Лагранжева система общая

Лагранжева система общая 298 [c.428]

Гамильтона—Якоби, что, как мы знаем, позволяет определить общее решение уравнений движения (предыдущая глава, п. 35), квадратура выполняется. Мы отложим доказательство этого положения до п. 26, где речь будет идти о лагранжевых системах общего вида. [c.404]

Общие лагранжевы системы. С аналитической точки зрения форма (50) уравнений Лагранжа наводит на мысль рассматривать в виде естественного обобщения системы дифференциальных уравнений типа (50) в предположении, что 2 есть какая угодно функция от аргументов q, q м t. Эти системы обычно называются общими лагранжевыми системами. [c.296]

При распространении на случай общей лагранжевой системы гиростатическими называются те члены функции линейные относительно q, которые влияют на уравнения движения системы, но не входят в обобщенный интеграл энергии. Из сказанного вначале следует, что гиростатическими членами живой силы Т, наверное, будут члены, линейные относительно q во всех тех динамических задачах, в которых как Г, так и потенциал U не зависят от времени. [c.302]

Распространение вариационных принципов на общие лагранжевы системы [c.421]

Асинхронная вариация интеграла Гамильтона. Возвратимся к лагранжевой системе (31) общего типа. Выражение (33) вариации 5S относится к переходу от заданного естественного движения а к любому его синхронно-варьированному движению а , даже между различными конечными конфигурациями, если bq не предполагаются равными нулю при i = to и Мы увидим сейчас, какое при- [c.426]

Эта формула позволяет распространить принцип стационарного действия на общие лагранжевы системы (31) с не зависящим от времени кинетическим потенциалом. [c.432]

Мы рассмотрим здесь другие важные следствия, которые могут быть выведены из тех же тождеств (38), (46) в более общем случае, когда при варьировании допускаются произвольные перемещения также и для крайних конфигураций. Обращаясь к тождеству (38), заметим, что если принять в качестве естественного движения о движение, определяемое общим решением лагранжевой системы (31), и отказаться от всякого ограничительного предположения о перемещениях крайних конфигураций, то это тождество приведется к виду [c.436]

Для ЭТОЙ цели необходимо обратить внимание на некоторые соображения о функциональной природе интеграла S и прежде всего общего решения лагранжевой системы i). [c.437]

Следует заметить, что исторически указанный выше путь для вывода уравнений (50 ), (50") является в существенных чертах тем, которым Гамильтон пришел к установлению связи между задачей интегрирования уравнений динамики и задачей интегрирования уравнений в частных производных, показав, что если известна главная функция S ( 119°), то можно определить посредством одних только операций вида (50 ), (50") общее решение лагранжевой системы (31) или, лучше, соответствующей гамильтоновой системы (31 ), [c.440]

При этом предположении уравнение Ь Н = Ь Е, так как Ъ Н явно содержит bdt dU, не накладывает никаких ограничений ни на вариацию энергии, ни на 817, но определяет только посредством квадратуры вариацию ht, когда произвольно заданы S Е, вариации 8 (как функции от С) и, следовательно, кривая с , бесконечно близкая к траектории с решения о лагранжевой системы. Естественно, что при более общем предположении надо допустить, что при переходе от траектории с к произвольной бесконечно близкой кривой варьируются также и крайние конфигурации. [c.441]

Если к любому решению о лагранжевой системы (31) или соответствующей гамильтоновой системы (31 ) применим совершенно общую асинхронную вариацию (даже не изоэнергетическую и с произвольными перемещениями конечных конфигураций), то тождество (46) сведется к тождеству [c.441]

Применяя прямо равенство (45), мы увидим, что А будет зависеть от /q, и от 2 произвольных постоянных, которые входят в общий интеграл лагранжевой системы (31) или эквивалентной ей гамильтоновой системы (31 ) и которые мы можем отождествить с начальными значениями величин и р. Наоборот, аргументы входят в А только в виде бинома действительно, так как дифференциальные уравнения не зависят от t, то это переменное появится в решении а и, следовательно, в функции под знаком А только в виде бинома t — отсюда следует, что после выполнения интегрирования действие А будет зависеть только от ty — (но не от или /ц в отдельности). [c.442]

