Уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных систем

КИНЕТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ДЛЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ [c.343]

Уравнения (126.3) называются уравнениями Лагранжа второго рода для консервативной системы. [c.344]

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы [c.363]

В ТОМ случае, если голономная система ( 31) имеет s степенен свободы и на нее действуют консервативные силы, уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет второй порядок относительно обобщенных координат (126.3). [c.366]

Уравнения Лагранжа второго рода для голономной системы с S степенями свободы, находящейся под действием консервативных сил, имеют вид (126.3) [c.367]

Так как вывод этих уравнений основан на уравнениях Лагранжа второго рода для консервативной системы (126.3), то они также могут применяться к исследованию движений лишь консервативных систем. [c.369]

Из этого следует, что экстремум интеграла (145.1) будет только для таких кривых //(х), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению (145.9), называемому уравнением Эйлера (оно было опубликовано впервые в 1744 г.). Уравнение (145.9) при x = t и f = L совпадает с уравнением Лагранжа второго рода для консервативной системы с одной степенью свободы. [c.403]

Для установления принципа стационарного действия воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода. Для консервативной системы эти уравнения имеют вид (126.3) [c.408]

Решение. Для получения дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для консервативных систем [c.358]

Исследование малых колебаний консервативной системы с несколькими степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия удобно проводить, используя уравнения Лагранжа второго рода. [c.467]

Покажем, как исходя из принципа Гамильтона — Остроградского, получить уравнения Лагранжа второго рода. Пусть qi(t), <72(0. . (О обобщенные координаты, соответствующие прямому пути консервативной голономной механической системы. Рассмотрим окольный путь, определяемый функциями г+б г,. ... .., js- 6qs. Тогда, с точностью до членов первого порядка малости по сравнению с бдт и б т, будем иметь [c.215]

Формула (8.34) была получена на базе уравнений Лагранжа второго рода. Но можно сделать и наоборот — принять эту формулу за исходное положение механики консервативных голономных систем со стационарными связями и получить из нее уравнения движения материальной системы ). [c.230]

Соверщенно аналогично из равенства (II, 141), т. е. из принципа Гамильтона — Остроградского, можно найти уравнения Лагранжа второго рода для движения системы в консервативном силовом поле. [c.199]

Решение. Система является консервативной и при вертикальном движении груза имеет одну степень свободы. Выберем за обобщенную координату расстояние у груза от горизонтальной плоскости, проходящей через ось О барабана. Так как действующие на систему силы Ру и Р2 консервативны, то воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода в виде (22), а именно [c.799]

Решение. Воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода для консервативной системы. Приняв за обобщенную координату [c.344]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

Постановка задачи. Консервативная механическая система с идеальными стационарными связями, имеющая две степени свободы, движется под действием известных сил. Используя уравнение Лагранжа 2-го рода для консервативных систем, найти ускорения тел системы. [c.318]

Одним из наиболее плодотворных применений уравнений Лагранжа 2-го рода является изучение малых колебаний механических систем около положения равновесия. Мы ограничимся рассмотрением случая малых свободных колебаний механической системы, имеющей s степеней свободы, около положения устойчивого равновесия. Как было указано, потенциальная энергия системы V qu <72, .., < s) определяется с точностью до произвольной постоянной. Мы можем выбрать начало отсчета координат qt, 2,. . qs таким образом, чтобы положению равновесия соответствовали значения i=0, 2=0,. . s = 0 и Vo=0. Кроме того, в главе VI раздела Кинетика мы доказали, что при равновесии консервативной системы имеют место следующие условия [c.501]

Наиболее существенно здесь, по-видимому, то, что последовательное развитие теории интегрирования составленных Гамильтоном уравнений движения консервативных систем, отличающихся лишь по форме от уравнений Лагранжа второго рода, позволило установить связь между процессами, протекающими в дискретных системах и непрерывной среде, в первую очередь между механическими движениями и оптическими явлениями. Это обстоятельство отмечает в своей книге Лан-цош [76]. [c.6]

Уравнения Чаплыгина представляют собой уравнения типа Лагранжа второго рода с корректирующими аддитивными членами, составленные в го-лономных координатах для консервативных неголономных систем с линейными и однородными связями первого порядка при некоторых упрощающих предположениях относительно выражений кинетической и потенциальной энергии системы (так называемые системы Чаплыгина). [c.93]