Эффективные упругие модули

Цель настоящей вводной главы заключается в том, чтобы дать обзор некоторых из наиболее существенных черт микромеханики композиционной среды. В отличие от охватывающих обширную литературу обзоров [3, 5], в которых рассматриваются различные подходы к определению эффективных свойств неоднородных тел, основой нашего изложения является разъяснение понятия эффективных упругих модулей и использование этого понятия. Сравниваются физическое и математическое определения эффективных модулей и обсуждается роль таких модулей в исследовании слоистых композитов, широко применяемых в технике. В заключение излагается метод, позволяющий изучать неоднородные (линейно изменяющиеся) мембранные напряжения в слоистых композитах, [c.13]

Мы рассмотрели некоторые из основных принципов микромеханики, уделив особое внимание понятию эффективных упругих модулей и возможности их применения к изучению механического поведения слоистых композитов, армированных волокнами. Были приведены эвристические соображения в пользу эквивалентности различных математических определений эффективных модулей. Если физические измерения производятся на достаточно больших участках поверхности, то физическое и математическое определения также согласуются. [c.35]

В определении эффективных упругих модулей неявно предполагается существование макроскопически однородного напряженного состояния. Чтобы получить некоторое понятие [c.35]

A. Выражение эффективных упругих модулей через коэффициенты концентрации средних напряжений и деформаций......69 [c.61]

Б. Соотношения между эффективными упругими модулями. .. 70 [c.61]

Приближенные выражения для эффективных упругих модулей. . 77 [c.61]

Раздел VII содержит краткую информацию о других методах определения эффективных упругих модулей, в частности о методе длинных волн и о методе, использующем принятые в сопротивлении материалов приближения. [c.67]

Здесь эффективные упругие модули композита. Основ- [c.69]

Равенства (10) и (II) выражают эффективные упругие свойства композитов. Так как коэффициенты и не известны заранее, приведенные выше результаты имеют ограниченное практическое значение они дают эффективные упругие модули композитов лишь тогда, когда можно каким-либо способом оценить величины и Возможны различные аппроксимации коэффициентов концентрации средних напряжений, и деформаций простейшие из них приводятся в разд. III для. гранулированных и волокнистых композитов с изотропными фазами. [c.70]

С другой стороны, если известны эффективные упругие модули композита (например, из экспериментальных данных), то формулы (10) и (11) можно использовать для определения коэффициентов концентрации средних напряжений и деформаций в фазах. [c.70]

Как было показано выше, зная структуру композита, можно вывести универсальные соотношения между его эффективными упругими модулями. Следовательно, приняв некоторые ограниченные предположения относительно упругих свойств фаз, можно получить точные выражения эффективных упругих модулей. Например, предположение о том, что модули сдвига изотропных фаз композита равны между собой, приводит к точному выражению для модуля объемного сжатия такого материала. [c.72]

Кроме эффективных упругих модулей можно получить и простые аналитические решения для распределения напряжений в композите. В работе [137] приводится решение для волокнистых [c.72]

III. Приближенные выражения для эффективные упругих модулей [c.77]

Модели, предлагаемые для определения коэффициентов концентрации средних напряжений и деформаций, а следовательно, и эффективных модулей волокнистых композитов, по существу, таковы же, как для гранулированных композитов. Однако анализ таких композитов сложнее, ибо они имеют большее число эффективных упругих модулей (предполагается трансверсальная анизотропия). Поэтому здесь приводятся только окончательные результаты исследований. Ради удобства эффективные модули снабжаются индексами L и Т. Индекс L относится к модулю Юнга вдоль волокон, а индекс Т к модулю поперек волокон. Индексы модуля сдвига р, определяют плоскость, в которой происходит сдвиг. Например, — эффективный модуль сдвига для деформаций в плоскости, перпендикулярной волокнам. Величина отрицательное отношение поперечной деформации к продольной при растяжении в продольном (поперечном) направлении. (Некоторые авторы дают разные определения величины v. p, поэтому читателю надо быть осторожным.) Коэффициенты Пуассона модули Юнга связаны соотношением [c.79]

Как было показано выше, для эффективных упругих модулей можно получить различные оценки. Выбирать, очевидно, следует те, которые лучше согласуются с экспериментом. Однако из-за многочисленности оценок и значительного разброса экспериментальных данных выбор лучших из имеющихся оценок затруднителен. [c.81]

Предположим, что такой материал нагружен макроскопически однородным полем напряжений. Решения получающихся краевых задач теории упругости дают точные распределения напряжений и деформаций внутри композита. Это можно использовать для получения эффективных упругих модулей. Следует отметить, что это единственный метод, который позволяет найти действительные распределения напряжений внутри композита на микроскопическом уровне. [c.84]

