Голономные системы. Уравнения Лагранжа

I. Голономные системы. Уравнения Лагранжа [c.278]

Рассмотрим теперь неконсервативную голономную систему. Уравнения Лагранжа второго рода для такой системы имеют вид (см. 3.3, (3.29)) [c.221]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

В 4.4 была получена система уравнений, решение которой описывает движение системы материальных точек в случае голономных связей - уравнения Лагранжа второго рода [c.221]

Будем рассматривать голономную систему с / степенями свободы, движуш,уюся под действием потенциальных сил. В главе IV ыло показано, что движение таких систем можно описать системой уравнений Лагранжа 2-го рода [c.282]

Уравнениями Лагранжа, как уже указывалось, можно пользоваться для изучения движения любой механической системы с геометрическими или сводящимися к геометрическим (голономными) связями, независимо от того, сколько тел (или точек) входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается. [c.379]

В ТОМ случае, если голономная система ( 31) имеет s степенен свободы и на нее действуют консервативные силы, уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок относительно обобщенных координат (126.3). [c.366]

Уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы с S степенями свободы, находящейся под действием консервативных сил, имеют вид (126.3) [c.367]

Уравнения (134.5) представляют собой канонические уравнения механики для неконсервативной системы. Очевидно, что канонические уравнения механики, полученные из уравнений Лагранжа второго рода, применимы только к голономным системам. [c.372]

Для системы с механическими голономными связями различие между операторами d и б имеет простой механический смысл, соответствующий различию между возможными и виртуальными скоростями, а число п новых координат равно числу степеней свободы системы. Имея в виду это обстоятельство, мы при выводе уравнений Лагранжа считали, что п удовлетворяет неравенству ns SN, хотя при отсутствии механических связей оснований для такого обобщения не было. [c.154]

Использование уравнений Лагранжа для систем, содержащих механические голономные связи. Если система содержит механические связи, но все они голономны, то можно в качестве новых координат использовать обобщенные координаты qi,. .., q (их число = ЗЛ/ — / 3/V равно числу степеней свободы системы), а формулы (8) получаются так, как это было пояснено выше (см. рассуждения, приводящие к формулам (60)). [c.155]

Уравнения (1 ) называются уравнениями Лагранжа второго рода ) При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы. Система (1 ) состоит из обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. [c.472]

Так как число уравнений Лагранжа при наличии идеальных и голономных связей равно числу степеней свободы системы, т. е. числу обобщенных координат, то в данном случае следует записать одно уравнение Лагранжа для обобщенной координаты р [c.474]

Первый метод решения данной задачи несколько быстрее ведет к цели, но правильный выбор той или иной общей теоремы динамики существенно зависит от содержания задачи и требует некоторого навыка. Второй путь — составление уравнений Лагранжа — несколько более длинный, но является универсальным способом, применимым к любым системам, подчиненным идеальным голономным связям. [c.594]

Для механической системы с голономными идеальными и удерживающими связями уравнения Лагранжа имеют вид [c.430]

Покажем, как исходя из принципа Гамильтона — Остроградского, получить уравнения Лагранжа второго рода. Пусть qi(t), <72(0. . (О обобщенные координаты, соответствующие прямому пути консервативной голономной механической системы. Рассмотрим окольный путь, определяемый функциями г+б г,. ... .., js- 6qs. Тогда, с точностью до членов первого порядка малости по сравнению с бдт и б т, будем иметь [c.215]

Формула (8.34) была получена на базе уравнений Лагранжа второго рода. Но можно сделать и наоборот — принять эту формулу за исходное положение механики консервативных голономных систем со стационарными связями и получить из нее уравнения движения материальной системы ). [c.230]

В случае голономных механических систем с идеальными связями воспользуемся обобщенными координатами qi,. ... Qs- Тогда в неинерциальных координатах движение механической системы описывают уравнениями Лагранжа второго рода, в которых будут дополнительные обобщенные силы переносного и кориолисова ускорения [c.110]

