (746) я—1 уравнений (74а), рассматриваемые отдельно, определят в изображающем пространстве лагранжевых координат q , q ,...,q траектории системы. Так как они тождественно удовлетворяют уравнению (72 ), не зависящему от t, то мы видим, что Е есть постоянная [c.304]

Шестая глава посвящена важнейшему разделу механики — гамильтонову формализму. Основная цель этого раздела — представить математические аспекты гамильтоновой динамики как мощный аппарат решения широкого круга задач механики, физики и прикладной математики. В лагранжевом подходе проблема решения уравнений лежит вне рамок лагранжева формализма. Положение меняется в гамильтоновом подходе, который позволяет получить решение как каноническое преобразование начальных данных, не обращаясь непосредственно к уравнениям. Вся информация об эволюции системы содержится в одной функции — гамильтониане в результате канонического преобразования можно получить новый гамильтониан, который в определенном смысле мал . Более того, поскольку все операции ограничены рамками группы движения кососимметричной метрики, то удается создать универсальные алгоритмы построения приближенных решений. В рамках гамильтонова подхода изложены теория специальных функций, каноническая теория возмущений, метод усреднения нелинейных систем, методы анализа движения системы в быстропеременном внешнем поле и т.д. Особый интерес представляет лекция 30, в которой развит метод Дирака удвоения переменных, позволяющий представить в гамильтоновой форме систему нелинейных уравнений общего вида и получить решения уравнений, описывающих сингулярно-возмущенные системы, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, разрешить проблему обращения интегралов и т.д. В лекции 32 приведено решение задачи о движении релятивистской частицы в гиперболическом волноводе, представляющей интерес для проблемы сепарации частиц по энергии и удельному заряду. В рамках канонического формализма рассмотрена задача о движении протонов в синхрофазотроне. [c.8]

Для того чтобы найти функцию 5 для произвольной заданной системы тел, будем следовать аналогии с лагранжевой функцией Т. Поскольку 5 — квадратичная функция х", у", г", то прежде всего выводим из общей теоремы о параллельных осях (п. 14), что величина 5 для системы декартовых осей координат равна величине 5 для параллельной системы осей с началось в центре тяжести, сложенной с величиной 5 для полной массы, помещенной в центре тяжести, по отношению к первой системе. [c.372]

Возвращаясь теперь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (с помощью уравнений движения реальной жидкости) дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве P(d o) или Pt d(u), т. е. решению, проблемы турбулентности. Поэтому полная бесконечная система уравнений Фридмана — Келлера [c.17]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

Различные законы сохранения (импульса, момента и т. д.) являются частными случаяьш одной общей теоремы всякой однопараметрической группе диффеоморфизмов конфигурационного многообразия лагранжевой системы, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл уравнений движения. [c.81]

Аналогичные соотношения были выведены и для задач об оптимизации систем, описываемых уравнениями с разрывными функциями / и фь. При этом условия Эрдмана — Вейерштрасса дополняются еще соотношениями, связанными с выходом оптимальных движений на поверхности разрыва функций fs и Также были исследованы задачи с ограничениями на фазовые координаты хг ( ), задачи оптимизации функционалов, включающих функции зависящие от промежуточных значений 1 ) фазовых координат, задачи с условиями разрыва этих координат и т. д. Последние задачи отличаются от подробно рассмотренной выше основной задачи оптимизации с ограничениями только на управления тем, что здесь могут иметь место разрывы непрерывности лагранжевых множителей и функции Н. Поэтому при решении таких задач возникает необходимость преодо ления некоторых дополнительных трудносте . Общие уравнения и соотношений были применены к исследованию оптимальных режимов в линейных системах автоматического управления, при решении задач о накоплении возмущений и при определении наихудшего периодического воздействия на колебательную систему и т. д. Общие критерии оптимальности, выведенные для разрывных систем, были использованы для решения задач оптимизации режимов работы вибротранспорта, для задач оптимизации движений многоступенчатых ракет и т. д. [c.191]

В работе [Kalyanasundaran, 1984] исследовались нелинейные свойства волн Блёстейна—Гуляева за основу бралось представление функции для энергии в виде ряда (4.2.26) все уравнения записывались в лагранжевой системе координат. Учет нелинейностей производился методом возмущений установлено, что мода остается в основном типа SH, несмотря на общую взаимосвязь рассмотренной здесь компоненты перемещения с другими компонентами. [c.254]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Тождественные результаты дает метод неопределенных множителей Лагранжа, Воспользуемся им для нахождения минимума квадратичной формы (5.27), т. е. оценочной функции линейпой модели (5.23) при соблюдении системы линейных равенств (5.73). В общем случае с демпфированием мы должны искать минимум квадратичной формы с матрицей Нр. Составим лагранжеву функцию [c.245]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...