Система координат лагранжева пространственная

Рис. 6.10.2. Пространственно-временная картина режима индукционного зажигания в лагранжевой системе координат (0н=Ю, у=0, >4 р=0,03 а=0,5 й = 0,6)

Кратко рассмотрим понятие поля параметров. При анализе задач гидромеханики удобно определять параметры движущейся жидкости в зависимости от пространственных координат, и, следовательно, поле параметров определено, если в каждой точке пространства, занятого течением, известны значения этих параметров. Таким образом, например, функция р х, у, г,() определяет давление в точке Q(x, у, г) для частицы жидкости, попадающей в эту точку в момент времени I. В лагранжевых координатах давление отдельной частицы / определяется функцией р — р1 1). Другими словами, при подходе Лагранжа не требуется задавать фиксированную систему координат, как при подходе Эйлера, поскольку система координат движется вместе с частицей. Основные законы движения жидкости справедливы только для системы, имеющей постоянную массу, как в подходе Лагранжа, но они выражаются в фиксированной системе координат, как в подходе Эйлера. Поэтому необходимо найти со-отнощение, связывающее оба этих подхода, и это соотношение [c.345]

Лагранжевы методы. В форме Лагранжа независимые пространственные переменные относятся к системе координат, связанной с движущейся средой. Лагранжева формулировка уравнений гидродинамики привлекательна для численных расчетов. Здесь отсутствует нефизическая численная диффузия, возникающая при протекании жидкости через границы расчетных ячеек. Кроме того, траектории элементов жидкости сами по себе создают визуализацию течения. Лагранжевы методы естественно использовать при рассмотрении задач гидродинамики со свободными поверхностями, поверхностями раздела сред и другими четкими границами. [c.39]

Считая зависимость (1.4) взаимно однозначной, можно выразить базисные векторы пространственной системы криволинейных координат X через базисные векторы лагранжевой (материальной) системы координат Х ,. [c.41]

Если же пространственные и лагранжевы системы координат являются прямоугольными декартовыми, то тогда — g <5. . [c.67]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

Выбор в качестве независимых переменных системы (/, х, у, г) обычно связывают с именем Лагранжа (л , у, г) — лагранжевы координаты. Другой способ задания перемеш,ений состоит в том, что в качестве независимых переменных выбираются пространственные координаты (и время), ( т], — перемещение той частицы [c.25]

Интегралы, линейные относительно импульсов. Если среди лагранжевых координат, описываюш,их динамическую систему, имеется циклическая координата (скажем, q ), то соответствующий импульс при движении сохраняет свое значение неизменным. Докажем, что, и обратно, любая автономная система, имеюи ая пространственный интеграл, линейный относительно импульсов, при надлежащем выборе лагранжевых координат может быть описана как система с циклической координатой. [c.522]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Для сокращения времени решения на ЭЦВМ была выбрана экономичная для условий данной задачи эйлерово-лагранжева система координат и выполнены экспериментальные исследования на ЭЦВМ, связанные с выбором оптимальных шагов по пространственной координате и по времени для диапазона параметров и частот возмущений, имеющих место в котельных агрегатах. Кроме того, были исследованы различные формы конечноразностной аппроксимации и влияние вариаций экспериментальных зависимостей на граничный массовый расход. [c.53]

Пусть определены траектории граничных точек звена некоторого пространственного стержневого механизма в результате его кинематического анализа в пространственных координатах (рисунок). Пусть траектория граничной точки А звена АВ определена вектор-функцией рл = рл (ф) и точки В — вектор-функцией рв = рн (ф), где ф — координата перемещения ведущего звена рассматриваемого механизма в той же системе координат. Заметим, что в случаях, когда движение механизма определяется лишь одной лагранжевой координатой, положения точек А т В для данной сборки механизма взаимно-однозначны, если он лишен особенностей. Наличие особенностей, нанример, равенство длины шатуна четырех-шарнирника значению ее функции двух переменных углов поворота вращающихся звеньев в гиперболических точках, исключает упомянутую [c.77]

Можно определить лагранжеву пространственно-временную корреляционную функцию следующим образом. Введем для пространственного разделения и временной задержки т среднюю скорость, определяемую как мгновенное среднее значение скорости по объему порядка Важно, чтобы I и т были много меньше соответственно масштаба и периода макровихрей. Если это сделано, то при вычислении корреляций средняя скорость не будет меняться при переходе от одной точки к другой. Если мы определим лагранжеву корреляцию как корреляцию величин, взятых в системе координат, движущейся со скоростью v, мы можем высказать разумную гипотезу, что такие корреляцихг имеют подобие в инерционной подобласти спектра турбулентности. Например, лагранжева корреляция скоростей может быть записана в виде [c.400]