Соотношения (1.65) справедливы в общем случае только для компонент тензоров в лагранжевой системе координат (но не в системе отсчета). [c.43]

В общем случае введения лагранжевой системы криволинейных координат 0i в конфигурации Sq с базисом gi имеем [c.15]

Кроме лагранжевой системы координат, может быть введена система отсчета в общем случае с криволинейными координатами rf относительно которой рассматриваем движение частиц тела. Координаты, занимаемые частицей в каждом из состояний, обозначим [c.297]

Замечание. Конечно, цикличность в данном случае понимается не по Раусу, когда каждой циклической координате соответствует первый интеграл, в результате чего порядок общей лагранжевой системы понижается [150, 151]. Здесь [c.156]

Таким образом, в лагранжевой системе, в отличие от общей системы линейных дифференциальные уравнений, резонансные члены вида 1 (ot и т. п. не возникают даже в случае кратных собственных чисел. [c.96]

В случае идеальной жидкости имеется четыре общих краевых условия. Кинематическое, выражающее равенство нормальных составляющих скоростей тела и жидкости в точках поверхности контакта, и три динамических, выражающих равенство действующей со стороны жидкости силы возникающему в нем напряжению. При рассмотрении краевых условий предполагаем, что в недеформирован-ном состоянии лагранжева система координат в твердом теле совпадает с эйлеровой системой координат в жидкости [c.62]

Отнесем среду (тело) к неизменно связанной со средой системе лагранжевых, в общем случае криволинейных, координат где =1, 2, 3 положим, далее, что [c.15]

В следующей главе на примере сферического маятника мы убедимся, что величины Л можно толковать как реакции системы на воздействие (голономных и неголономных) связей . Там же мы увидим также, что фактическое определение величин Л должно производиться, исходя не из г произвольно выделенных уравнений, как это мы временно сделали при выводе уравнения (12.6), а из совокупности всех Зп уравнений Лагранжа. Нужно подчеркнуть, что метод лагранжевых множителей играет существенную роль не только для уравнений Лагранжа первого рода, но также и для уравнения значительно более общего типа (ср. гл. VI, 34) с другой стороны, этот метод встречается уже в элементарной теории максимумов и минимумов. [c.95]

Следовательно, речь идет о системе дифференциальных уравнений, общий интеграл которых зависит от 2л произвольных постоянных. Каждый из со " частных интегралов дает в лагранжевых координатах закон (т. I, гл. VI, п. 3) [c.290]

Общий интеграл в динамическом случае. Вернемся временно к общим рассуждениям п. 35. В особенно интересном случае, когда каноническая система, которую надо интегрировать, вытекает из динамической задачи о движении голономной системы, в которой параметры q являются лагранжевыми координатами, основной целью будет определение изменения координат q в функциях от / и постоянных интегрирования. [c.302]

Как и в общем случае, уравнения (74а), (746), конечно, будут разрешимы относительно q (в функциях от и от тг, Е, у, но здесь мы можем добавить, что при наличии t только в уравнениях (746) я—1 уравнений (74а), рассматриваемые отдельно, определят в изображающем пространстве лагранжевых координат q , q ,...,q траектории системы. Так как они тождественно удовлетворяют уравнению (72 ), не зависящему от t, то мы видим, что Е есть постоянная [c.304]

Геометрическая интерпретация принципа стационарного действия. Обратимся еще раз к голономной системе со связями, не зависящими от времени, для которой величины составляют систему независимых лагранжевых координат, и, как это уже не раз делалось нами ранее, представим оо конфигураций точками абстрактного пространства п измерений, в котором величины q истолковываются как самые общие координаты. В атом пространстве можно условно определить линейный элемент или элементарное расстояние ds между двумя любыми бесконечно близкими точками и [c.411]

Выбор лагранжевых координат ). До сих пор мы пользовались декартовыми координатами. В дальнейшем мы не будем себя связывать ограничениями в выборе системы координат и перейдем к координатам более общего типа. Введение таких координат может быть сопряжено с известными трудностями, однако это — трудности скорее алгебраического характера, чем динамического. Нужно отличать трудности, присущие самому изучаемому явлению, от трудностей, связанных с выбранной системой координат. [c.59]

