Функция Лагранжа механической системы

Из принципа экстремального действия (32.2) вытекает важное следствие функция Лагранжа механической системы определена лишь с точностью до полной производной по времени от произвольной функции обобщенных координат и времени. [c.184]

Постановка задачи. Найти функцию Гамильтона механической системы с двумя степенями свободы по известной функции Лагранжа. [c.324]

Условия ЗАДАЧ. Найти функцию Гамильтона механической системы с двумя степенями свободы по известной функции Лагранжа 1, 2 — обобщенные координаты. [c.325]

Кроме того, было выяснено, что функция является производящей функцией ДЛЯ механических сил электромагнитного происхождения. Эти результаты позволяют. высказать следующее утверждение объединение электрических и механических уравнений движения в общую динамическую форму осуществляется простым сложением функций Лагранжа э и м, где м — обычная функция Лагранжа механической дискретной системы [c.450]

Движение системы во внешнем поле. Пусть механическая система состоит из двух частей А и В [28, 40]. Функция Лагранжа полной системы [c.56]

Теория малых колебаний механических систем с несколькими степенями свободы строится по аналогии с теорией одномерных колебаний. Рассмотрим -мерную несвободную систему с голономными, идеальными и стационарными связями, предполагая, что все действующие на нее силы являются потенциальными и стационарными. Как было показано выше (см. 29), функция Лагранжа такой системы в общем случае имеет вид [c.236]

Из полученного результата следует, что состояние механической системы, на которую действуют потенциальные силы, определяется заданием одной только функции Лагранжа, так как, зная эту функцию, можно составить дифференциальные уравнения движения системы. [c.379]

Обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа I, называются циклическими координатами ( 127). Очевидно, что циклические координаты не войдут явно и в функцию Гамильтона Н. Пусть, например, первые k обобщенных координат 9[, 9а,. -ч Як механической системы с s степенями свободы циклические. Тогда функция Гамильтона примет вид [c.375]

Решение. Для свободной механической системы, движущейся по инерции, функция Лагранжа имеет следующее выражение [c.377]

Однородный сплошной диск массы ЬЛ может перекатываться без скольжения но горизонтальной плоскости. К центру 0[ диска прикреплены две одинаковые горизонтальные пружины жесткости с каждая. Пренебрегая массой пружин, определить кинетический потенциал L (функцию Лагранжа) такой механической системы, если в качестве обобщенной координаты выбрана координата х центра колеса, отсчитываемая от положения статического равновесия. [c.159]

Покажем, как исходя из принципа Гамильтона — Остроградского, получить уравнения Лагранжа второго рода. Пусть qi(t), <72(0. . (О обобщенные координаты, соответствующие прямому пути консервативной голономной механической системы. Рассмотрим окольный путь, определяемый функциями г+б г,. ... .., js- 6qs. Тогда, с точностью до членов первого порядка малости по сравнению с бдт и б т, будем иметь [c.215]

Но функция т] (/) при t = и t = iQ ио условию равна нулю (все сравниваемые движения имеют общие концы, т. е. общую начальную конфигурацию данной механической системы и общую конечную конфигурацию). Таким образом, второе слагаемое в (НО) равняется нулю. Но в истинном движении, условно считаемом при а = 0, функции <7, 4 удовлетворяют уравнению Лагранжа [c.377]

Функция Лагранжа отличается от полной механической энергии системы [c.397]

Величина, равная интегралу по времени от функции Лагранжа для механической системы. [c.21]

Обобщённый импульс в аналитической динамике выражается через функцию Лагранжа или через кинетическую энергию. 2. Каждому бесконечно малому преобразованию, вызывающему изменение лагранжиана, соответствует постоянная движения стационарной механической системы в потенциальном поле сил. [c.97]

Обобщённые координаты механической системы, не входящие явно в функцию Лагранжа. [c.101]

Если рассматривать подынтегральное выражение в (37,8) как функцию Лагранжа одномерной механической системы (причем играет роль обобщенной координаты, ф — роль времени), то (37,12) есть интеграл энергии. [c.199]

Задача эта была решена Лагранжем. Дифференциальные уравнения движения механической системы при возмущающих силах с силовой функцией W определяются принципом наименьшего действия [c.281]

Пример 1. Электромагнитный прибор состоит из подвижной катушки, вращающейся в постоянном магнитном поле, которое создает другая, неподвижная катушка, образующая с подвижной катушкой последовательную электрическую цепь. На подвижную катушку действует пара сил, создаваемая упругостью пружины с коэффициентом жесткости с. Во вращательной паре —вязкое трение с коэффициентом р. За обобщенные координаты системы примем угол поворота подвижной катушки Ф и ток i, протекающий через обмотки катушек. Тогда механическая функция Лагранжа примет вид [c.281]

