Лагранжева динамическая система

Фундаментальная форма. Введение дифференциальных.операций на касательных пространствах позволяет задать симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве и рассмотреть в дальнейшем лагранжевы динамические системы как векторные поля на ТМ или дифференциальные уравнения второго порядка на М. [c.57]

Векторное поле X называется лагранжевой динамической системой, соответствующей данной механической системе. Векторное поле X является одновременно дифференциальным уравнением 2-го порядка на М ч [c.70]

Векторное поле X на ТМ, определенное из условия (2), назовем лагранжевой динамической системой, соответствующей неголономной склерономной механической системе. [c.72]

Векторное поле У, определенное из условия (4), назовем лагранжевой динамической системой, соответствующей неголономной реономной механической системе. [c.73]

ЛАГРАНЖЕВА ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 77 [c.77]

В этом параграфе определяется лагранжева динамическая система на многообразии. Система с голономными связями является частным случаем. [c.77]

ЛАГРАНЖЕВА ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 79 [c.79]

Рассмотрим уравнения движения лагранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами q = (голономных связей вида fj q) = О, j = 1,. .., т) и квазискоростями ш = шг, которые выражаются через обобщенные скорости ( г по формулам [c.33]

Предложение 5.3.2. Для лагранжевой динамической системы полная энергия Н = k (v, v) + У(а ) сохраняется. [c.210]

Системы, допускающие разделение переменных более чем одним способом. Как уже отмечалось в 17.1, свойство разделимости переменных определяется как самой динамической системой, так и принятыми для ее описания лагранжевыми координатами. В некоторых задачах может случиться, что, выбирая по-разному лагранжевы координаты, мы получим несколько случаев разделения переменных для одной и той же динамической системы. [c.327]

В теории малых колебаний мы исходили из уравнений Лагранжа, которые представляют собой уравнения второго порядка. Здесь же мы имеем уравнения первого порядка, и поэтому при определении устойчивости нужно иметь в виду, что малость г означает как малость самого отклонения, так и малость скорости динамической системы. Рассмотрим, например, простой случай, когда х представляет лагранжеву координату динамической системы с одной степенью свободы и первое из уравнений (19.3.1) имеет вид х = у. Особые точки х , 0) дают конфигурации х = Xq, при которых система может находиться в покое при этом требование малости величины г = [c.370]

Это — уравнения движения в форме Гамильтона их называют также каноническими уравнениями. Переход от лагранжевых уравнений к уравнениям Гамильтона — чисто математический процесс, не имеющий никакого отношения к исходной динамической системе. Для любой системы, описываемой уравнениями Лагранжа в форме (46.18), будут иметь место уравнения Гамильтона в [c.129]

В статье рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой динамике. В статье [8] автора рассмотрены необходимые математические понятия и операции. Введение фундаментальной формы на касательном расслоенном пространстве задает на нем симплектическую структуру и позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе, как векторное поле на касательном расслоенном пространстве. [c.69]

Всякая консервативная динамическая система имеет внешние силы, которые могут быть представлены в виде суммы внешних сил лагранжевой системы и внешних сил системы, лишенной энергии . [c.30]

Лагранжевы и лишенные энергии системы были определены через условия, накладываемые на внешние силы. Эти определения не исключают друг друга. В самом деле, поставим себе вопрос при каких условиях динамическая система будет лагранжевой и одновременно лишенной энергии Так как она лишена энергии, то, очевидно, [c.30]

Интересно отметить, что в случае, когда т = 1, из уравнения (7) следует, что В.х = О, так что всякая консервативная динамическая система с одной степенью свободы будет лагранжевой системой. Подобным же образом, если то = 2, то внешние силы могут быть представлены в виде [c.31]

Настоящая статья организована следующим образом. В разделе II изложено общее определение стационарного движения динамической системы с группой симметрии. Далеко идущие обобщения и развитие теории устойчивости для стационарных движений консервативных (гамильтоновых и лагранжевых) систем читатель найдет в работах [4, 35, 43, 45]. [c.244]

