Система координат лагранжева материальная

Напомним (определение 4.7.1), что лагранжевыми координатами системы материальных точек называется минимальный набор переменных величин, конкретное задание значений которых однозначно определяет совместное с геометрическими (конечными) связями положение всех точек системы. Число лагранжевых координат есть число степеней свободы системы, а выбор таких координат зависит от структуры геометрических связей. Пусть <71,..., < п — лагранже-вы координаты, — обобщенные скорости. Тогда радиусы- [c.523]

После того как во второй лекции мы получили лагранжевы уравнения движения для системы дискретных материальных точек, мы вывели из них в третьей лекции принцип Даламбера и из него принцип Гамильтона. С уравнениями, полученными нами теперь для движения тела, мы произведем действия, которые соответствуют тем, которые раньше привели нас к принципу Гамильтона. Обозначим, как это мы делали до сих пор, через к, у, г — координаты некоторой материальной точки тела в момент 1. а через Ьх, Ьу, Ьг — составляющие бесконечно малого возможного перемещения этой точки. Возможные перемещения здесь совершенно произвольны [c.102]

Уравнения движения Якоби для консервативной системы. Пусть данная материальная система без неинтегрируемых дифференциальных связей консервативна пусть связи её не зависят явно от времени, а активные силы имеют однозначную силовую функцию U, зависящую только от координат. При выполнении первого условия, как мы видели ( 189), систему можно отнести к таким независимым координатам, чтобы кинетическая энергия системы представилась однородной функцией второй степени от скоростей с коэффициентами, не зависящими явно от времени. Обобщённые силы, являющиеся частными производными от силовой функции, тоже в нашем случае не содержат явно времени. Следовательно, время явно не войдёт и в выражение лагранжевой функции, а также в уравнения движения (33.42) или (32.48) и в те функции, которые мы в предыдущем параграфе обозначили Р . Поэтому, когда систему уравнений (32.48) мы заменим системой уравнений первого порядка [c.335]

Ускорение среды в эйлеровой системе координат. Рассмотрим ускорение материальной частицы сплошной среды. Пусть заданы лагранжевы координаты Тогда задание дви- [c.144]

Считая зависимость (1.4) взаимно однозначной, можно выразить базисные векторы пространственной системы криволинейных координат X через базисные векторы лагранжевой (материальной) системы координат Х ,. [c.41]

Аналогично можно получить выражение для материальной производной в сопутствующей (лагранжевой) системе координат для ковариантного тензора любого ранга. Скажем, для тензора скоростей деформаций V-, имеем (см. 3) [c.215]

Из системы уравнений (23.3) видно, что уравнения Гамильтона имеют симметричный вид относительно канонических переменных Рк и Як, благодаря чему они находят широкое применение в теории, в частности в статистической физике. Вспомним, что в лагранжевом формализме состояние системы из п материальных точек описывают положением одной изображающей точки в пространстве конфигураций, образованном обобщенными координатами Як ( 19). Аналогично в гамильтоновом формализме состояние системы описывают положением изображающей точки в фазовом пространстве, образованном обобщенными координатами Як и обобщенными импульсами Рк. Конфигурационное пространство имеет , а фазовое 2х измерений. [c.203]

Деформация материальной частицы называется монотонной, если в процессе ее развития все компоненты тензора скорости деформации в сопутствующей лагранжевой системе координат не изменяют своего знака. Например, деформация будет монотонной при одноосном растяжении образца или при закручивании образца в одну сторону. Во время, если деформация в указанных испытаниях будет сопровождаться сменой направления деформирования, например, вслед за растяжением образца мы будем его сжимать или вслед за кручением в одну сторону будем закручивать образец в другую сторону, то подобные случаи пластического деформирования не будут уже монотонными. [c.9]

Деформация материальной частицы называется немонотонной, если в процессе ее развития компоненты тензора скорости деформации в сопутствующей лагранжевой системе координат периодически изменяют свой знак моменты смены знака компонент тензора скорости деформации делят немонотонный процесс деформации на этапы монотонного деформирования. [c.11]

Пример 4.7.4. Пусть система представляет собой жесткий материальный стержень, могущий вращаться в плоскости вокруг одного из своих концов. Очевидно, что задание угла поворота полностью определяет положение такой системы, и этот угол может служить ее лагранжевой координатой.О [c.351]

Определение 4.7.2. Число лагранжевых координат называется числом степеней свободы системы материальных точек, на которую наложены голономные связи. [c.351]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

В ЭТОЙ главе будут рассмотрены системы материальных точек со связями, имеющими геометрическую природу и выражающимися конечными зависимостями от радиусов-векторов точек системы. Такие связи допускают введение лагранжевых координат 1,. - -, где п — число степеней свободы системы (определение 4.7.1). Любое совместимое со связями положение всех точек системы однозначно определяется заданием момента времени I и значениями лагранжевых координат [c.539]