Уравнения Аппеля применимы, как это следует из их вывода, и к системам с голономными связями. В случае систем с идеальными связями ни в уравнениях Лагранжа для голономных систем, ни в уравнениях Аппеля для неголономных систем не входят реакции связей. [c.381]

Динамические уравнения движения несвободной материальной системы, ограниченной двусторонними идеальными (голономными или неголономными) связями, называются уравнениями Лагранжа первого рода. 2. Уравнения голономных связей не содержат никаких производных от координат. [c.20]

В случае наличия неголономных связей применяются особые системы уравнений, позволяющие найти закон движения системы, не определяя вместе с тем реакции неголономных связей. Далее определяются реакции всех связей из уравнений Лагранжа первого рода. При применении уравнений Лагранжа второго рода в случае наличия неголономных связей приходится вместе с законом движения определять реакции неголономных связей. При этом реакции голономных связей находят из уравнений Лагранжа первого рода. [c.36]

Сначала здесь рассматриваются уравнения Лагранжа второго рода для материальной системы с голономными стационарными связями в неголономной системе отнесения. Преобразуем обобщенные силы. Для этого составим выражение элементарной работы. Имеем [c.157]

Уравнения Лагранжа первого рода для голономной системы [c.385]

При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа второго рода равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы этой голономной системы. [c.792]

Основные преимущества уравнений Лагранжа второго рода (19) состоят в следующем. Во-первых, они дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики для любых голономных систем точек или тел, как угодно движущихся. Во-вторых, число уравнений (19) не зависит от числа входящих в систему точек или тел и равно числу степеней свободы системы (в машинах, механизмах и приборах обычно одна, две и редко больше двух степеней свободы). [c.792]

При составлении уравнений Лагранжа необходимо следить, чтобы координаты gi,. . были голономными, иными словами, чтобы декартовы координаты точек механической системы ж,, у , Zv явно выражались (или могли быть явно выражены) еще до составления уравнений движений через вещественные переменные q, (s = l, 2,. ..), имеющие самостоятельный геометрический смысл. [c.164]

Уравнения Лагранжа. В предыдущих главах мы вывели для точки, движущейся по неподвижной или движущейся поверхности или по кривой, уравнения движения, указанные Лагранжем. Тот же метод позволяет написать уравнения движения свободной точки, причем в любой системе координат. Этот метод тем более важен, что он применим к движению произвольной голономной системы. [c.447]

Уравнения относительного движения точки. Уравнения Лагранжа позволяют, как мы видели, найти относительное движение точки по отношению к системе, совершающей известное нам движение (пп. 259, 263, 282). Мы увидим дальше, что те же уравнения применимы и к относительному движению голономных систем. Следовательно, нет необходимости в построении специальной теории относительного движения. Тем не менее ввиду важности вопроса мы изучим его непосредственно. [c.234]

Мы исследуем сначала голономные системы как наиболее простые. Для движения этих систем мы укажем форму уравнений, данную Лагранжем. Пусть 2.....Як—координаты голономной системы и ..., — их производные по времени при ее дви- [c.277]

Приложение. Уравнения Лагранжа. Пусть выполняются определенные с самого начала (стр. 345) общие условия. Если все наложенные контактные связи являются голономными, то координаты X, у, г различных элементов рассматриваемой системы И выражаются в конечной форме через время I и параметры д , от которых зависит положение системы [уравнения (1)]. [c.350]

Рассмотренные примеры показывают, что для голономных систем основные теоремы динамики можно рассматривать как проявление свойств циклических координат. Ясно, что удачный выбор лагран-жевых координат в значительной мере облегчает интегрирование и исследование системы уравнений Лагранжа. При выборе координат полезно стремиться к тому, чтобы из них как можно больше оказались циклическими. [c.560]

