Уравнения Лагранжа равновесия системы

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ [c.21]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Исследование малых колебаний консервативной системы с несколькими степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия удобно проводить, используя уравнения Лагранжа второго рода. [c.467]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следует кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.392]

Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы. Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следует кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где = 0. [c.414]

В 1788 г. появилось сочинение Ж- Лагранжа Аналитическая механика , в котором вся механика была изложена строго аналитически на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. При этом Лагранжем были получены дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Дальнейшее развитие аналитических методов, предложенных Лагранжем для исследования движения и равновесия несвободных механических систем, привело к установлению ряда дифференциальных и вариационных принципов механики. [c.16]

Решение. Система имеет две степени свободы, и ее положение определяется двумя обобщенными координатами, а именно х vi у, где X — смещение оси барабана лебедки относительно ее положения статического равновесия, а г/ — расстояние груза D от оси лебедки. Уравнения Лагранжа запишутся так [c.306]

Пример 68. Основываясь на уравнениях Лагранжа —Максвелла, составить дифференциальные уравнения движения электромеханической системы, представляющей Собой конденсаторный микрофон, состоящий из последовательно соединенных катушки самоиндукции с коэффициентом самоиндукции L, омического сопротивления R и конденсатора, емкость которого в положении равновесия Сц. Пластины конденсатора связаны двумя пружинами с коэффициентами жесткости с. Масса подвижной пластины т, а расстояние между пластинами в положении равновесия равно а (рис. 100). [c.223]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степенен свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными. [c.175]

Исследование динамической устойчивости, изложенное для одной точки в гл. II, 6, и последующее изучение малых колебаний около положения устойчивого равновесия можно распространить, пользуясь уравнениями Лагранжа, на случай какой угодно голономной системы. [c.352]

Отсюда следует, что из всех возможных состояний равновесию системы, подверженной воздействию внешних сил (имеющих потенциал), соответствует то, при котором полная энергия системы принимает стационарное значение. Это так называемый вариационный принцип Лагранжа. Уравнение (15.64) полностью повторяет (15.61) в случае дискретной системы и (15.63) в случае сплошной среды. Функционал П для случая сплошной среды обсуждается в 15.13 и 15.20. [c.487]

Согласно теореме Лагранжа состояние равновесия консервативной механической системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна [40]. Необходимое условие минимума полной энергии записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа [c.41]

Выше отмечалось, что уравнения Лагранжа соответствуют условиям равновесия сил в отдельных точках системы, записанным по Даламберу, поэтому в более простых задачах они могут записываться и непосредственно, без предварительного составления выражений кинетической и потенциальной энергий. Сами уравнения движения для дискретных колебательных систем с п степенями свободы принимают в той или иной записи одну [c.31]

Управление рулевое — см. Рулевое управление Упругие муфты — см. Муфты, упругие Упругие системы — см. Системы упругие Упругие тела — Вариационное уравнение Лагранжа 1 (2-я)—189 Упругие элементы — Ломаные характеристики 1 (2-я) — 127 Упругий гистерезис 1 (2-я)—169 Упруго-пластическое равновесие — Задачи 1 (2-я)— 193 Упругое полупространство 1 (2-я) — 359 Упругость — Модуль 3—21, 23, 51, 219 Уравнение поверхности 1 (1-я) — 216 [c.316]

При исследовании упругих колебаний источник и объект можно в большинстве случаев рассматривать как упруговязкие системы с конечным числом степеней свободы, малые колебания которых вблизи устойчивого положения равновесия описываются линейными дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода [c.220]

Это уравнение, которое называют вариационным уравнением Лагранжа, в отличие от уравнения в вариациях (1.29) справедливо только для консервативных систем. Из уравнения Лагранжа следует, что в положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стационарное значение. Справедливо и обратное утверждение если полная потенциальная энергия имеет стационарное значение, то система находится в положении равновесия. [c.24]

Располагая вариационными уравнениями Лагранжа и Кастильяно, можем теперь дать вариационную постановку задачи теории упругости если задача решается в п е р е м е -щ е н и я X, то требуется найти такие перемещения и, которые непрерывны внутри тела, удовлетворяют геометрическим граничным условиям и минимизируют полную потенциальную энергию системы V если задача решается в напряже-н и я X, то требуется найти такие напряжения а, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим граничным условиям и минимизируют полную дополнительную энергию системы У, [c.43]

Ж. Лагранж в трактате Аналитическая механика справедливо отмечает, что принцип равенства давлений по всем направлениям... является 1771 основой равновесия жидкостей . Однако сам Лагранж предпринял попытку вывода всех свойств жидкости в состоянии равновесия непосредственно из самой природы жидкостей, рассматривая последние как собрание молекул, сильно разобщенных, независимых друг от друга и способных совершенно свободно двигаться во всех направлениях . Лагранж предпринял новую систематизацию материала гидростатики. Он стремился все закономерности механики вывести чисто математически из единого принципа. Этим единым принципом всей механики Лагранжа была так называемая общая формула динамики (теперь называемая уравнением Даламбера — Лагранжа). В частном случае равновесия системы эта формула переходила в общую формулу статики (принцип возможных перемещений). [c.177]

Условия равновесия системы и уравнения Лагранжа в случае существования силовой функции [c.558]

Полученные k уравнений равновесия называются уравнениями Лагранжа. Они определяют k неизвестных значений обобщенных координат <72, Як, соответствующих положению равновесия системы. [c.175]