Различие между эйлеровой и лагранжевой системами отсчета можно проиллюстрировать на примере описания движения материальной частицы жидкости, текущей в некотором русле относительно неподвижных берегов (рис. 5.2). Пусть оси Оху связаны с берегами неподвижно, а начальное положение движущейся частицы А совпадает с геометрической точкой Ао (. о. о)- При ламинарном течении со скоростью V положение точки А относительно осей Оху определяется координатами j/= i/o, л =A o-fJ у dt, тогда как лагранжевы [c.97]

Вернемся к рассмотрению любой материальной голономной системы S, имеющей произвольное число степеней свободы й, и отнесем ее к любым п независимым лагранжевым координатам q. [c.353]

Для определения положения системы материальных точек, на которую наложены связи, достаточно знать к — дп—т независимых параметров (здесь п — число точек системы, а т — число независимых уравнений связи), полностью определяющих положение системы материальных точек. Эти независимые параметры д носят название лагранжевых или обобщенных координат системы. [c.21]

Дальнейшую классификацию таких систем естественно дать по характеру реакции системы на внешние возмущения. Заметим, что роль реакции системы (элементарный объем) играют деформации 8jy, а роль внешних возмущений — нагрузки Oij и температура Т на поверхности элементарного объема. Здесь не обсуждается (не имеющий в данном случае принципиального значения) вопрос о том, в каком смысле понимаются, вообще говоря, конечные деформации элементарного объема. Мы предполагаем, что для заданного состояния частицы, начиная с некоторого момента времени i = О, эволюция внешних возмущений Oij ж Т в точности известна считается известным также распределение гц, ац ж Т в начальный момент i = 0. Элементарный объем состоит из одних и тех же материальных частиц х, у, Z — лагранжевы координаты). Требуется определить реакцию системы гц во времени. [c.368]

Поскольку лагранжевы координаты относятся к определенной материальной частице, их называют материальными (субстанциональными, индивидуальными) координатами. Система лагранжевых координат таким образом, жестко связана с материальными час- [c.39]

Хотя все частицы и покоятся относительно системы лагранжевых координат Г, Г, Г, зависимость какой-либо величины от определяет ее распределение по материальным частицам среды, а производные по позволяют следить за интенсивностью этого распределения. [c.42]

Отсюда следует, что две материальные системы совершенно различной материальной структуры с точки зрения аналитнческогв представления движения динамически эквивалентны, т. е. при подходящих силах имеют одни и те же уравнения движения, если только при надлежащем выборе лагранжевых координат они допускают одно и то же выражение для живой силы. Очень простор пример такой динамической эквивалентности материальных систем, физически различных между собой, мы будем иметь (как это будет видно в п. 49), рассматривая, с одной стороны, одну свободную материальную точку в пространстве (отнесенную к декартовым координатам), а с другой стороны, материальный диск, свободно дви-мсущиНся II своей плоскости (если за его лагранжевы координаты примем декартовы координаты какой-нибудь неизменно связанной с ним точки, а третий параметр выберем пропорциональным углу, определяющему его ориентировку в плоскости относительно непо движных осей). [c.294]

Существенной особенностью книги является использование наряду с прямоугольными декартовыми и общих криволинейных координат. Это связано с тем, что при изучении движения материальных сред необходимо пользоваться двумя системами координат системой координат наблюдателя и лагранжевой системой (сопутствующей системой координат), которая составляет единое целое с рассматриваемым телом, движется, деформируется вместе с ним и является поэтому криволинейной и кеортогональной. Изучение деформации тела по сути сводится К изучению деформации сопутствующей системы координат, что позволяет выявить историю деформирования частиц тела и проследить за изменением их механических и физико-химических свойств. Здесь уместно привести слова академика Л. И. Седова Некоторые думают, что механику подвижных непрерывных материальных сред без существенного ограничения общности можно строить при помощи только одной и притом декартовой системы координат. Эта точка зрения, отраженная в некоторых книгах и искренне внедряемая в сознание учащихся, неверна и мешает пониманию сущности механики и постановок ее задач [12, с. 493]. [c.5]

Кроме (неподвижной) системы отсчета определим также подвижную систему координат, которая в отсчетный момент времени 0 совпадает с системой отсчета 0, а в текущем состоянии, в момент времени t, характеризуется тем, что координаты любой материальной точки Р в этой подвижной системе не меняются и имеют те же самые значения 0, что и в отсчетный момент времени Система отсчета 0 назьгаается эйлеровой системой координат, а подвижная (вмороженная в тело) система координат 0 — лагранжевой (сопутствующей). Соответственно, 0 называются эйлеровыми координатами, а 0 — лагранжевыми. [c.21]

Не так обстоит дело с компонентами материальной производной при лагранжевом рписании, поскольку базисные векторы лагранжевой системы координат зависят от времени. Кроме того, в силу независимости лагранжевых переменных t,4 Г здесь [c.47]

