Составляющая системы сил по лагранжевой

Вычисление суммы работ сил, приложенных к материальной точке либо к системе материальных точек, является одним из этапов решения задач, в которых применяется теорема об изменении кинетической энергии, либо составляются уравнения Лагранжа второго рода (см. ниже, главу X, 6). [c.276]

Имел эти данные, составляем уравнение Лагранжа для случая малых колебаний системы [c.432]

Колебания паровоза как системы со многими степенями свободы. Точное решение задачи о колебаниях паровоза весьма сложно. С целью упрощения решения рассматривают паровоз как систему с тремя степенями свободы, считая, что величины упругих постоянных рессор не меняются во время колебаний. В этом случае положение системы при колебании определяется вертикальным перемещением центра тяжести г, углом поворота в продольной плоскости 6 и углом поворота в поперечной плоскости <р. Составляя уравнения Лагранжа и пользуясь свойством симметрии в расположении рессор относительно продольной оси, получают следующие линейные диференциальные уравнения свободных колебаний надрессорного строения паровоза [c.389]

Составляя уравнения Лагранжа 2-го рода, получаем следующие уравнения движений рассматриваемой системы [c.452]

Указанное свойство функции Лагранжа полезно иметь в виду при составлении уравнений движения если, составляя функцию Лагранжа для какой-либо системы, мы придем к выражению вида [c.224]

Итак, уравнения движения рассматриваемой системы были составлены двумя способами с помощью общего уравнения динамики в задаче 396 и уравнений Лагранжа в данной задаче. [c.502]

Если на систему действуют внешние возмущающие силы в течение всего процесса колебаний, то возникают сложные колебания, являющиеся результатом наложения вынужденных и свободных колебаний системы. Дифференциальные уравнения движения системы могут быть составлены применением уравнений Лагранжа [c.602]

Система имеет одну степень свободы, ее положение определяется одной обобщенной координатой, а ее движение — одним уравнением Лагранжа. За обобщенную координату можно взять, например, абсциссу дсд центра диска или угол ф отклонения маятника от вертикали, но не надо брать за обобщенные координаты обе эти величины и составлять два уравнения Лагранжа по каждой из координат, потому что обобщенные координаты должны быть независимыми друг от друга величинами, а и ф являются зависимыми и связаны соотношением = гф. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Выбор той или иной обобщенной координаты зависит от нас. Мы выберем ф. Выразим в этой обобщенной координате и обобщенной скорости ф кинетическую и потенциальную энергии системы. Определим сначала координаты шарика Л1, принимаемого за материальную точку, учитывая, что по уравнению связи = гф [c.283]

Указания к составлению уравнений движения и уравнений для определения динамических реакций. Уравнения движения составляются в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. Рассматриваемые механические системы имеют две степени свободы. В качестве [c.128]

Историческая справка. Уравнения движения свободной точки или точки, движущейся по поверхности или по кривой как подвижным, так и неподвижным, были составлены Лагранжем в одинаковой для всех этих случаев форме с той лишь разницей, что число параметров, подлежащих определению в функции времени, равно трем для свободной точки, двум для точки на поверхности, и одному для точки на кривой (пп. 259, 263, 282). Мы увидим дальше, что уравнения самой общей задачи динамики системы могут быть составлены в этой же форме, но число параметров б) дет каким угодно, при условии, что связи могут быть выражены, в конечной форме и что эта параметры действительно являются координатами. [c.466]

Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными, мы можем считать, что уравнения (8) и (9) составляют систему из bN- -d- -g скалярных уравнений с N -d- g неизвестными скалярными величинами х,, у,, г,, Х , Интегрируя эту систему, мы получаем конечные уравнения движения и одновременно из равенств (7) — величины реакций связей. Однако интегрирование такой системы обычно весьма затруднено из-за большого числа уравнений. Поэтому уравнения Лагранжа первого рода практически мало применяются. [c.27]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Явное выражение функции Гамильтона в динамическом случае. Если функция Лагранжа 2 составлена для решения задачи о движении голономной системы, находящейся под действием консервативных сил, то, как известно (гл. V, п. 40), [c.246]

Уравнения Лагранжа дают возможность сравнительно просто составлять дифференциальные уравнения движения любой сложной колебательной системы, если ее связи являются голономными, т. е. такими, уравнения которых не содержат производных координат по времени. Для получения дифференциальных уравнений движения с помощью уравнений Лагранжа необходимо составить только выражения для кинетической и потенциальной энергии системы в функции выбранных координат. При этом сами координаты носят название обобщенных координат. [c.31]

