Структура уравнений Лагранжа

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

Изучим структуру уравнений Лагранжа, построенных по правилам составления уравнений для относительного движения. По теореме 2.11.1 сложения скоростей для каждой материальной точки системы будем иметь [c.549]

Эти уравнения имеют структуру уравнений Лагранжа, но чтобы их полностью определить, требуется задать зависимость I = 1(т). Пользуясь произволом в выборе этой функции, определим ее, добавив к исходной системе дифференциальное уравнение [c.559]

Структура уравнений Лагранжа второго рода [c.365]

Совокупность уравнений (11) и (12) образует систему уравнений Рауса. Она состоит из к уравнений (11) второго порядка, имеющих структуру уравнений Лагранжа второго рода, и 2 п — к) уравнений (12) первого порядка, обладающих структурой уравнений Гамильтона. [c.295]

Однако, учитывая, что анализ устойчивости состояний равновесия механизма будем выполнять на основе теоремы Ляпунова по линеаризованному уравнению [3] в соответствии со структурой уравнений Лагранжа второго рода, члены, содержащие частные производные, выпадут из уравнений движения, поэтому инерционные коэффициенты можно представить в таком виде [c.15]

Структура уравнений Лагранжа [c.288]

Эти уравнения, данные Раусом, имеют структуру уравнений Лагранжа, причем роль кинетической энергии играет функция Рауса R они содержат лишь позиционные координаты и соответствующие этим координатам обобщенные скорости и ускорения. Способ Рауса поэтому называется способом игнорирования циклических координат, а сами эти координаты—игнорируемыми или скрытыми. В противопоставление этому позиционные координаты называют явными. [c.348]

Из рассмотренных примеров очевидно, что по своей математической структуре уравнения Лагранжа (28.11) ничем не отличаются от уравнений движения Ньютона, т. е. так же как н последние, они являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка. [c.164]

СТРУКТУРА УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ КЛАССОВ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ СИСТЕМ С ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ И ОБОБЩЕННО-ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ СИЛАМИ [c.165]

Структура уравнения Лагранжа (28.11) определяется конкретным видом обобщенных сил С и кинетической энергии системы Т как функций ее обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени. Рассмотрим вначале, какую форму могут принимать уравнения Лагранжа в зависимости от вида функций Qa д, д, 1). [c.165]

Заметим, что уравнения, полученные из уравнений Лагранжа, всегда совпадают с уравнениями, полученными способом, основа -ным на использовании принципа Д Аламбера. В некоторых случаях, в частности для систем цепной структуры типа рассматривае- [c.554]

Цель исследования уравнений Лагранжа состоит как раз в том, чтобы показать, что такой детерминизм полностью сохраняется при использовании лагранжева формализма. Чтобы доказать это, нужно выяснить структуру двух основных функций, которые входят в уравнения Лагранжа, — кинетической энергии Т и лагранжиана L как функций координат q, скоростей q и времени. Эти две функции играют столь важную роль во всем последующем изложении, что выявление их структуры существенно и само по себе. [c.137]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Из структуры уравнений (4.4) видно, что если вместо функции L выбрать другую функцию Li — L+ /(/), где f t)—любая функция времени, то функция Li тоже будет удовлетворять уравнениям (4.4). То же самое будет, если вместо L взять Li = L, где с — любое постоянное число, кроме нуля. Существуют и другие преобразования, относительно которых уравнения Лагранжа инвариантны ). [c.95]

Заметим, что уравнения, полученные из уравнений Лагранжа, всегда совпадают с уравнениями, полученными способом, основанным на использовании принципа д Аламбера. В некоторых случаях, в частности для систем цепной структуры типа рассматриваемой, по соображениям простоты выкладок следует пользоваться первым способом при расчете изгибных колебаний оказывается более удобным второй. [c.617]

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степенен свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными. [c.175]

Исключение циклических переменных. Хотя канонические уравнения имеют гораздо более простую структуру, чем исходные уравнения Лагранжа, у нас нет общего метода интегрирования этих уравнений. Поэтому при интегрировании уравнений движения по-прежнему необычайно важную роль играют циклические переменные. Как только появляются циклические переменные, становится возможным частичное интегрирование данной механической задачи и сведение ее к более простой. Сам процесс сведения, однако, в гамильтоновой форме механики выглядит гораздо проще, чем в лагранжевой форме. [c.214]

Уравнения Уиттекера (29) имеют структуру уравнений Гамильтона. Их можно записать в виде уравнений типа Лагранжа. Пусть гессиан функции К по переменным pj отличен от нуля [c.291]

