Теорема Лагранжа о равновесии системы

Основой всей аналитической статики является теорема Лагранжа о равновесии системы материальных точек. Формулировка этой теоремы имеет следующий вид Для равновесия системы материальных точек, на которую наложены идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех активных сил, действующих на систему, была равна нулю для всех неосвобождающих возможных перемещений системы и была не больше нуля для освобождающих возможных перемещений системы . [c.4]

Согласно теореме Лагранжа, положение равновесия q = q = О системы [c.168]

Докажем, что центр масс находящейся в равновесии системы тяжелых тел занимает экстремальное положение, отложив доказательство второй части принципа Торричелли до изложения теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия при максимуме силовой функции. Ось Z направлена по вертикали вверх. Принцип возможных перемещений для равновесия системы тяжелых тел с массами и координатами аг,, у , z, дает [c.77]

Теоремы Ляпунова о неустойчивости положения равновесия консервативной системы. Теорема Лагранжа дает достаточные условия устойчивости положения равновесия. Вопрос о том, [c.492]

Если нагрузка р > О мала, то квадратичная форма Пг, задаваемая выражением (18.110), положительно определена, полная потенциальная энергия П в положении равновесия имеет минимум и по теореме Лагранжа это положение устойчиво. По мере возрастания нагрузки р>0 в выражении (18.110) отрицательно определенное второе слагаемое Ег = —р 2 начнет подавлять первое слагаемое /г, так что квадратичная форма Пг превратится либо в неопределенную по знаку, либо в. отрицательно определенную. Тогда по признакам предыдущего пункта положение равновесия будет неустойчивым. Переход от устойчивости к неустойчивости, т. е. критическое состояние системы, соответствует тому уровню нагружения ) р = р, при котором квадратичная форма Пг утрачивает положительную определенность. Следовательно, при р = р можно указать такое откло- [c.385]

Устойчивость равновесия. Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия. Рассматриваемое положение равновесия может оказаться устойчивым или неустойчивым. О характере этого положения равновесия можно судить по тому, как ведет себя система вблизи положения равновесия. [c.552]

Переходим теперь к доказательству теоремы Лагранжа для системы с неполным числом условий. Для этого обнаружим сначала, что при равновесии такой системы непременно имеет место условие Лагранжа. Пусть система с неполным числом условий находится в равновесии. Мы можем прибавить к ней новые связи, не нарушая равновесия прибавляем их так, чтобы сделать ее системой с полным числом условий. Так как система и после прибавления новых связей будет находиться в равновесии, то, по доказанному о системе с полным числом условий, имеем [c.432]

В. В. Румянцев (1967) исследовал вопрос о применимости теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия к неголономным системам, рассмотрел обращение этой теоремы и изучил влияние диссипативных сил на устойчивость равновесия таких систем. [c.40]

Допустим, что в некотором открытом сосуде мы имеем тяжелую жидкость, и предположим, что в начальный момент времени, I = = О, жидкость находится в покое — в состоянии гидростатического равновесия. Горизонтальный, плоский уровень жидкости примем за плоскость хОу некоторой прямоугольной системы координат, ось Ог которой направляется нами вертикально вверх. Во всем дальнейшем, за немногими исключениями, мы будем считать жидкость однородной и несжимаемой. Предположим, что жидкость приведена мгновенно в движение путем приложения к ее частицам импульсивных давлений / (х, у, ). В согласии с основной теоремой гидродинамики, возникшее движение будет потенциальным в момент времени непосредственно после приложения импульсивных давлений, если жидкость однородная. Тогда, по теореме Лагранжа, и во все последующее время движение жидкости будет обладать потенциалом скоростей ф (х, у г ), который будет удовлетворять уравнению Лапласа [c.15]

Теорема о нижней оценке несущей способности. Пусть а , Vi — неизвестное нам истинное решение задачи о предельном состоянии тела, подверженного действию системы поверхностных сил Г(, jj —некоторое допустимое напряженное состояние, соответствующее поверхностным силам Т . Напомним, что для допустимого напряженного состояния выполняются уравнения равновесия и условие F a j) 0. Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа как для истинного, так и для допустимого состояния, принимая за поле виртуальных скоростей истинное поле скоростей (заранее неизвестное), [c.491]

