Уравнение вариационное в Кастилиано

Для вывода вариационного принципа Кастильяно, рассмотрим воображаемое напряженное состояние бац такое, что j = О, = О, xi е 5т. Значения, которые принимают величины 8ац на части поверхности 5ц, могут быть произвольны. Поскольку состояние 5ац удовлетворяет условиям равновесия, составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, приняв за виртуальные перемещения истинные перемещения щ ж соответствующие [c.259]

Вариационный принцип Кастильяно. Пусть и и е относятся к одному состоянию тела, т. е. известно решение (15.19) уравнений совместности деформаций Сен-Венана или, иначе, удовлетворены уравнения Коши, а вместо х, о и pv рассматриваются их вариации бх, бо и 6pv, которые считаем возможными, т. е. удовлетворяющими дифференциальными уравнениями равновесия в области и уравнениям равновесия элементарного тетраэдра на границе тела [c.520]

Вариационное. уравнение. Для случая двухслойного цилиндра вариационную формулу Кастильяно можно принять в виде [c.12]

Показано несоответствие некоторых общих решений уравнений равновесия вариационному принципу Кастильяно и выводимым из него определенным видам уравнений неразрывности. В этом плане следует подчеркнуть целесообразность проверки новых и известных старых дифференциальных формулировок на соответствие вариационным принципам. [c.10]

И Т. Д. ПО схеме (7.1) с учетом (1.6), (1.12), (1.23) и (1.29). При этом аналогия в вариационной форме имеет место между квадратичными частями двумерных интегралов, подобно тому как аналогия в дифференциальной форме существует между однородными частями дифференциальных уравнений. Входящие в функционалы Лагранжа и Кастильяно контурные интегралы оказываются полностью аналогичными, если между статическими и геометрическими граничными величинами установить соответствие [c.134]

В 1944 г. вариант теории пластин, в которой учитываются поперечные сдвиги, был предложен Э. Рейсснером [25]. Задав линейный закон изменения напряжений а, Оу, Хху по толщине пластины, получив затем из уравнений равновесия квадратичный закон изменения напряжений т г и Xyz и кубический закон для напряжений Сг, он выводит соотношения обобщенного закона Гука из вариационного принципа Кастилиано. В 1945 г. Э. Рейсснер [26] получил разрешающие уравнения уравнение для прогиба и для функции t]5, которая входит в формулы для перерезывающих сил. Через год [c.191]

Отметим, что из вариационного принципа Кастилиано не вытекает закон Гука (4.17), если задан какой-то определенный закон изменения напряжений по толщине. Для этого нужно дать полный произвол.в изменении напряжений, чего нет в рассматриваемой, теории. Однако с другой стороны, выполнение уравнений (4.17) нё противоречит уравнению Кастилиано. Оно лишь будет иметь упрощенный вид (4.21). .1 .. [c.193]

Располагая вариационными уравнениями Лагранжа и Кастильяно, можем теперь дать вариационную постановку задачи теории упругости если задача решается в п е р е м е -щ е н и я X, то требуется найти такие перемещения и, которые непрерывны внутри тела, удовлетворяют геометрическим граничным условиям и минимизируют полную потенциальную энергию системы V если задача решается в напряже-н и я X, то требуется найти такие напряжения а, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим граничным условиям и минимизируют полную дополнительную энергию системы У, [c.43]

Уравнение (2.418) обобщает известную вариационную формулу Кастилиано [23] роль плотности энергии деформации в формуле (2.4.8) играет плотность термодинамического потенциала Гиббса, взятая со знаком минус [62]. Если при вариации напряженного состояния выполняется условие о неизменяемости внешних поверхностных сил (5/ =0), то [c.45]

Приведенные в последних двух параграфах общие решения уравнений равновесия сами по себе не дают решения задачи теории упругости, так как содержащиеся в них функции напряжений должны быть определены из условий совместности деформаций (например, из уравнений Бельтрами в декартовых координатах) и условий на поверхности тела однако эти решения оказывают существенную пользу при вариационном методе решения задач, данном Кастильяно и изложенном в главе XI там они будут использованы. [c.250]

В зависимости от того, какая именно функция (г ) или Ф) принимается за основную, можно использовать методы, вытекающие из вариационной формулы Кастилиано или из вариационного уравнения Лагранжа (см. гл. 1, И). Укажем без вывода основные общие результаты ). [c.328]

В этом случае число неизвестных усилий / / на единицу больше числа уравнений статики. Это вынуждает использовать при решении задачи не только уравнения равновесия, но и вариационный принцип Кастильяно, соответствующий уравнениям неразрывности. [c.150]

Формулировка вариационного принципа зависит от того, какими величинами (функциями) характеризуется состояние деформированного тела. В принципе Лагранжа такими функциями служат перемещения li, а в принципе Кастильяно — напряжения ст. Именно эти принимаемые за основные функции подлежат варьированию (бесконечно малым изменениям) для того, чтобы получить вариационное уравнение. Все прочие функции считаются связанными с основными соответствующими зависимостями, приведенными в гл. 2. [c.67]