Уравнения (е) называются уравнениями равновесия с множителями Лагранжа. Они справедливы как для освобождающих, так и для неосвобождающих связей. Положительные значения множителей к- не отвечают положениям равновесия системы лишь в том случае, когда рассматриваются освобождающие связи. [c.184]

Движение системы вблизи рассматриваемого положения равновесия будет определяться уравнениями Лагранжа второго рода [c.552]

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения сиетемы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил н сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями. Общее уравнение динамики (24) час го называю г объединенным принципом Да-ламбера Лагранжа. Его можно назвать лакже общим уравнением механики. Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инер щи точек системы переходит в нринцин возможных перемещений старики, только пока без доказательства его достаточности для равновесия системы. [c.400]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол ф, отсчитываемый от положения равновесия стержня О/Ц, против движения часовой стрелки. Связи системы, состоящие из пшрнироп, трение в которых пренебрежимо мало, следует считать идеальными. Для движения системы можно составить уравнение Лагранжа в форме [c.410]

Методы статики несвободной системы, изложенные в гл. XXVII, обобщаются и на динамику. Подобно тому как использование уравнения принципа возможных перемещений — общего уравнения статики — привело к различным формам уравнений равновесия (в декартовых координатах, в обобщенных зависимых и независимых координатах), точно так же из общего уравнения динамики выводятся аналогичные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы. Уравнения эти получили наименование уравнений Лагранжа, так как были впервые опубликованы в Аналитической механике Лагранжа. [c.385]

Задача ставится Jreдyющим образом как определить характер устойчивости равновесия системы по структуре действующих сил Примером решения такой задачи может служить теорема Лагранжа и ее обращение, на основании которой вопрос об устойчивости равновесия консервативной системы решается исследованием одной потенциальной энергии без привлечения анализа левых частей уравнений (см. 3.1 и 3.2). [c.164]

Описание задания. Цель расчета — приобретение опыта составления и исследования уравнений движения голономных ме.ханиче-ских систем в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. Аналитически определяют положение равновесия системы, с помощью ЭВМ находят ее движение относительно этого положения, определяют динамические реакции. [c.121]

Требуется 1, Составить дифференциальные уравнения движения системы в форме уравнений Лагранжа 2-го рода и уравнение для определения натяжения S4 нити КЕ. 2. Найти т условий равновесия системы в бобщенных координатах момент М. 3. Для найденного значения М и заданных начальных условий решить полученные уравнения на ЭВМ на интервале времени т. [c.130]

В настоящем параграфе и в 3.7 изложение проводится применительно к декартовой системе координат и ограничивается случаем статического равновесия и отсутствием температурного эффекта. Построение вариационного уравнения Лагранжа применительно к четырехмерной задаче (при наличии термоэффекта) и в ортогональной криволинейной системе координат дано в оригинальной работе А. Е. Крушевского [48], к которой и отсылаем читателя, особенно интересующегося расчетом сложных корпусных деталей машин. [c.71]

Принцип Даламбера и уравнения Лагранжа. Виртуальным (бесконечно малым) перемещением системы называется произвольное бесконечно малое изменение ее конфигурации, согласующееся со связями, наложенными на нее в данный момент t. Виртуальным это перемещение называют для того, чтобы отличить его от действительного перемещения, происходящего за некоторый промежуток времени dt, в течение которого силы и связи могут измениться. Пусть система находится в равновесии, т. е. полная сила, действующая на каждую ее точку, равна нулю. Тогда будем иметь Г,- = О и, следовательно, произведение Fi-fifi, равное работе силы Fi на виртуальном перемещении 8ги также будет равно нулю. Сумма таких произведений, взятая по всем точкам системы, также должна быть равна нулю [c.26]

В физических и технических проблемах встречаются и другие виды естественных движений, а также некоторые виды движения тех же самых голономных систем, которые, хотя и выражаются уравнениями более общими, чем уравнения Лагранжа, но могут быть сопоставлены с состояниями равновесия голономной системы благодаря тому, что уравнения допускают соответствующие частные решения (статические или меростатические решения). Мы распространим наше исследование и на эти решения. Наконец, мы введем, наряду со строгим определением понятия устойчивости, приближенное понятие, соответствующее устойчивости в течение конечного, но достаточно длительного промежутка врзмени, или линейной устойчивости ), исследованием которой мы и будем часто ограничиваться в силу непреодолимых математических трудностей, возникающих при анализе устойчивости в строгом смысле. [c.352]

Динамический случай. Обращение теоремы Дирихле. Оставим пока общие рассуждения предыдущих пунктов, чтобы показать, как они связываются с задачей о малых колебаниях голономной системы около некоторой конфигурации устойчивого равновесия, изученной уже нами в 3 при помощи уравнений Лагранжа. [c.387]

Таким образом, для получения линейного приближения можно составить уравнения Лагранжа по выражениям Т taV, каждое из которых представляет квадратичную форму с постоянными коэффициентами. Коэффициенты в выражении для Т можно взять равными их значениям в положении равновесия иными словами, для наших целей достаточно найти выражение для Т в момент, когда система проходит положение равновесия. Функцию V можно представить членами второго порядка в разложении Тейлора в окрестности точки О, т. е. квадратичной формой вида (9.1.3). Таким образом, теория колебаний будет основываться на уравнениях Лагратка, когда Г и У задаются определенно-положительными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Мы будем пользоваться теми же обозначениями, что и ранее, а именно [c.141]