Дифференциальные уравнения движения колеблющейся системы машины составлены в форме уравнений Лагранжа второго рода, при этом при определении кинетической энергии системы принято во внимание, что ротор, участвуя в переносном движении платформы, имеет относительную угловую скорость вокруг оси собственного вращения, сообщаемую ротору при ведении балансировочного процесса. [c.101]

При составлении дифференциальных уравнений движения подвижной системы станка рассматриваем малые колебания центра масс в направлении осей координат и угловые — вокруг осей координат. Уравнения движения системы составляются в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода. [c.413]

На рис. 7 показана расчетная схема для двигателя, представленного на рис. 1. Частотное уравнение движения системы составляют путем использования уравнения Лагранжа. За обобщенные координаты принимают углы а, р, Y отклонения маятников от вертикальной плоскости [47, 77]. [c.284]

Выражения (3) и (4) заключают лиш> квадраты величин ф1, Фг,. . . и квадраты их первых производных, следовательно, Ф1, фг,. . . являются нормальными координатами системы. Для нахождения нормального колебания, соответствующего какой-либо координате Фп, составляем при помощи (3) и (4) соответствующее уравнение Лагранжа [c.143]

Название соответствующего раздела в первой из работ Лагранжа вполне характеризует суть дела Общий метод для определения движения любой системы тел, действующих друг на друга, в предположений, что эти тела совершают только бесконечно малые колебания около их положений равновесия ( тела и здесь, конечно,— материальные точки). Как это до сих пор излагается в курсах теоретической механики, Лагранж показывает, что живая сила системы Т, с точностью до величины высшего порядка малости, является квадратичной формой первых производных от обобщенных координат, а. потенциальная энергия V — квадратичной формой самих координат (коэффициенты в Г и F —постоянные) и составляет уравнения движения вида [c.265]

В ряде случаев представляется возможным предположить известную малость смещения точек срединной поверхности и изменения ее нормальных кривизн при деформации. В этом предположении функционал W можно упростить, ограничиваясь квадратичной его частью. Соответствующая система уравнений Эйлера — Лагранжа будет линейной. Решение основной задачи теории оболочек в предположении указанной малости деформации составляет предмет линейной теории. [c.6]

Для расчетной модели на основании уравнения Лагранжа второго рода составляется система дифференциальных уравнений, которая достаточно полно описьшает работу реальных конструкций торцовых уплотнений [c.57]

Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по-отношению к инер-циальной системе 01счета) или относительное движение механической системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, а именно кинетическую энергию системы определять в ее относительном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоединить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции (чего при использовании первого пути делать не надо). [c.380]

Когда все приложенные к системе силы являются потенциальными, уравнения Лагранжа можно составлять в вйде (129). При этом вместо вычисления обобщенных сил надо определить потенциальную энергию системы, выразив ее через обобщенные координаты, и затем, определив еще и кинетическую энергию, составить функцию Лагранжа (128). [c.380]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

Составляя теперь для данной системы два ураЕ 1енпя Лагранжа, получаем [c.412]

Таким образом, метод 5 иттекера дает возможность использовать обобш,енный интеграл анергии для исключения времени t из системы уравнений Лагранжа и приведения ее к новой системе s — I уравнений Уиттекера (4.43), имеющих вид уравнений Лагранжа, в которцх роль аргумента играет переменная q (вместо времени t) и в которые вместо производных qp по аргументу t входят производные q p по аргументу q[. Для построения уравнений Уиттекера (4,43) следует Ьредварительно построить функцию Уиттекера L. Для этого составляется выражение (4.44), в которое вместо q подставляется его выражение, полученное из обобщенного интеграла энергии (4.35). - [c.106]

Равенство (72.13) составляет содержание принципа Лагранжа — Даламбера при движении механической системы в неинерци-альной системе координат в неинерциальной системе координат, если на механическую систему наложены удерживающие идеальные связи, то сумма элементарных работ всех сил инерции, активных сил, переносных сил инерции и сил инерции Кориолиса, действующих на механическую систему на любом виртуальном перемещении, равна нулю в каждый данный момент времени. [c.107]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Доказанное свойство интеграла и составляет содержание принципа Лагранжа (Lagrange) действие по Лагранжу по прямому пути между данными двумя положениями консервативной системы без неинтегрируе-мых связей имеет стационарное значение по отношению к действиям по окольным путям между теми же положениями, если движения по прямому и окольным путям совершаются с одной и той же начальной энергией. [c.366]