Пусть (Ср 62,63)—начальное положение базиса такой жестнгосвл-занной с деформируемым телом лагранжевой системы координат ( 1 2 з) — базис системы лагранжевых координат в конечном состоянии среды, т, е. после деформации (рис. 11). Тройки чисел 1 определяют каждую частицу в среде. Хотя они каждый ра обозначают одну и ту же материальную частицу в обеих системах ксэрдинат, но если она находится в начальной недеформированной об- [c.63]

Предложенная Олдройдом (1950 г.) производная по времени от тензорных характеристик среды устанавливает связь между материальными производными от компонент тензора, взятых в абсолютной и собственной системах координат. При этом в качестве собственной системы выбирается лагранжева (сопутствующая) система, а система наблюдателя служит в качестве абсолютной системы. Таким образом, различие между двумя материальными производными целиком определяется движением среды, а их вычисление связано либо с лагранжевым, либо с эйлеровым описанием движения. [c.313]

Таким образом, в лагранжевой системе координат контравариантные компоненты вектора 0Х/01 равны материальным производным от контравариантных компонент А вектора А. В любой другой системе криволинейных координат компоненты производной Олдройда 0 /0( определяются на основании общих формул. [c.314]

При рассмотрении изменения перемещений и деформаций во времени (скоростей деформаций) в кинематике непрерывной среды имеет существенное значение, к какой системе координат относятся скорости векторов и тензоров. Скорость в конвективной системе координат, деформирующейся и перемещающейся вместе со средой, так что значения подвижных координат сохраняются постоянными, т. е. скорость в лагранжевой сопутствующей координатной системе выражает временные изменения, присущие среде. В фиксированной (эйлеровой) системе координат скорость представляет собой производную по времени t абсолютного пространственного вектора / (х, t), или тензора /f (х, i), которую принято называть в классической гидродинамике субстанциональной, или материальной, производной и обозначать DIDt, где [c.15]

Примеры голодомяых систем. 1нсло степеней свободы го-лономноп системы, по определению, равно числу соответствующих (независимых) лагранжевых координат. На практике, когда внимание фиксируется на системе данной материальной структуры, всегда нетрудно непосредственно выяснить, представляет ли она собою голономную систему для этого достаточно исследовать, определяются ли ее конфигурации в произвольно взятый момент определенным конечным числом независимых параметров. Если это имеет место, то такое число непосредственно определяет число степеней свободы системы. Этот критерий мы применим к некоторым особенно простым типам голономных систем. [c.275]

Так, например, положение свободной материальной точки в плоскости можно определить декартовыми координатами х, у некоторой неподвижной системы осей. Пусть, кроме того, имеется другая система осей Ох ух, вращающаяся в плоскости Оху вокруг точки О с постоянной угловой скоростью ю. Положение материальной точки по отнощению к системе Охху зададим полярными координатами г и ф (рис. 201), которые можно рассматривать как лагранжевы координаты точки. Декартовы координаты точки X Vl у явно представляются через параметры т, ф н время t [c.340]

Пример И. Механика материальных точек. В качестве второго примера рассмотрим механику системы мат.ериальны.х точек. Независимой переменной здесь выступает время а в качестве неизвестных функций — лагранжевы координаты (а = 1, 2,. .., ) и их производные, т. е. скорости, [c.676]

Такая операция может быть проведена бесчисленно различными способами, и любой из них представит нам независимый параметр, время , для построения лагранжева формализма для системы материальных точек. С точки зрения выполнения релятивистской инвариантности и причинности все эти времена равноправны. Чтобы сузить класс времен , удобных для физики, уместно вспомнить, что лагранжев формализм служит основой для получения по теореме Нётер сохраняющихся величин, и что согласно замечанию 2 в 1.5.2 эти величины приобретают особенно простую—аддитивную — форму для тех преобразований симметрии, которые не затрагивают независимой переменной. Чтобы не упустить эту возможную выгоду, надо, очевидно, наложить на выбор семейства гиперповерхностей а то ограничение, чтобы — хотя бы для некоторых преобразований симметрии 4-пространства (т. е. — элементов неоднородной группы Лоренца)—соответствующие преобразования координат Xai X) частиц не затрагивали бы независимую переменную X. [c.183]

Обозначим замкнутую систему из большого числа N фиксированных частиц, определяемых п ЗЫ лагранжевыми координатами qi и импульсами рг 1 = , 2, п). При п- ЗМ каждая частица представляет свободную материальную точку и в этом случае система называется простой. При п ЗМ некоторые или все частицы имеют более трех степеней свободы, т. е. обладают сложной структурой и внутренними степенями свободы. Например, од-ноатомиый газ с хорошей точностью представляет простую систему газ, состоящий из двухатомных молекул, Представляет простую систему молекул только при небольшой плотности, а точнее— сложную систему, в которой каждая частица (молекула), кроме трех поступательных степеней свободы имеет, например, еще две вращательные п оМ), т. е. моделируется двумя скрепленными на некотором расстоянии точечными массами и т. д. [c.15]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...