Значения эффективных упругих модулей, полученные в. случае регулярной укладки, лежат несколько выше наиболее [c.85]

ТОЧНЫХ нижних границ, причем ближе всего к нижним границам они оказываются для гексагональной укладки. Учет этого обстоятельства и использование модели цилиндрического массива привели к заключению, что нижние границы дают наиболее точные значения большинства эффективных упругих модулей. [c.86]

Рассмотрим сначала какой-либо эффективный упругий модуль или податливость F композита, в котором общая деформация обусловлена, по существу, одной из фаз, т. е. будем считать все фазы, за исключением одной, абсолютно жесткими (исключения возможны для полостей). Предположим, далее, что эта одна фаза изотропна и имеет постоянный коэффициент Пуассона (если F зависит от него). На основании теории размерностей всегда можно записать [c.156]

Эффективные коэффициенты теплового расширения 45—46. 94, 95, 160 Эффективные определяющие уравнения слоистого композита 38 Эффективные упругие модули 15, 61—95 [c.556]

Большинство первых теоретических исследований композиционных материалов было направлено на определение эффективных упругих модулей как функции свойств составляющих материалов и геометрической упорядоченности композита. По исчерпании этой задачи возникла гораздо более трудная проблема изучения прочностных свойств. [c.268]

Рассмотрим, с чем может быть связано столь сильное изменение эффективных упругих модулей наноструктурной Си в результате отжига при температурах около 125°С и 175°С для двух исследованных типов Си соответственно. В первую очередь, следуя [228], обсудим три возможных механизма, вклад которых в изменение упругих модулей может быть оценен. Это, во-первых, влияние высоких внутренних напряжений, которые могут приводить к изменению эффективных упругих констант. Во-вторых, влияние решеточных дислокаций, которые, как известно, могут уменьшать упругие модули. В-третьих, возможный механизм ( это вклад в уменьшение модулей зернограничных атомов, поскольку упругие модули в границах зерен являются иными, чем в объеме материала. [c.172]

Упругие модули границы. Если предположить, что упругие модули границ (межзеренной области) отличаются от упругих модулей идеального кристалла, то эффективные модули поли-кристаллического материала будут комбинацией упругих модулей кристаллической матрицы и границ, и если объем, занимаемый границами, существен, то это может привести к заметному изменению эффективных модулей. Грубую оценку сверху для упругих модулей границ зерен можно получить, используя приближение Ройса [288], т. е. считая, что эффективные упругие модули М такого композита можно записать в виде [c.173]

Важно проследить влияние микроструктурных особенностей композита на его макроскопические свойства, поскольку именно они являются основными при определении пригодности материала для решения конкретных технических задач. С этой целью рассмотрим упругие свойства и, в частности, эффективные упругие модули. Выбор объясняется наличием достаточного количества экспериментальных данных, а также различных теоретических подходов к проблеме. [c.149]

Рис. 2.16. Эффективные упругие модули композита с ориентированными пластинчатыми порами, рассчитанные по формуле (2.273) для к = = 0,7 (кривые 1) и к = 1 (кривые 2) и по формулам (2.301) — кривые 3,

Утверждение 1 оказьшается полезным в задачах оптимизации конструкций по критериям жесткости (см. [9] и указанную там литературу), а также при изучении эффективных упругих модулей сред с множеством неоднородностей [184, 224, ПО]. [c.104]

Глава 1 служит введением к тому. В ней рассматриваются основные понятия микромеханики, дается определение эффективных модулей и изучается влияние количества волокон в толще одного слоя на эффективные свойства слоистого композита. В главе 2 Н. Дж. Пагано выводит точные выражения для эффективных модулей слоистых материалов. Далее он обсуждает переход от точных результатов к теории слоистых пластин и явление пограничного слоя у свободных поверхностей. Глава 3 представляет собой обзор различных подходов к вычислению эффективных упругих модулей композиционных материалов. Вязкоупругое поведение композитов обсуждается в главе 4. Кроме того, эта глава служит введением в теорию вязкоупругости. [c.11]

В разд. III приводятся различные аппр01ксимации эффективных упругих модулей. В частности, указаны эффективные упругие модули для следующих моделей композитов [c.66]

Следующая по сложности модель была рассмотрена Киль-чинским [98, 99], а также Хашином и Розеном [73]. Модель эта представляет собой волокно, содержащееся в цилиндрической матрице, которая в свою очередь находится в неограниченной среде, обладающей эффективными свойствами композита. Ха-шин и Розен сформулировали краевую задачу для определения эффективных упругих модулей, но не дали ее точного решения. Впоследствии Хашин [72] сообщил, что были найдены точные решения, однако не опубликовал их. [c.80]