Приведенные условия составляют сущность теоремы Лагранжа-Дирихле, представляющей собой достаточный признак (или критерий) устойчивости для консервативной системы. В качестве иллюстрации к этой теореме может служить пример с щари-ком, расположенным на дне чащи, на вершине выпуклой поверхности и на плоскости. [c.488]

При динамическом анализе составляются уравнения двинче-1П1Я механизмов. Обычно ири этом предполагается, что связи, осуществляемые кинематическими парами, являются идеальными, что позволяет использовать аппарат уравнений Лагранжа второго рода. Использование обычной процедуры составления уравнения Лагранжа, которая будет подробно рассмотрена в 3, приводит к системе уравнении [c.12]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

АДИАБАТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА — продпологксние, лежащее в основе представления о механизме рассеяния в квантовой теории поля (КТП). Процесс рассеяния, согласно А. г., происходит след, образом. В нач. состоянии, к-рому приписывается время t— — со, частицы находятся далеко друг от друга и взаимодействие между ними полностью отсутствует. По мере сближения частиц взаимодействие постепенно (включается , достигает наиб, силы при макс. сближении и постепенно выключается , когда частицы разлетаются после рассеяния. Конечному состоянию приписывается время t — +oa. В начальном и конечном состояниях частицы описываются свободным лагранжианом т. е. лагранжианом без взаимодействия. Строго говоря, А. г. не применима к КТП, поскольку лагранжианы со взаимодействием, обычно рассматриваемые в КТП, приводят к тому, что частицы постоянно взаимодействуют с вакуумом как своего рода физ. средой, в к-рой они движутся, и поэтому не могут описываться свободным лагранжианом (см. Хаага теорема). Трудности, возникающие при введении А, г. в КТП, устраняются с помощью процедуры перенормировок при построении матрицы рассеяния. г. в. Ефимов. АДИАБАТИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ — возмущения состояний квантовой системы под воздействием медленно (адиабатически) меняющихся внеш. условий. Медленность означает, что характерное время изменения внеш. условий значительно превышает характерные времена движения системы. Метод А. в. противопоставляется внезапных возмущений методу (встряхиванию), при к-ром упомянутые времена удовлетворяют противоположному неравенству. А. в. могут приводить к значит, изменению структуры самих состояний, но при этом переходы между разными состояниями происходят с малой вероятностью. Исключение из этого правила составляют случаи, когда в процессе эволюции два или неск. уровней. энергии системы становятся близкими или пересекаются (см. Пересечение уровней). При этом переходы между пересекающимися состояниями могут происходить с заметной вероятностью и наз. неадиабатическими. Теорию Л. в. применяют для описания столкновений атомов и молекул, взаимодействия атомов и молекул с эл.-магн. полями, взаимодействия разл. возбуждений в твёрдом теле и т. д. [c.26]

По наблюдениям ряда вспыхивавших Н. з. установлено, что вспышки происходят в одном из компонентов тесной двойной системы (ТДС) (см. Тесные двойные звёзды). Такие системы содержат в качестве гл. звезды белый карлик (БК), а спутник является звездой позднего спектрального класса малой светимости (красным карликом). Период обращения в тех ТДС, где происходили вспышки Н. 3., составляет неск. часов, соответственно характерный размер системы порядка 10 см. Эти данные послужили основой для выяснения причины вспышек Н. 3. и их рекуррентности. Если красный карлик заполняет свою полость Роша, то его вещество, попав в точку Лагранжа (рис.), при малом возмущении скорости может попасть внутрь полости Роша Б К и при надлежащих условиях присоединиться к нему. Часть вещества, теряемого красным карликом, может и не быть аккрецирована БК, а будет потеряна системой и образует уплощённую оболочку в орбитальной плоскости системы. Перетекающее на БК вещество образует аккрец. диск (см. Аккреция), и постепенно на его поверхности нарастает слой, содержащий большое кол-во водорода. При достаточно большой массе аккре-циров. вещества плотность в нём возрастает настолько, что начинаются термоядерные реакции. Как показали расчёты, неустойчивость развивается очень быстро. В образующемся в периферийных областях БК слоевом источнике энергии достигается темп-ра 10 К и боль- [c.358]

