Принцип вариационный для упругих тел в равновесии

Вариационный принцип Следовательно, при равновесии в отсутствие массовых сил действительные перемещения W доставляют экстремум полной свободной энергии упругого тела по сравнению со всеми другими перемещениями W bw, удовлетворяющими условиям (9.6) и (9.7 ). Отметим и подчеркнем, что свободная энергия отдельных частей тела даже при выполнении этих специальных условий на 2 не достигает в равновесии экстремума. [c.391]

Принцип вариационный для упругих тел в равновесии 391 [c.565]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Вариационное уравнение Кастилиано основано на принципе минимума потенциальной энергии в случае упругого равновесия или на законе сохранения полной энергии тела при отсутствии возмущающих сил и сил сопротивления в случае движения [c.14]

В заключение покажем, каким образом уравнения равновесия слабо изогнутого стержня можно получить, исходя из вариационного принципа, используя выражение (18,10) для упругой энергии [c.114]

Таким образом, при заданной нагрузке на тело надо найти такие функции и, V, W, при которых выполняется условие бЭ = 0. Тем самым будут найдены истинные перемещения тела и решена задача теории упругости (в перемещениях). В этом и состоит вариационная формулировка задачи теории упругости с помощью принципа Лагранжа. Механически оно в интегральной форме выражает условия равновесия деформированного тела. [c.55]

Так как большинство приближенных методов решения различных задач теории упругости, пластичности и ползучести основывается на классическом вариационном принципе, согласно которому действительная форма равновесия тела отличается от всех возможных форм тем, что для нее полная энергия системы [c.58]

Вариационный принцип Лагранжа представляет собой прямой результат применения к упругому телу начала возможных перемещений. Пусть тело находится в равновесии под действием внешних сил Ft которые совер- [c.259]

Пусть деформируемое тело занимает объем V, ограниченный поверхностью S, причем в состоянии равновесия этот объем состоит из упругой Vi и пластической Уг частей, разделенных поверхностью 2. Тогда, при условии непрерывности на S компонент смещений, деформаций и напряжений, вариационный принцип теории малых упругопластических деформаций можно сформулировать в виде [202, 203] [c.220]

В первом разделе тома даются принципы и основные уравнения механики упругого деформируемого твердого тела теории деформаций и напряжений, дифференциальные уравнения равновесия, связь между компонентами напряжения и деформации, общие теоремы теории упругости и строительной механики, вариационные принципы и их использование для решения задач механики деформируемого твердого тела, методы конечных и граничных элементов. [c.16]

Обычно задачу о магистральных трещинах, развивающихся, в твердых телах, решают для прямолинейных трещин в предположении, что линия распространения трещины задана. Можно отказаться от этого ограничения, если рассматривать последовательность решений задачи теории упругости для одинаковых тел, каждое из которых содержит некоторый разрез (трещину), произвольной конфигурации. Эта последовательность составляет класс допустимых функций, из которых частное решение, отвечающее равновесию тела с трещиной, выбирается с помощью излагаемого здесь вариационного принципа. [c.31]

В гл. 1 и 2 книги мы будем рассматривать теорию упругости при малых перемещениях (геометрически линейную теорию упругости) и выведем принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы для задачи о статическом равновесии упругого тела, находящегося под действием массовых (объемных) сил, при заданных граничных условиях [1,2 ]. Для описания трехмерного пространства, в котором рассматривается тело, применяются ортогональные декартовы координаты (х, у, z). В геометрически линейной теории упругости компоненты перемещений и, V, W в точке тела считаются столь малыми, что уравнения задачи выполняются в линейном приближении. Запишем эти линеаризованные уравнения [c.23]

Находясь в рамках применимости линейной теории, можно сформулировать другой вариационный принцип, двойственный к вариационному принципу виртуальной работы для задачи теории упругости, поставленной в 1.1. Рассмотрим тело, находящееся в состоянии равновесия при заданных массовых силах и граничных условиях, и обозначим компоненты деформации и перемещений в этом теле через е .,. .., и и, v, w соответственно. Очевидно, что [c.34]

Чтобы избежать трудностей, связанных с выбором сдвиговых поправочных коэффициентов, Уитни [46] применил вариационный принцип Рейсснера [47] для вывода теории более высокого порядка, описывающей поведение однородных ортотропных балок. Соотношения для перемещения (96) и (98) были Использованы вместе со следующими заданными напряжениями, которые точно удовлетворяют уравнениям равновесия классической теории упругости [c.263]

В статье Изыскания о наибольших и наименьших значениях, обнаруживающихся при действии сил Эйлер рассмотрел с помощью методов вариационного исчисления различные задачи равновесия гибкой нити под действием каких-либо сил при различных условиях. Использовав при рассмотрении этих задач принцип наименьшего действия, Эйлер расширил сферу его применения, распространив его на упругие силы. [c.199]