В результате система уравнений Лагранжа второго рода представит собой систему из л обыкновенных дифференциальных уравнений (число уравнений равно числу обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы для голономной системы) второго норяудка относительно обобщенных координат. [c.366]

Канонические уравнения Гамильтона. Пусть положение ехаиической системы с голономными идеальными связями полостью определяется лагранжевыми координатами < ь <7г,ди, а вижение системы — уравнениями Лагранжа второго рода [c.449]

Система уравнений Лагранжа 2-го рода представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, в которой неизвестными функциями времени явлйются обобщенные координаты д,. Число неизвестных функций — в силу голономности системы —равно числу уравнений. [c.212]

Езольшое достоинство уравнений Лагранжа заключается в том. что при наличии идеальных и голономных связей в них не входят силы реакций связей. (При применении других методов решения задач приходится в ходе решения исключать силы реакций связей из системы составленных уравнений.) [c.473]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Получить уравнения движения голономной системы с идеальными связями можно, воспользовавщись теоремой 7.1.1 о форме принципа Даламбера-Лагранжа в лагранжевых координатах. Основное [c.539]

Эти уравнения являются распространением уравнений Лагранжа второго рода на случай отнесения движения материальной системы к неголономной системе координат. Если выполняются условия (11.62), уравнения (П.ббЬ) превращаются в уравнеийя Лагранжа второго рода в голономной системе координат. [c.158]

Последнее равенство может выполняться при произвольных 6(7, только в том случае, когда все выражения в круглых скобках равны нулю. Таким образом, мы приходим к уравнениям Лагранжа второго рода, составленным, в независимых обоби ек-ных координатах для системы с голономными связями [c.397]

Описание задания. Цель расчета — приобретение опыта составления и исследования уравнений движения голономных ме.ханиче-ских систем в форме уравнений Лагранжа 2-го рода. Аналитически определяют положение равновесия системы, с помощью ЭВМ находят ее движение относительно этого положения, определяют динамические реакции. [c.121]

Переменные ji,. .., предполагаются веществепнымы и иезавп-симыми пх численные значения определяют положение системы. Такие неременные носят название определяющих (или голономных) обобщенных координат Лагранжа. Отсюда возможные перемещения бхм, бу,,, 6zv при бесконечно малых изменениях определяющих переменных находятся варьированием уравнений связи [c.79]

Пр и м е р. Снова рассмотрим задачу Н. Е. Жуковского (см. рис. 114). Положение балки определяется углом ABOi = Q, образованным с горизонтальным полом следовательно, 0 является голономной координатой рассматриваемой системы, и потому уравнение движения в переменной 0 будет иметь вид уравнения Лагранжа. [c.165]

Уравнения Лагранжа второго рода дают общий метод составления дифференциальных уравнений движения механической системы с голономными идеальными удерживающими связями в обобщенных координатах. Строгий вывод этих уравнений выходит за рамки данного курса, поэтому проиллюстрируем их справедливость на очень частном случае механической системы с одной степенью свободы, когда наложенхсые на нее связи являются не только голономными идеальными удерживающими, но и стационарными. [c.300]

Формулировка принципа. Ученые искали различные способы сведения уравнений движения к единому началу путем введения интегралов или функций, которые обращаются в минимум для действительного движения системы по сравнению с возможными 6an3KitMH движениями. Эта идея находит свое выражение прежде всего в принципе наименьшего действия (п. 486) затем следует более общий принцип Гамильтона (п. 483), из которого очень просто выводятся уравнения Лагранжа для голономных систем, но в случае систем не-голономных эти рассуждения и выводы становятся уже неверными. Мы займемся здесь принципом наименьшего принуждения Гаусса. Этот принцип, являясь наиболее общим, не вызывает к тому же никаких затруднений при его приложениях. Преимущество принципа состоит и в том, что он имеет простое аналитическое выражение, позволяющее свести нахождение уравнений движения произвольной системы, как голономной, так и неголономной, к нахождению минимума функции второй степени. [c.420]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...