Большинство работ в этой области основано на предположении о статистической независимости. При этом допущении корреляционные функции высших порядков можно выразить через простые усреднения модулей составных частей двухфазного тела. Так, например, для эффективных упругих модулей объемного сжатия и сдвига в двухфазных гранулированных композитах Ставров и др. [141] получили выражения в виде рядов, впоследствии просуммированных Сендецки [132] [c.89]

Кроме представленных выше приближенных методов определения эффективных упругих модулей композитов следует упомянуть еще два. Один из них — метод длинных волн, предложенный Беренсом [7—11], другой связан с приближениями, принимаемыми в сопротивлении материалов. [c.90]

Беренс на упрощенных моделях изучал распространение волн в композиционном материале и в однородных телах и сравнивал результаты наблюдений. Эффективные упругие модули получались при предельном переходе к волнам бесконечной длины, что соответствует статическому случаю. [c.90]

Оценки для эффективных упругих модулей композитов, армированных произвольно ориентированными короткими волокнами, были найдены в работах Нильсена и Чена [123] и Хал-пина и Пагано [62]. Для того чтобы получить выражение модуля Юнга для композита, армированного случайно ориентированными волокнами, Нильсен и Чен [123] осреднили значение модуля Юнга для композита с параллельными волокнами, определенное для произвольного направления, по всем возможным направлениям. Из-за громоздкости вычислений они не указали аналитического выражения для эффективного модуля Юнга, но представили обширные графические результаты. [c.92]

Как показывают приведенные выше результаты, существует много методов описания упругих свойств композиционных материалов. Наиболее глубокие из них основываются на вариационных теоремах упругости и точных выражениях, полученных в фундаментальном труде Хилла. Вариационный подход дает значения верхней и нижней границы для эффективных упругих модулей, так что все остальные оценки должны лежать между ними. [c.92]

Выражения (97) и (98) являются точными и зависят только от эффективных упругих модулей композита. Таким образом, задача нахождения эффективных коэффициенто-в теплового расширения KOMino3HTOB сводится к задаче оценки его эффективных модулей, которая является основной темой настоящей главы. Этим и объясняется незначительное количество публикаций, посвященных определению эффективных коэффициентов теплового расширения. [c.95]

В качестве примера трансверсально изотропной среды специального вида рассмотрим слоистую среду, состоящую из чередующихся плоских параллельных слоев двух однородных изотропных упругих материалов. Упругие постоянные й толщина высокомодульного армирующего материала и низкомодульной матрицы обозначаются через Xt, if, di и V, (Xm, dm соответ ственно (см. рис. 2). Согласно теории эффективных модулей, слоистая среда в целом является трансверсально изотропным материалом с осью в качестве оси симметрии следовательно, связь напряжений с деформациями можно описать уравнениями общего вида (12) — (17). Эффективные упругие модули Qi и т. д. были найдены в работах Ризниченко [57], Постма [56], Уайта и Ангона [79], Рытова [58] и Беренса [14] на основании [c.363]

Отжиг при относительно низких температурах приводит к трансформации зернограничной структуры, перестройке неравновесных границ в относительно равновесные благодаря аннигиляции неравновесных дефектов, что сопровождается релаксацией напряжений вдоль границ. Очевидно, что движение зернограничных дефектов в поле напряжений звуковой волны, их упругая релаксация приводят к дополнительной деформации и объясняют понижение эффективных упругих модулей. К сожалению, сейчас трудно конкретизировать природу этих зернограничных перестроек и необходимы дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования этого эффекта. Отметим, что аналогичные результаты, указывающие на изменения модулей упругости в ИПД Си и Си нанокомпозитах, были получены также в работах [290, 291]. [c.174]

Г№2Г,Г5Гб- , 1-Г2Г ГзФ. 0. (8) Здесь X можно рассматривать как эффективный упругий модуль анизотропной среды в заданном направлении. Решение уравнения (8) можно получить в тригонометрической форме. Из этого уравнения следует, что в кристаллах могут распространяться три объемные волиы с одинаковым направлением волнового вектора, но разными фазовыми скоростями. Поляризация этих волн определяется из уравнений (6) и в общем случае не является ни продольной, ни поперечной. Совершая в уравнении (8) предельный переход к изотропной среде, несложно показать, что скорость одной из волн совпадает со скоростью продольной волны, а двух других—со скоростью поперечной. Соответствующим образом, как следует из уравнения (6), ведут себя и поляризации. Поэтому "быструю" волну в кристаллах (имеющую максимальную фазовую скорость) принято называть квазипро-дольной, а две другие волны— квазипоперечными. Скорость и поляризация объемных волн в кристаллах согласно (8) и (6) от частоты не зависят, поэтому приведенное решение применимо и для негармонических воли. [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...