Если отыскание точного решения задач о равновесии упругого тела встречает затруднения (а с такими случаями часто приходится встречаться на практике), можно для определения приближенных решений использовать вариационные методы, подробно изложенные в книге Л. С. Лейбензона [17] и в [18]. Основой этих методов являются принцип возможных перемещений и принцип наименьшей работы. [c.74]

Таким образом, используя изложенный выше вариационный принцип, мы приходим к уравнениям равновесия и граничным условиям, записанным непосредственно в перемещениях. Отсюда очевидно, что данный принцип заключает в себе, как следствие, соотношения между напряжениями и деформациями (9.2). Это закономерно, поскольку рассматриваемый вариационный принцип выбирает из всех мыслимых геометрически возможных перемещений и статически возможных напряжений только те, которые соответствуют равновесию упругого тела при заданных внешних силах и условиях закрепления. А эти последние перемещения и напряжения отличаются от всех прочих геометрически возможных перемещений и статически возможных напряжений именно тем, что они связаны между собою соотношениями (9.2), выражающими тот закон упругости, которому подчиняется материал тела. [c.136]

Другой возможный путь развития такой теории состоит р использовании кинематических гиротез для вывода уравнений равновесия в перемещениях и естественных граничных условий ц ним из вариационных принципов теории упругости [9]. [c.101]

При этом оказывается, что метод Ритца тесно связан с вариационным принципом Лагранжа и вытекает из него. Согласно принципу Лагранжа, если упругое тело находится в равновесии, то работа всех сил (внешних п внутренних) па любом возможном перемещении равна нулю [c.191]

Метод Ритца решения задач о равновесии упругого тела основан на использовании вариационного принципа (9.8) или, в более общей формулировке, непосредственно уравнения (9.4). Этот метод состоит в следующем. Ищем решение для перемещений в виде конечной или бесконечной суммы [c.392]

Основываясь на аналогии между уравнениями для упругого тела в состоянии равновесия и для вязкой ньютоновской жидкости в установившемся стоксовом течении, Хилл и Пауэр [16] вывели два экстремальных принципа. Стьюарт [28] обсудил эти взаимно дополняющие вариационные принципы и применил их к проблеме ламинарного течения в однородных каналах. Эти теоремы ограничивают диссипацию энергии в данной краевой задаче с обеих сторон, т. е. в интервале между верхним и нижним пределами, соответствующими произвольному выбору допустимых функций. Одна такая функция, которая доставляет верхний предел, определяется по теореме Гельмгольца. Для нижнего предела напряжения должны быть такими, как если бы они были результатом действия на тело конечной силы, или пары сил, или обоих факторов вместе. Многочисленные применения приведены в работе [16], включая случай поступательного движения сферы в неограниченной среде, где для иллюстрации показано, что справедливы неравенства [c.113]

Метод Ритца. Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления. [c.153]

Точно так же уравнения равновесия могут быть выведены из соотношения между энергией упругой деформации и совершаемой Нагрузками работой, задаваемого принципом виртуальных работ, путем применения вариационного исчисления. Это нетрудно сделать, когда можно воспользоваться простыми выражениями для энергии деформации, но это нелегко сделать с более сложными выражениями для энергии деформации, подобными тем, что выводятся из более точных общих соотношений между деформациями и перемещениями (см. главу 6) и которые включают в себя множество различных соотношений и л1ногочисленные промежуточные параметры. В любом случае представляется более естественным выводить уравнения равновесия так же, как будем делать и мы, непосредственно из физического смысла задачи в соответствии с простым законом равновесия. [c.25]

Ямамото И., Вариационные принципы равновесия упруго-пластического тела, Сб. перев. Механика , № 3, 1953. [c.319]

Вариационный принцип Хашина—Штрикмана является обобщением вариационного принципа Лагранжа. Он был разработан авторами для исследования неоднородных упругих материалов. Наряду с исследуемым (неоднородным) телом рассматривается некоторое однородное упругое тело (тело сравнения). На основе лагранжиана строится функционал, который имеет минимум в положении равновесия, если тензор модулей упругости исследуемого тела меньше тензора модулей упругости тела сравнения и имеет в положении равновесия максимум, если тензор модулей упругости больше тензора модулей упругости тела сравнения. (Слова меньше и больше понимаются здесь в смысле определений, данных в 1 гл. 1.) [c.57]