Обозначим отношение временных лагранжева и эйлерова масштабов через [3 = Т//Тс, а соответствующих пространственных масштабов - через я = А/Ьу = (уТ1)/ 11Те). Значения /3 и х отражают сопоставление масштабов турбулентных пульсаций, измеренных в разных системах координат. Поэтому можно предположить наличие зависимости Р и к от отношения скоростей движения систем координат, т.е. от величины е = у/11. В [5] на основании некоторых предположений получена зависимость /3(г), оказывшаяся универсальной для всех типов течений. В [3, 4] приводятся отдельные результаты определения 3, которая по этим данным имеет примерно постоянное значение порядка 2 Ч- 3. [c.412]

Если наряду с лагранжевой системой координат введена фиксиро-вакналсистема пространственных координат X, X никак несвязанная с деформируемой средой, и известна метрика этого пространства /5 то компоненты тензоров и можно выразить через компоненты метрического тензора g и закон преобразования координат. [c.66]

При рассмотрении изменения перемещений и деформаций во времени (скоростей деформаций) в кинематике непрерывной среды имеет существенное значение, к какой системе координат относятся скорости векторов и тензоров. Скорость в конвективной системе координат, деформирующейся и перемещающейся вместе со средой, так что значения подвижных координат сохраняются постоянными, т. е. скорость в лагранжевой сопутствующей координатной системе выражает временные изменения, присущие среде. В фиксированной (эйлеровой) системе координат скорость представляет собой производную по времени t абсолютного пространственного вектора / (х, t), или тензора /f (х, i), которую принято называть в классической гидродинамике субстанциональной, или материальной, производной и обозначать DIDt, где [c.15]

Здесь 0,7 = —Qji, Q,7, ft = О, 1/,-./ = 0. Величины Q / и Vi, очевидно, могут зависеть от времени. Выражение (2.3.23) представляет поле скоростей абсолютно твердого тела. Оно состоит из одновременного вращения с пространственно однородной угловой сторостью и поступательного движения с пространственной однородной скоростью следовательно, определяется шестью зависящими от времени параметрами. Уравнение (2.3.23) можно проинтегрировать по времени следующим образом. Пусть абсолютно твердое тело, движущееся в системе отсчета 91 (не путать с системой координат). С телом можно связать орто-нормированную систему координат St. Координаты х точки М. тела в системе 3t остаются постоянными с течением времени вследствие абсолютной твердости тела, поэтому они могут быть взяты в качестве лагранжевых. Выражения для координат точки в системе 91 даются формулами перехода к другой орто-нормированной системе координат. Следовательно, лагранжево описание движения абсолютно твердого тела имеет вид [c.92]

ЗАМЕЧАНИЕ Стоит обратить внимание на то, каким чрезвычайно любопытным способом тут фактически восстановилась выделенная роль времени. В удовлетворяющем требованию четырехмерной симметрии лагранжевом формализме мы все время трактовали три пространственные координаты и время на равных правах, и дифференциальный закон сохранения (34.2) блюл эту симметрию. Теперь, однако, мы вспоминаем, что в псевдоевклидовом пространстве есть выделенный класс —пространственно-подобных— гиперповерхностей, и интегрируем именно по ним. Тем самым восстанавливается особая роль — но не времени, а времени-подобных направлений, без выделения какой-либо частной системы отсчета. Мы можем даже, как видим, вернуться обратно к дифференциальной формулировке (35.3) [c.199]

Система уравнений решается в области / О, О s Л/ = Л/ .ф + + Л/пл, где М — масса веш ества в ускорителе, отнесенная к единице площади поперечного сечения (так называемый единичиый ускоритель). Величина массы М неизменна во времени, в то время как составляющие ее масса конденсированной фазы (диэлектрика) Л/ ,ф и масса плазмы Мпл изменяются в процессе фазового перехода. Указанное обстоятельство делает целесообразным использоваппе в задаче лагранжевой массовой переменной , ибо в этом случае границы пространственной области О s М оказываются неподвижными по массо. Ксли же систему уравиений (7.1) решать лишь в области, занятой плазмой Мпл(0, то возникает дополнительная задача определения на каждый момент времени положения границы области Кроме того, лагранжевы массовые переменные удобны при анализе процессов вблизи границы плазмы с диэлектриком, где в узкой пространственной зоне происходит резкое (на несколько порядков) изменение плотности. Использование в этом случае эйлеровых переменных привело бы к значительным трудностям при выборе в этой зоне разностной сетки. Будем считать, что левая граница области О < s М — точка s = О — соответствует левой границе диэлектрика, а координата s = М — границе плазмы с вакуумом. Подобласть 0 5<М ф(/) отвечает конденсированной фазе (диэлектрику), а Л/ ,ф(/) (Л/— 71/ .ф(г) = = М л) —зоне, запятой плазмой. Точка s ( ) = Мк.ф (О есть положение поверхности, где осуществляется фазовый переход. В процессе расчетов она явно не выделяется, благодаря использованию однородных разностных схем расчет осуществляется скво.чным образом. При s = О и s = М ставятся следующие краевые условия [c.352]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...