Поэтому коэффициенты 1/ j можно трактовать как жесткости этих пружин. Наконец, последний член лагранжиана можно рассматривать как потенциал, вызванный движущими силами = Qj, не зависящими от координат, например гравитационными силами. (Силы могут, однако, зависеть от времени.) Что касается диссипативной функции (2.38), то ее можно считать вызванной наличием диссипативных (вязких) сил, пропорциональных обобщенным скоростям. Такова вторая интерпретация уравнения (2.39) [или функций (2.37), (2.38)]. Согласно этой интерпретации уравнения (2.39) описывают сложную систему масс, связанных пружинами и движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. Таким образом, мы описали движение двух различных физических систем посредством одного и того же лагранжиана. Отсюда следует, что все результаты и методы исследования, связанные с одной из этих систем, могут быть непосредственно применены и к другой. Так, например, для изучения рассмотренных выше электрических контуров был разработан целый ряд специальных методов, которые применимы и к соответствующим механическим системам. Таким путем было установлено много аналогий между электрическими и механическими или акустическими системами. В связи с этим термины, применяемые при описании электрических колебательных контуров (реактанс, реактивное сопротивление и т. д.), вполне допустимы и в теории механических колебательных систем ). [c.59]

Действие этого постулата не ограничивается областью статики. Он приложим также и к динамике, где принцип виртуальных перемещений соответствующим образом обобщается принципом Даламбера. Так как все основные вариационные принципы механики — принципы Эйлера, Лагранжа, Якоби, Гамильтона — являются всего лишь другими математическими формулировками принципа Даламбера, постулат А есть в сущности единственный постулат аналитической механики и поэтому играет фундаментальную роль Принцип виртуальных перемещений приобретает особое значение в важном частном случае, когда приложенная сила Fi моногенная, т. е. когда она получается из одной скалярной функции — силовой. В этом случае виртуальная работа равна вариации силовой функции LJ qi,. .., ( ). Так как силовая функция равна потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, то можно сказать, что состояние равновесия механической системы характеризуется стационарностью потенциальной энергии, т. е. условием [c.100]

Теорема о сохранении энергии как следствие принципа Гамильтона. Закон сохранения энергии, полученный раньше как следствие принципа Даламбера (см. гл. IV, п. 3), может быть теперь выведен из принципа Гамильтона. Попутно при этом выводе выясняются общие соотношения, существующие между полной энергией механической системы и функцией Лагранжа L. [c.145]

В распоряжении Гамильтона не было теории канонических преобразований, и он сделал свое открытие, исходя из совершенно иных предпосылок. Главная функция Гамильтона не является абстрактным математическим понятием, которое используется только для получения преобразований специального вида она имеет определенный физический смысл. Для того чтобы пояснить ход рассуждении Гамильтона, начнем с консервативной системы, у которой функция Лагранжа L и функция Гамильтона Н не зависят явно от времени. Именно такие функции встречаются в оптике, и это явилось для Гамильтона исходным пунктом как для оптики, так и для механики. Обобщение на случай неконсервативных систем может быть сделано очень просто задача сводится к случаю консервативных систем путем включения времени t в число механических переменных. [c.257]

Механика одной частицы. Вариационные принципы механики позволяют написать уравнения движения произвольной механической системы, если только задана одна фундаментальная величина — функция Лагранжа L. В ньютоновой механике пространство и время существуют обособленно, и время t служит при этом независимой переменной. В теории относительности это уже не так. Время теперь не более чем одна из координат, равноценная трем пространственным координатам. Физические события происходят в четырехмерном мире, который имеет определенную метрику. Согласно требованиям, вытекающим из этой метрики, в четырехмерном мире не должно существовать предпочтительного направления. Уравнения, приводящие к такому привилегированному направлению, противоречат принципу относительности и должны быть отброшены либо исправлены таким образом, чтобы в конечном счете они отразили надлежащую метрическую структуру физического мира. [c.356]

Дифференциальные уравнения. Рассмотрим теперь приложения лагранжевых уравнений движения к некоторым конкретным механическим системам. Начнем с консервативной голономной системы с к степенями свободы. Положение системы в момент t задается лагранжевыми координатами 9i, g 2,. . ., qn, причем наименьшее возможное значение п равно к. Будем предполагать, что координаты выбраны именно таким образом, т. е. что п = к. Составим функцию Лагранжа L ( 6.6), L = Т — V. Уравнения движения запишутся в форме [c.124]

Докажем, что R играет роль функции Лагранжа для механической системы с координатами 9т + 2, , Яп так называемые явные координаты). Мы свели, таким образом, первоначальную задачу к задаче для системы с п — т степенями свободы процесс такого сведения называют исключением координат. Циклические координаты появляются обычно в системах, [включающих гироскопы поэтому системы, содержащие циклические координаты, иногда называют гироскопическими системами ) ( 9.6). [c.177]

ПРИНЦИП Д АЛАМБЕРА - ЛАГРАНЖА. Определение. Набор функций r( )=(ri(0..... rjv(O) называется движением механической системы, если [c.212]

Как и в примере с колебаниями автомобиля, здесь мы имеем связь между колебаниями систем различной физической природы. В качестве обобщенных координат для механической системы наметим перемещения обеих масс Xi и х2, а для электрических контуров количества протекающего в них электричества и q . Чтобы излишне не осложнять задачу анализом функций Т, П и Ф для составления уравнений по Лагранжу, здесь можно воспользоваться прямой записью для механической системы условий равновесия сил по Даламберу, а в электрических контурах — условий равенства э. д. с. по 2-му закону Кирхгофа. [c.67]