Отсутствие унифицированной гибкой модели для оценки упругого поведения многослойных композитов (скажем, со 100 слоями) не позволяет проанализировать виды разрушения в конструкциях из композитов. Глобальные модели, которые следуют из предполагаемого вида поля перемещений и приводят к определению эффективных модулей упругости слоистых композитов, недостаточно точны для расчета напряжений. С другой стороны, локальные модели, в которых каждый слой представляется в виде однородной анизотропной среды, становятся очень громоздкими, когда число слоев в композите достаточно велико, как было показано в предыдущем разделе. Самосогласованная модель Пэйгано и Сони [38] позволяет детально определить поведение материалов в локальной области, в то время как глобальная область представляется эффективными свойствами. В настоящем исследовании слоистый композит по толщине делится на две части. Для вывода определяющих уравнений равновесия используется вариационный принцип. Для глобальной области слоистого композита применен функционал потенциальной энергии, тогда как в локальной области использован функционал Рейсснера. [c.66]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Предварительно доказывается некоторый вариационный принцип. Предполагается, что дифференциальные уравнения и граничные условия задачи определяют состояние равновесия рассматриваемой упругой системы неединственным образом в решения входят некоторые постоянные параметры или функции независимых переменных задачи, остающиеся неопределенными. Рассматривается вариация поля смещений 5и1, соответствующая вариации множества неопределенных элементов. Используется принцип возможных перемещений [c.364]

При изложении основных уравнений теории упругости мы не останавливались иа вариационных принципах и основанных на них методах приближённого решения частных задач теории упругости. Эти методы получили применение к рассмотрению некоторых пространственных задач в работах М, М. Филоиенко-Бородича Задача о равновесии упругого параллелепипеда прн заданных нагрузках на его гранях (Прикл. матем. и мех. 15, №2, 1951). Две задачи о равновесии упругого параллелепипеда ) (там же, № 5, 1951), Некоторые обобщения задачи Ляме для упругого параллелепипеда (там же 17, № 4, 1953) и Г. С. Шапиро Некоторые задачи о деформациях стержней переменного сечения (там же 17, № 2, 1953). [c.70]

Стационарная задача о термоупругом равновесии полого цилиндра (в случае осевой симметрии) изучалась сперва П. М. Огибаловым (1954), а затем Ю. Н. Шевченко (1958), который учитывал изменение модуля упругости материала вдоль оси цилиндра. А. Н. Подгорный (1965) учел влияние торцов цилиндра, а также центробежных сил задача решена приближенно с использованием вариационного принципа Лаграннш. П. И. Ермаков (1961) и В. А. Шачнев (1962) рассматривали стационарную задачу термоупругости для сплошного цилиндра конечной длины при осесимметричной его деформации в первой из этих работ условия на торцах выполнялись приближенно, согласно методу Бидермана, а во второй — решение задачи сведено к решению интегро-дифференциального уравнения. Стационарная задача термоупругости для бесконечного цилиндра с несколькими полостями сформулирована А. С. Космодамианским (1962) — как температурное поле, так и термоупругое состояние определяются методом Бубнова — Галеркина. [c.21]

Задачи устойчивости типичны для тонких и тонкостенных тел. Решения этих задач для стержней, пластин и оболочек строятся обычно на основе приближенных уравнений, в которых используются некоторые кинематические и динамические гипотезы. Имеется несколько путей для получения этих уравнений. Первый, наиболее ранний способ состоит в непосредственном рассмотрении форм движения (равновесия), смежных с невозмущенным. При этом ищется некоторая приведенная нагрузка, которая вводится в уравнение невозмущенного движения. Все рассуждения носят наглядный характер однако в достаточно сложных задачах эта наглядность оказывается обманчивой. Другой путь состоит в использовании нелинейных уравнений соответствующих прикладных теорий. Линеаризуя последние в окрестности невозмущенного движения, получим искомые уравнения. В теории оболочек этот путь использовался X. М. Муштари (1939), Н. А. Алумяэ (1949), X. М. Муштари и К. 3. Галимовым (1957), Н. А. Кильчевским (1963), В. М. Даревским (1963) и другими авторами. Однако в нелинейной теории имеется еще меньше единства взглядов на то, как должны записываться основные уравнения. Следо вательно, идя по этому пути, мы лишь смещаем все трудности в другую, еще менее согласованную область. Третий путь состоит в использовании общих уравнений теории упругой устойчивости (В. В. Новожилов, 1940, 1948). Метод, основанный на соответствующем вариационном принципе, был применен [c.332]

Вариационный принцип Лагранжа можно трактовать как применение к упругому телу принципа возможных перемещений Д Аламбера (см. (2.210а), (2.2106)), согласно которому в положении равновесия работа всех сил, в том числе и внутренних, на возможных перемещениях равна нулю. В случае упругого тела с объемными силами рГ, поверхностными р , приложенными к поверхности 5и внутренними р имеем [c.448]

Метод Ритца. Метод Ритца представляет собой приближенный метод решения задачи о равновесии упругого тела и основан на использовании вариационного принципа. Он сводится к построению последовательности функций, минимизирующей функ- [c.451]

Здесь и в 17, 18 формулируются вариационные принципы нелинейной теории упругости. Доказывается, что уравнения равновесия и краевые условия на поверхности О тела в его актуальной конфигурации могут быть получены, как следствие этих формулировок. Вместе с тем ими подсказываются возможности применения прямых методов типа Ритца, Бубнова — Галер-кина и их видоизменения, предложенного Л. В. Канторовичем, к приблийсенному решению задач нелинейной теории упругости. [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...