Теорема Лагранжа о равновесии системы. Принцип возможных перемещений, предложенный Лагранжем, дает необходимые и достаточные условия равновесия системы материальных точек, стесненной идеальными связями, не зависящими явно от времени. Принцип этот заключается в том, что при равновесии системы материальных точек сумма работ всех сил, действующих на систему, на любом возможном перемещении неположительна и всегда равна нулю на всех неосвобождающих перемещениях системы. Впервые без доказательства принцип был сформулирован И. Бернулли в письме к Вариньону, который и поместил его в своей Nouvelle Me anique . Первое наглядное и достаточно общее доказательство, основанное на применении блоков, было предложено Лагранжем. Лагранж представил приложенные к системе силы в виде натяжений нитей, перекинутых через блоки и снабженных грузами. Приведем здесь другое аналитическое доказательство теоремы Лагранжа. [c.160]

Вследствие четности функции П (ф) она удовлетворяет также неравенству Я(-Дф) > Я (ф = 0). Следовательно, при ф = О функция Я (ф) имеет минимум. Таким образом, при ф = ф = 180 и ф = фз = 60° функция П (ф) имеет максимум, а при ф = фг = 112,89° и ф = ф4 = О — минимум. На основании теоремы Лагранжа — Дирихле при ф = ф2 и ф = ф4 система имеет положения устойчивого равновесия, а на основании теоремы Н. Г. Че-таева при Ф = Ф1 и ф = фз — положения неустойчивого равновесия. [c.311]

Таким образом, движение механической системы при минимуме потенциальной энергии в точке О будет происходить в области D. Следовательно, равновесие системы будет устойчивым и теорема Лагранжа— Дирихле доказана. [c.199]

Устойчивость равновесия системы. Теорема Лагранжа — Дирихле. Понятие о теоремах Ляпунова [c.336]

Теорема Лагранжа — Дирихле содержит утверждение об устойчивости равновесия системы в том ее положении, где потенциальная энергия задаваемых сил достигает минимума, но не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия в этом положении системы имеет максимум. Ответ на этот важный вопрос для весьма обширного класса случаев, практически вполне исчерпывающих мыслимые приложения, содержится в теоремах Ляпунова (1857—1918). Доказательство теорем Ляпунова не может быть здесь дано удовольствуемся их формулировкой ). [c.339]

В теореме Лагранжа—Дирихле ничего не говорится о том, что происходит в случае, когда данное условие не выполняется. Этот вопрос до сих пор полностью не решен. Частичное его решение дают Две теоремы А. М. Ляпунова, одну из которых для рассматриваемого нами случая (и только для него ) можно упрощенно сформулировать так положение равновесия системы неустойчиво, если в этом положении ее потенциальная энергия имеет максимум. [c.310]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы, если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия. [c.16]

Влияние гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия голономной системы. В п. 225 отмечалось, что при добавлении к консервативной голономной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы при наличии строгого локального минимума потенциальной энергии остается справедливой, т. е. устойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия системы остается устойчивым и при наличии гироскопических и диссипатипных сил. Это утверждение содержит только часть результатов, полученных Томсоном, Тэтом и Четаевым в задаче о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы. В данном параграфе рассмотрим другие теоремы Томсона-Тэта-Четаева. [c.535]

Теорема Лагранжа—Дирихле. Условие6П=Освидетельствует О стационарности П. В частности, П может иметь экстремум. Знак второй вариации позволяет судить о характере экстремума (максимум или минимум). В случае консервативной системы (на основании закона сохранения энергии) устойчивое равновесие, неустойчивое равновесие и безразличное равновесие имеют место соответственно при [c.487]

Условие бП = О позволяет выделить равновесное бостояние системы. Об устойчивости этого состояния можно судить с помощью теоремы Лагранжа — Дирихле. Если равновесное состояние устойчиво, то полная потенциальная энергия системы имеет минимум (6П=0, б П О), если неустойчиво — максимум (бП = О, 62П<0) безразличному равновесию соответствует постоянная величина энергии (бП = О, б П = 0). Здесь бП, б П — первая и вторая вариации полной энергии. Эта теорема впервые была сформулирована Лагранжем, доказательство ее для системы с конечным числом степеней свободы было дано Дирихле. [c.53]

Теорема Лагранжа —Дирихле дает только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы, но она не дает никаких оснований судить о том, будет ли равновесие устойчиво или неустойчиво, если в этом положении потенциальная энергия ле имеет минимума. Для одного частного случая ответ на этот [c.459]

Теорема Лагранжа-Дирихле. Достаточные условия устойчивости положения равновесия q = q = О системы (3.1.1) со стационарными связями сформулированы еще в XVIII столетии Лагранжем [Lagrange, 1788]. [c.168]