Разъяснения. I. Здесь не используется конкретная структура лагранжиана, а важно лишь то, что движение удовлетворяет уравнениям Лагранжа [c.169]

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

Вариационные уравнения, соответствующие функционалам, приведенным в гл. 3 и 4, можно вывести обычным путем по правилам вариационного исчисления. Левые части их имеют энергетическую структуру и выражают работу обобщенных сил на соответствующих возможных обобщенных перемещениях (для вариационного уравнения Лагранжа) или обобщенных перемещений (деформаций) на возможных обобщенных силах (для уравнения Кастильяно), или их комбинаций в полных и различных смешанных формах. При этом возможными называются обобщенные перемещения (силы), которые удовлетворяют дополнительным условиям, наложенным на них, следующим из дополнительных условий данного функцио- [c.142]

Невырожденность. В силу указанной структуры кинетической энергии уравнения Лагранжа всегда оказываются линейными по обобщенным ускорениям [c.116]

Структура уточненной приближенной модели может быть изменена, когда уравнения быстрых движений описываются уравнениями второго порядка, типа уравнений Лагранжа-Максвелла.В этом случае вектор быстрых переменных г из (15) слагается из векторов х [c.179]

Структура уравнений движения в независимых координатах и функция Лагранжа [c.229]

I есть функция тех же координат и их производных по времени, естественно, что подынтегральное выражение в принципе Гамильтона (уравнения (1.26) и (1.27)) есть 1сИ, в то время как в принципе Ферма — Кёд . Поскольку оба принципа выражают одно и то же и их- структура идентична, к уравнению (5.2) можно применить ту же процедуру, что использовалась при выводе уравнений Лагранжа (1.35) из (1.27). Заменяя в них лагранжиан L вариационной функцией К и время — координатой дз, получим уравнения Эйлера [c.249]

ЭТИ уравнения выражают тот факт, что вариационная производная плотности лагранжиана равна нулю. Их структура в основном соответствует структуре механических уравнений Лагранжа. [c.97]

Таким образом, движение голономной материальной системы можно описать, составляя систему уравнений Лагранжа 2-го рода в виде (4.67). Специфическая (очень удобная ) форма этих уравнений при первом знакомстве с ними как бы скрывает их структуру, и мы не видим, как в уравнения входят производные по времени от обобщенных координат, к какому виду дифференциальных уравнений могут быть отнесены уравнения Лагранжа в каждом конкретном случае. [c.213]

Чрезвычайно удобная и выразительная, ковариантная форма уравнений движения (4.83) как бы вуалирует структуру левых частей уравнений движения не видно, как входят в уравнения первые и вторые производные от обобщенных координат по времени. Поэтому, ограничиваясь классическими системами, мы рассмотрим явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.225]

Получение интегралов уравнений Лагранжа 2-го рода зависит не только от структуры системы и характера силового поля ), но и от выбора обобщенных координат. Разумеется, сохранение и.мпульса (или момента импульса), хотя бы частичное, как это может быть для систем со связями, либо сохранение энергии, не может зависеть от того или иного выбора обобщенных координат, но при неудачном выборе для получения интегралов приходится формально составлять интегрируемые комбинации дифференциальных уравнений. [c.233]

Структура уравнений Лагранжа и детерминизм движения в механике. В классической механике причинность вьфажается в форме механистического детерминизма если заданы начальные данные (все координаты и все скорости), то движение системы существует и оно единственно. [c.241]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Разрешимость уравнений Лагранжа относительно об-общеных ускорений. Используя структуру (16) выражения кинетической энергии, уравнения Лагранжа (11) можно представить в виде [c.273]

В первой главе рассматриваются уравнения Лагранжа второго рода для механических систем с иеременными массами. С помощью принципа условного затвердевания получено удобное на практике выраягение для обобщенной силы, возникающей за счет изменения кинетической энергии частиц перемепной массы. Исследована структура приведенного момента массовых сил и составлено дифференциальное уравнение движения машинного агрегата относительно его кинетической энергии. Рассматривается вопрос о влиянии масс обрабатываемого продукта, поступающих к исполнительным звеньям механизма, на инерционные параметры и суммарную приведенную характеристику машинного агрегата. В аналитической форме даются условия работы широких классов машинных агрегатов, время разбега и выбега которых мало но сравнению с общим временем их движения. Выясняется динамический смысл этих условий. [c.7]

Система (17) содержит т + я уравнений второю порядка относительно т + я неизвестных функций (t),. .., (t), q (t),. .., o (t). Bee уравнения (17) имеют структуру уравнений механики, т. е. если принять формально gy,. .., g i, q ,. .., q за обобщенные координаты системы с кинетическим потенциалом = Т + W — (11+ + I/), то (17) можно записать как уравнения Лагранжа второго рода этой системы. При этом первым т координатам соответствуют обобщенные силы —d VIdi , а остальным — силы Q . Токи iV = gr имеют смысл обобщенных скоростей, W формально можно Отнести к кинетической, а V — к потенциальной энергиям. Величины [c.336]