При распространении на случай общей лагранжевой системы гиростатическими называются те члены функции линейные относительно q, которые влияют на уравнения движения системы, но не входят в обобщенный интеграл энергии. Из сказанного вначале следует, что гиростатическими членами живой силы Т, наверное, будут члены, линейные относительно q во всех тех динамических задачах, в которых как Г, так и потенциал U не зависят от времени. [c.302]

Общий интеграл в динамическом случае. Вернемся временно к общим рассуждениям п. 35. В особенно интересном случае, когда каноническая система, которую надо интегрировать, вытекает из динамической задачи о движении голономной системы, в которой параметры q являются лагранжевыми координатами, основной целью будет определение изменения координат q в функциях от / и постоянных интегрирования. [c.302]

Пусть две динамические консервативные системы определяются одна живой силой Ти потенциалом 7, а другая живой силой XT vi потенциалом tZ/X, где X обозначает какую-нибудь функцию от лагранжевых координат. Проверить, применяя выводы п. 17, что две соответствующие связи траекторий, для которых полная энергия равна нулю, совпадают. [c.454]

Выбор лагранжевых координат ). До сих пор мы пользовались декартовыми координатами. В дальнейшем мы не будем себя связывать ограничениями в выборе системы координат и перейдем к координатам более общего типа. Введение таких координат может быть сопряжено с известными трудностями, однако это — трудности скорее алгебраического характера, чем динамического. Нужно отличать трудности, присущие самому изучаемому явлению, от трудностей, связанных с выбранной системой координат. [c.59]

Общая динамическая теория занимает любопытное положение в физике. Исторически она была создана и развилась в форме ньютоновой динамики частиц и твердых тел. Но мы чувствуем настоятельную необходимость дать ей более широкую область применения, рассматривая ее как последовательную математическую теорию, приложимую к любой физической системе, поведение которой можно выразить в лагранжевой или гамильтоновой форме. Здесь возникает соблазн рассматривать эту теорию как чистую математику. [c.199]

Лагранжевы динамические системы. Тройка (М , Т, п) называется механ11ческой системой, где — конфигурационное пространство Т — дифферениируемая функция на ТМ — кинетическая энергия n = Qгdq — силовое поле, Qi — обобщенные силы ТМ — касательное расслоенное пространство к М — фазовое пространство. [c.70]

G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Ср1стема может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан L = Т — F), когда [c.217]

Наряду с таким лагранжевым подходом к описанию динамической системы существует альтернативный ему гамильтонов подход, в рамках которого динамические свойства системы полностью определяются начальными условиями и гамильтонианом системы. Гамильтониан системы и плотность гамильтониана не являются релятивистски инвариантными. Однако электроны в атоме движутся с нерелятивистскими скоростями и поэтому релятивистская инвариантность лагранжиана для электрона в атоме теряет свою значимость. Описание системы с помощью гамильтониана имеет серьезное преимущество перед лагранжевым подходом при рассмотрении не классических, а квантовых систем, к которым, несомненно, относится и атом. Поэтому атом в электромагнитном поле обычно описывают гамильтонианом. [c.12]

Мы сейчас покажем, как с помощью теории групп ее можно свести к системе второго порядка и четырем квадратурам. Метод, который мы опишем, в основном обобщает обычный метод циклических координат при переходе от лагранжевых динамических систем к нелагранжевым системам. После того как будет описан этот переход, мы укажем схему дальнейшего обобщения — на случай обыкновенных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно некоторой группы. [c.191]

Динамическая система, только что определенная, неголоном-яа и имеет бесконечное число степеней свободы, если учитывать деформацию жидкости. Тем не менее естественно рассматривать ее как обычную лагранжеву систему ([76], стр. 36) с шестью степенями свободы и считать, что конфигурация жидкости определяется ее границами, движущимися при наличии идеальной связи — несжимаемости. На деле такое допущение обычно принимается без доказательства ([7], гл. VI [81], стр. 238 и [85], стр. 320). Мы докажем его в 109. [c.199]