В дальнейшем ( 5.7 и 5.8) будет указана формальная процедура перехода от декартовых координат к лагранжевым. Однако в ряде задач выбор лагранжевых координат напрашивается сам, и потому нет необходимости обращаться к формальным методам, развитым для общей механической системы. [c.59]

Обозначим общую величину этих отношений через 0 эта величина будет играть роль единственной лагранжевой координаты несвободной системы. Для такой системы будем иметь [c.158]

Вопрос об определении места вариационных принципов механики в системе физических знаний заключается, конечно, в первую очередь в форме выражения этого принципа. Однако указанный вопрос не исчерпывается этой формой. Обычное толкование принципа наименьшего действия состоит в том, что его широкое применение в физике основано на удобной форме. Ряд авторов стоит на той точке зрения, что содержание принципа Гамильтона тождественно с содержанием основных уравнений динамики. Так, например, Кирхгоф говорит Принцип Гамильтона, д алам-беровы и лагранжевы дифференциальные уравнения поэтому совершенно равнозначны ). Такая точка зрения господствует в научной литературе XIX в. Тем не менее, отождествление содержания принципа Гамильтона и уравнений динамики представляет собой положение недостаточно обоснованное., Методологической основой этой концепции является непонимание соотношения между формой и содержанием вообще. Тот факт, что как в механике, так и вне ее принцип Гамильтона применяется в одной и той же форме, еще недостаточен для того, чтобы сделать вывод о том, что содержание этого принципа в том и другом случае одно и то же. Принцип Гамильтона выражает некоторое свойство неорганической природы, общее ряду форм движения, и постольку он применим к механическому движению как частному случаю. [c.864]

Общая динамическая теория занимает любопытное положение в физике. Исторически она была создана и развилась в форме ньютоновой динамики частиц и твердых тел. Но мы чувствуем настоятельную необходимость дать ей более широкую область применения, рассматривая ее как последовательную математическую теорию, приложимую к любой физической системе, поведение которой можно выразить в лагранжевой или гамильтоновой форме. Здесь возникает соблазн рассматривать эту теорию как чистую математику. [c.199]

В момент i = О координаты твердой частицы и элемента жидкости совпадают. В момент 1 t частица оказывается в точке, характеризуемой смеш ением у1, и там она встречает элемент жидкости, имеющий лагранжеву скорость V (а, 1), а исходный элемент жидкости находится в положении Х1, обладая лагранжевой скоростью V (О, 1). Второй возможный вариант развития событий для рассматриваемой системы изображен на фиг. 2.15, б. В течение времени i 1 пути элемента жидкости и твердой частицы совпадают, но поле скоростей в окружающей жидкости не такое, как в случае (а). В положении у = у1 твердая частица встречается с элементом жидкости, имеющил скорость V (Ь, 1), в общем случае не равную V (а, t ). Это означает, что твердая частица встречается с элементохм жидкости, начальное положение которого иное, чем в случае (а). Осредняя по всем реализуемым ситуациям типа а, Ь, с,. .. (т. е. по начальным положениям элементов жидкости, оказывающихся в положении у1 в момент времени t ), получим осредненную скорость, приобретаемую твердой частицей, при условии, что существует некоторая заданная ф5шк-цпя — скорость жидкости в лагранжевой системе V (О, 1). Согласно [230], эта приобретенная скорость выражается математически как условное ожидание величины 11 (у, 1) при заданной V (0, 1) в положении х [c.69]

Таким образом, принцип Гамильтона распространяется на общие лагранжевы системы даже и по отношению к асинхронно-варьиро-ванным движениям, лишь бы они происходили между одними и теми же конфигурациями и за один и тот же промежуток времени. [c.428]

Существенной особенностью книги является использование наряду с прямоугольными декартовыми и общих криволинейных координат. Это связано с тем, что при изучении движения материальных сред необходимо пользоваться двумя системами координат системой координат наблюдателя и лагранжевой системой (сопутствующей системой координат), которая составляет единое целое с рассматриваемым телом, движется, деформируется вместе с ним и является поэтому криволинейной и кеортогональной. Изучение деформации тела по сути сводится К изучению деформации сопутствующей системы координат, что позволяет выявить историю деформирования частиц тела и проследить за изменением их механических и физико-химических свойств. Здесь уместно привести слова академика Л. И. Седова Некоторые думают, что механику подвижных непрерывных материальных сред без существенного ограничения общности можно строить при помощи только одной и притом декартовой системы координат. Эта точка зрения, отраженная в некоторых книгах и искренне внедряемая в сознание учащихся, неверна и мешает пониманию сущности механики и постановок ее задач [12, с. 493]. [c.5]