Мы подчеркивали, что теорема о равновесии для материальной системы (п. 3°, 1) доказана для общего случая материальной системы, имеющей любое число степеней свободы можно ли при этих же условиях считать справедливой и теорему Лагранжа — Дирихле До А. М. Ляпунова все авторы так и поступали — механически распространяли эту теорему, доказанную при конечном числе степеней свободы, на случай бесчисленного множества степеней свободы А. М. Ляпунов, рассматривая устойчивость равновесия твердого тела, плавающего в жидкости, писал по поводу этой теоремы ... мы считаем полезным привести самостоятельное доказательство ее, относящееся к этому случаю, ибо при общем доказательстве ее весьма важное значение имеет предположение, что потенциал зависит от конечного числа переменных, определяющих положение системы, чего не будет в случае, когда система состоит отчасти из жидкости ). [c.441]

Можно показать, что в положепии устойчивого равновесия потенциальная энергия системы имеет минимальное значение, т. е. вторая вариация О теорема Лагранжа Дирихле). [c.74]

При нек-рых ограничениях возможны более простые подходы. Исследование устойчивости равновесия упругих систем, загруженных потенциальными силами, может быть проведено энергетич. методом, основанном па теореме Лагранжа—Дирихле, согласно к-рой в ноложении устойчивого равновесия суммарная потенц. энергия упругой системы и внешних сил принимает минимальное значение, а в по-ло-кении неустойчивого равновесия — максимальное. Т. о., задача сводится к исследованию свойств функционала суммарной потенциальной энергии, что можпо заменить последовательным рассмотрением смены форм равновесия при и шенении параметров системы. В окрестности точки разветвления, наряду с исследуемой формой равновесия, существуют нек-рые смежные формы. При переходе через эту точку происходит потеря устойчивости. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Типичный пример — нрощелкивание топкой упругой оболочки, сжатой осевыми силами. Метод в теории У. у. с., основанный на рассмотрении точек разветвления и предельных точек, наз. статическим [I, 2]. [c.276]

Так как detP 7 О по предположению, то ж = О — единственное равновесие системы (9.1). Поскольку уравнения (9.1) линейны, то устойчивость состояния равновесия ж = О, ж = О эквивалентна условию ограниченности всех решений (9.1). Из интеграла (9.2) сразу же вытекает простая, но очень важная, теорема Лагранжа—Кельвина если потенциальная энергия V x) = (Рж,ж)/2 имеет минимум в точке ж = О, то это равновесие остается устойчивым после добавления любых гироскопических сил. Менее тривиальной является следующая теорема Кельвина если степень неустойчивости нечетна степень неустойчивости — это индекс квадратичной формы V), то гироскопическая стабилизация вообще невозможна. Обзор результатов по проблеме гироскопической стабилизации можно найти в работах [16, 27]. [c.96]

Знак постоянной с зависит от устойчивости положения равновесия, от которого ведется отсчет координатй д. Согласно теореме Лагранжа — Дирихле потенциальная энергия консервативной системы в положении устойчивого равновесия имеет минимум, т. е. П"(0)>0. Отсюда следует, что с > О вблизи устойчивого положения равновесия. [c.24]

Потенциальная энергия системы представляет собой однозначную непрерывную функцию координат q, имеющую непрерывные частные производные по всем координатам по меньшей мере до второго порядка включительно ). Опреде.чяется потенциальная энергия с точностью до постоянного слагаемого, которое можно выбрать так, чтобы в положении равновесия было t/ (О, О,..., 0) = 0. Следовательно, в некоторой конечной Д-окрестности положения равновесия потенциальная энергия будет положительной функцией координат q, возрастающей при удалении от положения равновесия (см. доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия). [c.447]

Примечание. Малые колебания система совершает около устойчивых положений равновесия. Достаточный признак устойчивости определяется теоремой Лагранжа-Дирихле положение д = О, А = l,2,...,w, будет устойчивым, если в этом положении потенциальная энергия имеет изолированный минимум. [c.313]

Динамический случай. Обращение теоремы Дирихле. Оставим пока общие рассуждения предыдущих пунктов, чтобы показать, как они связываются с задачей о малых колебаниях голономной системы около некоторой конфигурации устойчивого равновесия, изученной уже нами в 3 при помощи уравнений Лагранжа. [c.387]

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютоновского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой ] авновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены [c.32]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...