При изучении лагранжевых динамических систем до сих пор в локальных выражениях использовались карты (координатные системы) голо-номного координатного атласа на касательном расслоенном пространстве ТМ. В конкретных приложениях к динамике неголономных механических систем более удобным может оказаться применение карт из него-лономного координатного атласа на ТМ. [c.73]

Рассматривается применение теории дифференцируемых многообразий к лагранжевой механике. Введение симплектической структуры на касательном расслоении конфигурационного пространства позволяет задать лагранжеву динамическую систему, соответствующую голономной склерономной механической системе как векторное пол з на касательном расслоенном пространстве. Обобщение этих понятий на более сложныс неголономные системы, требующее ряда дополнительных построений, составляет основное содержание статьи. [c.127]

Движение свободной консервативной динамической системы совпадает с движениелг лагранжевой системы, к которой приложена система сил, не производящая работы. [c.30]

Если от перелшнных дг ,. .., <7 консервативной динамической системы перейти к новой системе переменных Т , то динамическая система остается консервативной с прежними значениями функций Ь, в то время как величины Qi и Щ преобразуются в новые выражения посредством формул (8). В частности, если система была лагранжевой или лишенной энергии в первоначальных переменных, то она остается такой же в новых переменных. [c.33]

Внешняя характеризация лагранжевых систем . В этом параграфе мы намерены охарактеризовать один важный тип ла-гранжевых систем через некоторые простые свойства внешних сил. А именно, мы собираемся охарактеризовать такие динамические системы, для которых лагранжева функция Ь — квадратичная функция от скоростей, не имеющая членов первой степени, т. е. Ь имеет вид Т — 11, где Т — однородная квадратичная функция скоростей, а II зависит только от координат. Эти регулярные системы составляют важный класс динамических систем. Легко видеть, что регулярные системы остаются таковыми при любом преобразовании координат. [c.36]

Нормальная форма линейной лагранжевой натуральной системы. Рассмотрим динамическую систему с квадратичноп функцией Лагранжа Ьг=Тг—Га О. Ее колебания выглядят особенно просто в специальных координата., которые называются главными или нормальными. [c.268]

Океанологический аспект лагранжевой турбулентности [27, 42], породивший, в частности, концепцию хаотической адвекции [20], претерпел очередной всплеск в последующие десятилетия, о чем свидетельствуют обзорные работы [39, 47], посвященные преимущественно кинематическим моделям соответственно с мезомасштабными и океаническими характерными горизонтальными размерами. В современные океанологические исследования все более широко проникают методы теории динамических систем — например lobe dynami s, как инструмент анализа лабораторных экспериментов [25], так и для интерпретации данных наблюдений [30]. Неслучайно появились обобщающие монографии типа [26] с характерным подзаголовком Подход к крупномасштабной океанической циркуляции и Эль-Ниньо как к динамической системе . [c.499]

Прежде всего заметим, что свойство радиальной симметрии динамической системы с лагранжевой функцией (1) 155 и с ге степенями свободы понимается в том смысле, что выражение (1) 155 остается инвариантным при произвольном повороте и-мер-ного евклидова пространства (д,) вокруг начала координат, если координаты д,- подобраны надлежащим образом. Из этого требо-гания, очевидно, вытекает, что в (1) 155 (Д) = О (и отсутствуют также в силу изложенного в 156 члены вида (Ед ) ), а силовая функция U зависит лишь от Zq yi. Таким образом, функция lz Y,gihqi qh также обладает радиальной симметрией. Однако известно, что риманово пространство с метрикой [c.185]

Отсюда следует, что две материальные системы совершенно различной материальной структуры с точки зрения аналитнческогв представления движения динамически эквивалентны, т. е. при подходящих силах имеют одни и те же уравнения движения, если только при надлежащем выборе лагранжевых координат они допускают одно и то же выражение для живой силы. Очень простор пример такой динамической эквивалентности материальных систем, физически различных между собой, мы будем иметь (как это будет видно в п. 49), рассматривая, с одной стороны, одну свободную материальную точку в пространстве (отнесенную к декартовым координатам), а с другой стороны, материальный диск, свободно дви-мсущиНся II своей плоскости (если за его лагранжевы координаты примем декартовы координаты какой-нибудь неизменно связанной с ним точки, а третий параметр выберем пропорциональным углу, определяющему его ориентировку в плоскости относительно непо движных осей). [c.294]