Вместе с тем, установленная Лагранжам взаимосвязь симметрия — сохранение не была им явно сформулирована в виде некоторого общего результата. Если Ньютон постулировал с самого начала определенные свойства пространства и времени, то Лагранж не высказывался непосредственно о тех принципах пространственно-временной симметрии, которые наряду с общей формулой динамики были им неявно положены в основу аналитической механики. С одной стороны, это было связано с общей тенденцией, характерной для механики XVIII и даже первой половины XIX в., избегать обсуждения аксиоматических основ механики с другой — с известной переоценкой динамических законов типа основных уравнений движения механики и недооценкой принципов пространственно-временной симметрии. Рассмотрение законов сохранения как первых интегралов уравнений движения механических систем могло поддерживать иллюзию, что взаимосвязь симметрия — сохранение имеет лишь формально-вычислительное значение и в своей общности и фундаментальности существенно уступает самим уравнениям движения или иной форме динамического закона (при этом не-оол редко упускалось из виду, что структура уравнений сама, в свою очередь, базировалась на определенных представлениях о свойствах симметрии пространства и времени). [c.230]

Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем , который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь Р-сим-метрия — сохранение . Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.) . Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д. ). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат и собственного времени = i x [c.243]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

По форме уравнения Аппеля (10), как показывается ниже, ничем не отличаются от уравнений Эйлера—Лагранжа (1.13). Применение тех или иных уравнений— вопрос вычислительного удобства. Пользование уравнениями Эйлера — Лагранжа предполагает предварительное нахождение трехиндексных символов кинетическая энергия должна вычисляться без учета наличия неголономных связей, что усложняет структуру этого выражения само написание уравнений требует внимания в расстановке индексов. При применении уравнений Аппеля основная трудность состоит в вычислении энергии ускорений требуется внимание, чтобы не упустить слагаемых, содержащих квазиускорения. При рассмотрении неголономных систем дело облегчается возможностью учитывать наличие этих связей. Не следует переоценивать значения правил (4.10.4) и (4.10.12) составления энергии ускорений 5 по кинетической энергии Т, так как применение второго из них требует знания трехиндексных символов и выражения Г, вычисленного при отброшенных связях, а применение первого для составления уравнений Аппеля в форме (5.18) воспроизводит выкладки, которые надо проделать при написании уравнений Лагранжа второго рода (если неголономные связи отсутствуют). Важное значение имеют в задачах динамики твердого тела правила составления 5, данные в п. 4.11. Уравнения Аппеля легко запоминаемы, а процесс [c.397]

В предыдущем параграфе было выяснено, насколь ко важен выбор независимых обобщенных координат при составлении уравнений Лагранжа. В свою очередь, вопрос о выборе координат требует более тщательного изучения структуры этих уравнений. С этой целью прежде всего рассмотрим структуру кинетической энергии. [c.229]

Структура выражений (2.11) такова, что уравнения Лагранжа остахэтся справедливыми в форме (2.9) для гироскопических систем рассмотренного только что типа, т. е. если обобщенные гироскопические силы можно представить выражениями (2.11) или (2.15). Все, что остается здесь сделать, это заменить определение кинетического потенциала (2.10) выражением [c.18]

ТО уравнения Лагранжа совпали бы с уравнениями, полученными с помощью обратного сиособа. Сопоставляя полученные варианты записи по прямому и обратному способам, можно сделать следующее общее заключение относительно структуры дифференциальных уравнений при составлении системы уравнений по прямому способу Яу = О при г =7 7, а при составлении по обратному способу сц — О при IФ /. Таким образом, пользуясь прямым способом, мы приходим вместо (4.4) к системе [c.77]

Как видим, и в этом, более общем случае, вид уравнений Лагранжа и структура функщ1и Лагранжа те же. Обобщенная силовая функция U q, q, t) может зависеть от обобщенных скоростей только линейно. U = Uq + Ux Ui-форма 1-й степени относительно скоростей, Uq не зависит от скоростей). В самом деле, если предположить, что в U войдет, например qf, то окажется, [c.236]

Структура Т. Вид уравнений Лагранжа, вопрос о детерминизме механического движения, законы сохранения аналитической механики и др. требуют выяснения общего вида функщ1й ТиЬъ зависимости от обобщенных координат д,, скоростей д, и времени 1. Определив функщ1и Г и [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...