Уравнения Лагранжа для диссипативных систем

Линейное сопротивление и диссипативная функция. Вели на точки системы с одной степенью свободы кроме потенциальных сил действуют еще силы сопротивления, то дифференциальное уравнение Лагранжа выразится в форме [c.434]

Потенциал, зависящий от скорости, и диссипативная функция. Уравнения Лагранжа можно представить в форме, подобной (1.53), и тогда, когда система не является консервативной в обычном смысле слова. Это удается сделать в том случае, когда обобщенные силы Q,- можно получить из функции U qi,qj) посредством равенства [c.31]

Таким образом, видно, что диссипативная система при соответствующих обстоятельствах может быть описана обобщенными уравнениями Лагранжа. [c.36]

Обозначим М — приведенная масса сооружения, поступательно движущейся части эллиптического маятника т — масса /г-го подвешенного груза 4 — длина k-й подвески J j — смещение массы Ml (см. рис. 36, б) 0 — угол отклонения k-ro подвешенного груза от вертикали bk—параметр, характеризующий диссипативные силы по гипотезе вязкого трения /г-го шарнира подвешенного груза — суммарная жесткость стоек каркаса. Принятая расчетная модель имеет п + 1 степень свободы (где п — число подвешенных грузов). Для описания движения такой системы составим п + 1 уравнение Лагранжа [c.110]

Исследование поведения ротора на переходных режимах связано с решением дифференциальных уравнений нестационарных колебаний. В качестве динамической системы рассмотрим вал (рис. 1), лежащий на двух опорах, с диском, расположенным посередине. При составлении уравнения движения массу вала и гироскопический момент диска исключаем из рассмотрения. Опоры ротора считаем абсолютно жесткими. Подставляя выражение для кинетической и потенциальной энергии и диссипативной функции в уравнение Лагранжа, получим уравнение движения такой одномассовой системы в виде [c.120]

Вопрос об аналогиях хорошо изучен (см. [1]), однако в учебниках теоретической механики он либо не затрагивается, либо описывается недостаточно подробно. Настоящая статья является попыткой частично заполнить этот пробел. В разделе 1 приводится простейший вариант введения понятия о диссипативной функции (что необходимо для дальнейшего). В разделе 2 описана первая аналогия, раздел 3 посвящен составлению уравнений Лагранжа для электрических цепей с помощью аналогии. Содержание этих трех разделов, как убедились на собственном опыте автор и его коллеги по институту, легко изложить на одной лекции. В разделе 4 подробно разобрано решение задачи из сборника И. В. Мещерского, в которой требуется составить уравнения движения смешанной системы, содержащей как электрические, так и механические элементы. После линеаризации полученных уравнений составлена электрическая цепь, аналогичная смешанной системе. [c.115]

Движение механической системы с голономными идеальными связями, обобщенно-потенциальными и диссипативными заданными силами подчинено уравнениям Лагранжа [c.384]

Рассмотрим теперь механическую систему, на которую наряду с потенциальными (или обобщенно-потенциальными) активными силами действуют диссипативные силы, т. е. силы вязкого трения, приводящие к рассеянию механической энергии системы. В этом случае при записи уравнений Лагранжа (28.11) поступают следующим образом. Каждую обобщенную силу Qa разбивают на две части [c.167]

Уравнения (2.32) имеют такой же вид, как и уравнения Лагранжа в механике, описывающие медленное движение диссипативной системы, когда силами инерции можно пренебречь. [c.44]

В общем случае, кроме потенциальных и обобщенно-потенциальных сил, в системе действуют непотенциальные диссипативные силы, рассеивающие механическую энергию. Располагая лагранжианом для обобщенно-потенциальных сил, имеем уравнения Лагранжа для общего случая [c.191]

Поэтому коэффициенты 1/ j можно трактовать как жесткости этих пружин. Наконец, последний член лагранжиана можно рассматривать как потенциал, вызванный движущими силами = Qj, не зависящими от координат, например гравитационными силами. (Силы могут, однако, зависеть от времени.) Что касается диссипативной функции (2.38), то ее можно считать вызванной наличием диссипативных (вязких) сил, пропорциональных обобщенным скоростям. Такова вторая интерпретация уравнения (2.39) [или функций (2.37), (2.38)]. Согласно этой интерпретации уравнения (2.39) описывают сложную систему масс, связанных пружинами и движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. Таким образом, мы описали движение двух различных физических систем посредством одного и того же лагранжиана. Отсюда следует, что все результаты и методы исследования, связанные с одной из этих систем, могут быть непосредственно применены и к другой. Так, например, для изучения рассмотренных выше электрических контуров был разработан целый ряд специальных методов, которые применимы и к соответствующим механическим системам. Таким путем было установлено много аналогий между электрическими и механическими или акустическими системами. В связи с этим термины, применяемые при описании электрических колебательных контуров (реактанс, реактивное сопротивление и т. д.), вполне допустимы и в теории механических колебательных систем ). [c.59]

Продолжая рассмотрение уравнений движения (I. 1) по Лагранжу, отметим, что в линейных системах (более точно в системах, где все связи не зависят явно от времени) выражение потенциальной энергии П является квадратичной функцией от обобщенных координат. Соответственно, выражения кинетической энергии Т и диссипативной функции Ф (с размерностью мощности P v = [c.24]

Закон сохранения обобщенной энергии непосредственно вытекает из уравнения (5.90) обобщенная энергия системы сохраняется, если функция Лагранжа явно от времени не зависит, а диссипативные силы отсутствуют, т. е. [c.240]

Анализ физики явлений и известные методы математического описания динамических систем (с использованием диссипативной функции, уравнений кинетической и потенциальной энергий, а также Лагранжа) приводит нас к двум системам нелинейных дифференциальных уравнений. Первая из них с достаточным приближением описывает поведение ползуна в неподвижной системе координат XOV. [c.280]

Созданный Лагранжем аппарат аналитической механики и, в частности, второй метод составления уравнений движения материальной системы в дальнейшем с успехом использовались многими авторами при анализе сложных гироскопичесгах систем. Следует вместе с тем отметить, что Лагранж нигде не вводит в рассмотрение диссипативные силы, столь существенные в практических приложениях. [c.138]

Известны попытки построения обобщенной функции Лагранжа для частных случаев линейных диссипативных систем [4, 27, 84, 115—117]. При этом существует два способа вводится дополнительная система, поглощающая энергию, выделяемую диссипативной системой, или отыскивается замена переменных, преобразующая уравнения движения диссипативных систем в уравнения с нулевой правой частью. В монографии [84] наряду с заданной системой рассматривается ее зеркальное отражение , обладающее отрицательным трением . Полная энергия двух систем остается постоянной. Построение обобщенной функции Лагранжа производится на примере системы гармонических осцилляторов со стоксовским трением. При этом [c.157]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...