Техлические электромеханические системы описываются уравнениями, имею щимп T yKTvpy уравнений механики они называются уравнениями Лагранжа — jMaKL-ве. ла. Эти уравнения приводятся в п. 1 настоящей главы. Пример на составле- [c.331]

Это провозглашение эры исключительного господства аналитического метода могло казаться тем более обоснованным, что в труде Лагранжа содержится и все, что к тому времени составляло механику сплошной среды. Подводя итоги, надо все же признать, что аналитическая механика Лагранжа — не вся механика его времени. Недостаточность для приложений динамики идеальной жидкости, ограничение идеальными связями, т. е. исключение сил трения, математические трудности — словом, все, отделявшее теоретические построения от технических применений, заставляло уже тогда искать новые физические схемы, приближенные методы, обращаться к эксперименту. Это относится прежде всего к механике сплошной среды (см. следующую главу). Но в механике Лагранжа не было и других важных компонентов. В ней отразились и слабые стороны механистического, недиалектического материализма XVIII в. Лагранж обходит вопросы, связанные с тем или другим толкованием таких общих понятий, как пространство и время. А заодно он совсем не касается вопроса о том, каковы те системы координат, которыми он пользуется он ничего не говорит об относительности движения. Он обрывает в этом пункте традиции классической механики. Исходя из уравнений и не вникая в анализ физических основ механики, Лагранж как бы провел некую линию уровня . Все, лежащее выше нее, можно было считать прочно установленным и рекомендовать к применению то, что находилось ниже нее, игнорировалось. Это была новая позиция — позиция разумного самоограничения, но это исключало из рассмотрения ряд основных вопросов механики (и естествознания в целом). Исключить их на том основании, что пока нет удовлетворительного ответа на них и что они слишком близки к метафизике , было полезно можно было сосредоточить усилия на более конкретных задачах, поддающихся решению но это принесло и вред, так как отвлекало от более глубокого исследования основных понятий механики и физики, создавая иллюзию благополучия, которого на самом деле не было. [c.157]

Общие уравнения Лагранжа движения голономной механической системы с конечным числом степеней свободы завершили собой большой этап работы механиков и математиков конца XVIII в. Эти уравнения дали возможность привести решение всякой задачи о движении механической системы к интегрированию дифференциальных уравнений. Таким образом была осуш ествлена мысль Л агранжа сделать механику новой ветвью чистого анализа. Отсюда возникло новое учение в области математических наук, именуемое аналитической механикой. Уравнения Лагранжа, лежащие в основе аналитической механики, позволили составлять единообразным приемом уравнения движения как угодно сложной механической системы. [c.7]

Весьма важную проблему механики составляет изучение устойчивости движения, и в частности устойчивости разновесия. Наличие устойчивых положений равновесия консервативной механической системы в случае минимума потенциальной энергии системы было известно еще Лагранжу. Строгое доказательство этой теоремы, приводимой в большинстве современных курсов механики, дано Леже н-Д и р и х л е (1805—1859). [c.67]

Эти к уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, они впервые были получены Лагранжем в его Аналитической механике и потому называются уравнениями Лагранжа. Важно обратить внимание на то, что, во-первых, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат данной системы, т. е. равно числу ее степеней свободы, и, во-вторых, что неизвестные реакции совершенных связей, наложенных на систему, в эти уравнения не входят. Уравнения Лагранжа представляют собой систему к дифференциальных уравнений второго порядка с к неизвестными функциями д ,. .., Если проинтегрируем эти уравнения, то найдем координаты механической системы 911 > 9йКак функции времени I, а потому будем знать положение этой системы в любой момент времени, и, следовательно, движение системы будет полностью определено. Таким образом, когда уравнения Лагранжа для данной механической системы составлены, то решение второй основной задачи динамики, т. е. определение движения системы под действием заданных сил, сводится к математической задаче интегрирования этих уравнений. [c.555]

Так как рассматриваемая система имеет одну степень свободы, то мы будем иметь для нее одно уравнение Лагранжа. Прежде чем составлять это уравнение, нужно вычислить обобщенную силу Q и кинетическую энергию системы Т = i l + Т , где Tl есть кинетическая энергия колеса I, а. — кинетн-неская энергия колеса II. Если угловую скорость колеса I обозначим через щ, а его момент инерщш относительно оси вращения О, — через J,, то [c.562]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...