Движение преднапряженной упругой среды в общем случае описывается линеаризованными уравнениями движения (3.1.1) или (3.2.1) в зависимости от используемой системы координат. Далее, метод решения динамической задачи будем излагать на основе использования эйлеровой системы координат, связанной с начально-деформированным состоянием (идентификационные индексы опущены). Переход к лагранжевой системе координат не представляет принципиальных трудностей. [c.55]

Таким образом, в лагранжевой системе координат контравариантные компоненты вектора 0Х/01 равны материальным производным от контравариантных компонент А вектора А. В любой другой системе криволинейных координат компоненты производной Олдройда 0 /0( определяются на основании общих формул. [c.314]

Различные законы сохранения (импульса, момента и т. д.) являются частными случаяьш одной общей теоремы всякой однопараметрической группе диффеоморфизмов конфигурационного многообразия лагранжевой системы, сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл уравнений движения. [c.81]

Предлагаемая вниманию читателей книга известного французского ученого Ж. Можена являет собой яркий пример последовательного приложения всей мощи аппарата современной механики сплошных сред для построения и развития электродинамики твердых деформируемых тел. В настоящее время это самостоятельный предмет, в котором модельные представления охватывают большое число самых разнообразных природных явлений, широко используемых в науке и технике. Книга написана так, что все конкретные модели строятся в рамках единой общей схемы — на основе общих принципов механики и термодинамики. В то же время, поскольку изложение ведется в традиционном и не требующем специальной подготовки ньютоновском приближении, то читатель получает прекрасный рабочий инструмент, непосредственно применимый для решения конкретных практических задач. Большое внимание уделяется методам построения определяющих уравнений — специальных соотношений, вытекающих из законов сохранения и замыкающих систему уравнений. Отличительной особенностью книги является широкое использование лагранжевой системы координат. На основе развитой схемы представлены классические теории пьезоэлектричества и магнитоупругости, а также новые и, несомненно, более сложные теории упругих ферромагнитных тел, упругих ионных кристаллов, сегнетоэлектриков и керамик, построение которых потребовало введения новых параметров и новых феноменологических уравнений. [c.5]

В работе [Kalyanasundaran, 1984] исследовались нелинейные свойства волн Блёстейна—Гуляева за основу бралось представление функции для энергии в виде ряда (4.2.26) все уравнения записывались в лагранжевой системе координат. Учет нелинейностей производился методом возмущений установлено, что мода остается в основном типа SH, несмотря на общую взаимосвязь рассмотренной здесь компоненты перемещения с другими компонентами. [c.254]

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в —иу. Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными I/ и и, которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных у, и, pi, р , они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных m-ro порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным т — 1)-го порядка затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что под-интегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду. [c.200]

Вернемся теперь к общему случаю, т. е. к уравнениям (77). Имея в виду следствия, которые мы из них получим, рассмотрим ядесь наряду с состояниями движения, возможными для системы, также и ее виртуальные перемещения, лагранжевы составляющие которых 8 определяются, как мы знаем, из уравнений, получающихся из уравнений (76) путем отбрасывания в них (если свяви 21 [c.323]

Отсюда следует, что общие пара.метрические выражения 8 будут получаться из правых частей уравнений (77) путем отбрасывания в них, если они не равны нулю, величин и подстановки вместо кинематических характеристик стольких же бесконечно малых произвольньк параметров Таким образом, лагранжевы составляющие всех виртуальных перемещений системы, начиная с некоторого момента и любой конфигурации, будут определяться равенствами [c.324]

Дальнейшее применение теоремы взаимности (упражнение 24) можно сделать к голономным системам (п. 29). Если JJ и суть лагран-жевы составляющие двух различных систем импульсов, прямо приложенных к заданной голоиомной системе, и Д ,, Д , — изменения лагранжевых скоростей, вызванных ими, то (по общей теореме взаимности) будем иметь [c.528]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...