Покажем, как можно получить уравнение Лагранжа второго рода для механической системы точек с переменными массами. Пусть система точек щ с идеальными голономными связями имеет k степеней свободы. Обозначим через qt обобщ,енные координаты, определяющ,ие положение системы, и пусть г, — радиус-вектор точки т, в неподвижной системе координат. Допустим, что масса точки может меняться в функции координаты, скорости и времени, т. е. [c.204]

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики ( функция Гамильтона Н) оказалась, при довольно широких условиях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений ( канонические уравнения ) равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование. [c.208]

Общая теория обратимого электромеханического преобразователя может быть построена на основании энергетических соотношений в динамической системе с многими степенями свободы. Эти соотношения определяются функцией Лагранжа, которая представляет собой разность кинетической я потенциальной энергии системы. Каждая степень свободы характеризуется обобщенными скоростью и перемещением. Обобщенные перемещения в частном случае могут быть линейным отклонением от положения равновесия, углом поворота в механической системе или электрическим зарядом в электрической цепи и т. п. Кинетическая и потенциальная энергии системы будут квадратичными функциями обобщенных скоростей (л ) и перемещений (х). [c.56]

Функция Лагранжа (29.3), введенная в 29 формальным образом с целью упрощения записи уравнений движения (28.11) для систем с потенциальными и обобщенно-потенциальными активными силами, в действительности является важнейшей функцией состояния механической системы. Глубокий физический смысл ларран-жиана обнаруживается, если обратиться к отысканию важнейших первых интегралов уравнений Лагранжа, связанных с симметрией заданного силового поля и наложенных на систему связей, т. е. законов сохранения. Покажем, что указанные интегралы движения можно достаточно просто отыскать по внешнему виду функции Лагранжа. [c.171]

Функция Гамильтона Н в аноничеоких уравнениях играет роль подобную функции Лагранжа в уравнениях Лагранжа. Ее задание равносильно по становке задачи, в связи с этим функция Гамильтона является характеристической функцией механической системы. [c.91]

Циклической обобщенной коордш атой механической системы называют координату фл, не входящую явно в выражение функции Лагранжа Е = Т -1- и. [c.367]

Последние уравнения как бы игнорируют циклические координаты и сводят динамическую задачу к задаче о движении механической системы с новой функцией Лагранжа и с меньшим ЧИСЛ0Л1 степеней свободы (sциклических координат Qa, после того как проинтегрированы последние уравнения, определяются квадратурами [c.167]

Мы сталкиваемся здесь с задачей, аналогичной стандартной задаче лагранжевой механики, а именно с определением движения механической системы с помощью минимизации зависящего от времени интеграла от функции Лагранжа L. Функция F может быть, таким образом, интерпретирована с механичеекой точки зрения как функция Лагранжа L ана.1итической механики. [c.321]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

На протяжении последних глав мы убедились в том, что уравнения Лагранжа во многих случаях являются весьма подходящим способом описания поведения механических систем. Уравнения Лагранжа представляют собой систему S обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Однако нередко оказывается удобныд перейти к системе 2s обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В функции Лагранжа L(qk, Ц ,) величины qi, и qi, не являются HesaBH nMbLNm переменными, поскольку (/ —это производные по времени от qu- Простейший путь перехода к независимым переменным состоит в том, чтобы ввести s новых переменных, г, согласно соотношениям [c.123]

Именно эта формула (1) в сочетании с некоторыми естественными предпо- 227 ложениями о свойствах механической системы, которые можно рассматривать как прямые следствия симметрии пространства и времени ньютоновой механики, позволяет Лагранжу с единой точки зрения вывести всю совокупность законов сохранения. Предположим, что не существует никаких неподвижных точел или препятствий, которые бы стесняли их (т. е. тел системы.— В. В.) движения тогда ясно, что в этом случае условия системы (т. е. связи.— В. В.) могут зависеть только от взаимного расположения тел следовательно, условные уравнения (т. е. уравнения связей.— В. В.) не могут содержать в себе каких-либо иных функций координат, кроме выражений взаимных расстояний между телами Это предположение, на котором основывается вывод законов сохранения импульса и момента импульса, эквивалентно принятию евклидовой симметрии пространства (т. е. его однородности и изотропности), которая явно в этих терминах Лагранжем не постулируется. [c.227]

Второе направление, тесно связанное с первым, представлено работами по теории возмущений небесной механики. Наибольшее значение здесь имели исследования Ж. Лагранжа и П. С. Лапласа. Математический аппарат и методы теоретического исследования тут по сути те же, что и в теории малых колебаний. Однако в идейном отношении существенно то, что рассматривается устойчивость некоторого состояния движения и что само содержание понятия устойчивости в связи с этим изменялось. Сдвиг в сторону динамики демонстрирует нам и еще один важный результат, полученный механикой XVIII в.,— теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия механической системы, соответствующего максимуму силовой (или минимуму потенциальной) функции. Доказательство теоремы, логически проведенное небезупречно, основано на применении интеграла живых сил. [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...