Рассматривая чисто упругую деформацию, мы придем таким образом к вариационному уравнению Кастильяно, которое в данном случае получит следующий вид [c.19]

Известны три вариационные принципа теории упругости. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип возможных перемещений) потенциальная энергия упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы перемещений, удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, принимает минимальное значение для системы перемещений, фактически реализуемой в упругом теле. Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно (понятие о дополнительной работе дано в конце этого параграфа) дополнительная работа упругого тела, рассматриваемая как функционал произвольной системы напряжений, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в упругом теле. Наконец, в вариационном принципе Рейсснера варьируются независимо друг от друга и перемещения, и тензор напряжений. [c.308]

Равенство (1.8) содержит шесть уравнений. При использовании общих решений (13) и (14), в которых участвуют по три компонента тензора функций напрян<ений, т. е. по три варьируемых функции, вариационное уравнение Кастильяно принимает вид [c.61]

Наличие аналогии между геометрическими и статическими уравнениями теории оболочек наводит на мысль о существовании аналогии между статическим вариационным принципом Лагранжа, в формулировке которого участвуют геометрические переменные и, е, (г, и геометрическим принципом Кастильяно со статическими переменными t ), М, Т. И действительно, такая аналогия имеет место между функционалами Лагранжа и Кастильяно, записанными в форме табл. 4.1 и [c.133]

Другой пример дают задачи расчета многосвязных оболочек, разобранные в гл. 5. Функционал Кастильяно для многосвязной оболочки при статических граничных условиях имеет в качестве одного из условий стационарности уравнения неразрывности контура отверстия-, его аналог — функционал Лагранжа — имеет в качестве условий стационарности уравнения равновесия контура отверстия, но для задачи с деформационными граничными условиями. Этот пример показывает, что вариационная форма статико-геометрической аналогии позволяет глубже увидеть связь уравнений и найти ее между соотношениями, которые раньше казались несвязанными. [c.135]

Вариационные уравнения, соответствующие функционалам, приведенным в гл. 3 и 4, можно вывести обычным путем по правилам вариационного исчисления. Левые части их имеют энергетическую структуру и выражают работу обобщенных сил на соответствующих возможных обобщенных перемещениях (для вариационного уравнения Лагранжа) или обобщенных перемещений (деформаций) на возможных обобщенных силах (для уравнения Кастильяно), или их комбинаций в полных и различных смешанных формах. При этом возможными называются обобщенные перемещения (силы), которые удовлетворяют дополнительным условиям, наложенным на них, следующим из дополнительных условий данного функцио- [c.142]

В этом смысле вариационному уравнению Лагранжа соответствует принцип возможных перемещений, уравнению Кастильяно — принцип возможных напряженных состояний, а полным и другим частным— различные общие и частные вариационные принципы (см. гл. 1, 2). [c.143]

С точки зрения приведенной теоремы сформулированная выше экстремальная задача (У.б) соответствует наиболее общему вариационному принципу теории трансверсально-изотропных оболочек. Поэтому из последнего как частные случаи должны следовать все другие вариационные уравнения. В частности, на базе (У.5) и (У.б) могут быть сформулированы классические вариационные принципы Лагранжа и Кастилиано. [c.82]

Естественно, что каждый из полученных таким образом вариационных принципов позволяет удовлетворить вариационным методом тем уравнениям теории оболочек, которые не были присоединены к (У.5) и (У.б) в качестве предварительных. Для принципа Лагранжа такими уравнениями являются условия равновесия и статические граничные условия, а для принципа Кастилиано — соотношения неразрывности деформаций (1.35). При использовании этих принципов перечисленные уравнения выполняются как бы автоматически и нет надобности удовлетворять им заранее. [c.91]

Таким образом, мы установили, что шесть тождественных соотношений Сен-Венана являются следствием вариационного уравнения Кастилиано (11.70). Это и должно было быть, так как статически возможное напряжённое состояние в теле отличается от того напряжённого состояния, которое имеет место при действительном равновесии, именно тем, кто при этом [c.326]

Так как контурные усилия Х йз, У,йз в данном случае не подвергаются вариации, то имеет место вариационное уравнение Кастилиано (11.66) [c.454]

Для упругой среды / = И и принцип минимума дополнитель- ой работы (4.36) переходит в принцип Кастильяно. Полученные вариационные уравнения [c.128]

Уравнения (2.7) называются уравнениями установившейся ползучести. По существу, это уравнения течения нелинейно вязкой жидкости. По форме они совершенно совпадают с уравнениями нелинейной теории упругости или деформационной теории пластичности. В предположении, что потенциал Ф — положительно-определенная и выпуклая функция своих аргументов, для установившейся ползучести доказана теорема единственности и формулируются вариационные принципы типа Лагранжа и Кастильяно. [c.125]