На любое из этих решений а распространяется замечание, вытекающее из теоремы Дирихле для динамического случая, а именно, что возможно указать чисто качественное условие устойчивости, т. е. условие, выражаемое посредством одних только соотношений неравенства. Действительно, таким является в силу уравнений (104) условие, что Н имеет для решения о действительный максимум или минимум (см. п. 7 и гл. VII, пп. 5—6, 17) замечание о лагранжевых системах с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени, в конце упомянутого п. 17, гл. VI, таким образом, будет вполне оправдано, так как, как это непосредственно следует из п. 1 той же самой главы, всякая такая лагранжева система определяет каноническую систему с характеристической функцией, не зависящей от t, и обратно. [c.324]

Интегралы, линейные относительно импульсов. Если среди лагранжевых координат, описываюш,их динамическую систему, имеется циклическая координата (скажем, q ), то соответствующий импульс при движении сохраняет свое значение неизменным. Докажем, что, и обратно, любая автономная система, имеюи ая пространственный интеграл, линейный относительно импульсов, при надлежащем выборе лагранжевых координат может быть описана как система с циклической координатой. [c.522]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Соответственно сказанному и основные динамические величины, количество движения К, кинетический момент О и кинетическая энергия Т тела, могут быть отнесены как к неподвижным, так и к подвижным осям, г. е. могут быть соответственно выражены через величины (45. 3) и (45. 4), Кииетнческую энергию Т тела часто, кроме того, выражают через обобщённые координаты и их производные по времени, т. е. в форме (32. 35) на стр. 329. За независимые координаты свободного твёрдого тела могут быть приняты координаты полюса х , у , и три эйлеровых угла (р, ф, ( 55). Кинетическую энергию неизменяемой системы, представленную в указанной форме, мы будем называть лагранжевой формой кинетической энергии. [c.490]

Провели тщательное исследование статических задач теории упругости при конечных деформациях эта работа в дальнейшем была продолжена Флетчером [40] и распространена на задачи динамики линейной теории упругости, хотя к его утверждениям что уравнения (3.1)—(3.4) и (3.6) из [40] легко распространяются на случай упругих материалов при конечных деформациях, следует относиться с некоторой осторожностью. Сравнительно недавно Голебевская-Херрманн [42,43] опубликовала исследования законов сохранения в динамических задачах теории упругости при конечных деформациях, представленных как в лагранжевой, так и в эйлеровой системах отсчета. [c.151]

А. Пшеборский для нелинейного случая, но при линейных относительно ускорений неголономных связях второго порядка вывел уравнения типа Маджи, выраженные в декартовых координатах. Последнее обстоятельство создает определенные неудобства и в известном смысле ограничивает общность его метода. Для рассматриваемого общего случая дифференциальные уравнения движения системы в лагранжевых координатах в форме Воронца — Гамеля, Аппеля — Гиббса и Ценова установил М. Ф. Шульгин 2. Р. Казанину принадлежит любопытная идея преобразования уравнений нелинейных реономных неголономных связей любого порядка в уравнения линейных склерономных связей первого порядка путем введения надлежащих новых параметров. Эта идея, как показывает Казанин, оказывается плодотворной, например, при составлении динамических уравнений движения системы и решении задачи об определении реакций связей. [c.99]

При постановке задач для преднапряженных сред сохраняется присущее нелинейным задачам различие в их описании в лагранжевой и эйлеровой системах координат. Заметим, что с точностью до отбрасываемых в процессе линеаризации членов, описание динамических процессов в системе координат Эйлера совпадает с описанием этих процессов в системе координат, связанной с НДК. Ниже, разлртчие между системами координат эйлеровой и НДК не проводится. [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...