Вариационные методы для задач выпучивания. Рассмотрение задач устойчивости с помощью вариационных методов потребовало распространения этих методов на геометрически нелинейную теорию. Если принцип Лагранжа допускает естественное распространение на нелинейный случай, принцип Кастильяно в его обычной форме уже перестает быть применимым, поскольку уравнения равновесия содержат перемеще- [c.146]

Вариационное уравнение Кастильяно В главе IV было заказано, что трех дифференциальных уравнений [c.338]

Подставляя это в правую часть (11.48), получим вариационное уравнение Кастильяно [c.341]

Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает способ, преобразования системы уравнении. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э, Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано. [c.191]

В последующих работах М. М. Филоненко-Бородича косинус-биномы были им использованы для приближенного решения задачи об упругом равновесии прямоугольного параллелепипеда. Идея решения задачи состояла в разбиении тензора напряжений на две части основной тензор, удовлетворяющий уравнениям рановесия и условиям загружения граней параллелепипеда, и корректирующий тензор, построенный при помощи косинус-биномов и их производных. Последний тензор, удовлетворяя уравнениям равновесия и нулевым граничным условиям, содержит произвольные постоянные, определяемые вариационным методом Кастильяно. М. М. Филоненко-Бородич (1951) изучил задачу о сжатии параллелепипеда равными и противоположно направленными нагрузками и рассмотрел термоупругое равновесие параллелепипеда позже (1953) он распространил метод на случай цилиндрических координат ему же принадлежат соображения о выборе основного тензора для любым образом нагруженного параллелепипеда (1957). [c.24]

При постановке новых проблем исходным пунктом в большинстве случаев является начало возможных перемеш ений, приводяш ее к вариационной формуле Лагранжа для данного объекта. Если задачу целесообразно формулировать в перемещениях, то на этом функции вариационного исчисления при решении рассматриваемой задачи и кончаются. В нелинейной же теории оболочек самым распространенным вариантом являются уравнения типа Кармана, сформулированные в смешанной форме (через прогиб и функцию напряжения). Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес (хотя бы для нестрогого обоснования процедуры метода Бубнова — Галеркина). Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек (Н. А. Алумяэ, 1950 К. 3. Галимов, 1951, 1958). [c.235]

В примелении к расчету корпусных деталей машин при статическом нагружении на жесткость предпочтительней вариационное уравнение Лагранжа, так как основанные на нем приближенные решения получаются сразу в перемещениях. При использовании вариационного уравнения Кастилиано для случая статической нагрузки решение получается в напряжениях (усилиях) и поэтому широко применяется в расчетах на прочность. Ввиду того что напряжения и перемещения связаны между собой, например в форме обобщенного закона Гука, то в расчетах на прочность применимы уравнения Лагранжа и Кастилиано. Однако, учитывай важность расчета на жесткость корпусных деталей, отметим, что точность перемещений, полученных при помощи уравнения Кастилиано, будет меньшей, чем при помощи уравнения Лагранжа. Что касается расчетов при динамической нагрузке, то решение проще всего полу 1ать в перемещениях. [c.14]

На основ.а йи подробно изученного примера кручения тел видим, что прн аппроксимирующих функциях, заранее удовлетворяющих условию минимума потенциальной энергии тела или граничным условиям на поверхности его, можно получить не только уточненные решения, но даже точные в строгом смысле или в смысле Сен-Венана. Таким образом, подчиняя заранее аппроксимирующие функции условию равновесия внутри выбранного элемента, например на основании вариационного принципа Кастилиано, или граничным условиям на части поверхности тела согласно уравнениям равновесия на поверхности, мы можем резко уменьшить число аппроксимирующих функций, достигая при этом результатов с высокой степенью точности. Выбор аппроксимирующих функций из условия равновесия на поверхности, т. е. по способу Галеркина, можно рекомендовать для тел простой формы, особенно с постоянным поперечным сечением, что достигается с помощью криволинейных координат. Нахождение аппроксимирующих функций из условия минимума потенциальной энергии (В сечении тела, т. е. по способу Треффца, эффективно как для простых, так и для сложных по конфигурации тел. [c.58]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

Вариационные принципы типа Рейснера, Лагранжа и Кастиль-япо получаются отсюда совершенно так же, как в обычной теории упругости. При выводе уравнения Рейснера заметим, что вследствие (17.11.2) [c.604]

Равенства (16) и (17) показывают, что при использовании каждого из общих решений Максвелла или Морера условиями стационарности функционала Кастильяно являются различные системы из трех уравнений неразрывности и соответствующих деформационных граничных условий. Из функционала 5к1(ф) (табл. 3.2), в котором используется общее решение (1.7) с шестью функциями напряжений (оно имеет вид Максвелл + Морера ), следует шесть уравнений неразрывности с соо1ветствующими граничными условиями [5.3]. Использование других общих решений приводит к несоответствию между вариационной и дифференциальной формулировками задачи [5.3] этот вопрос нуждается в дальнейшем исследовании. [c.62]

Пример 3. Вариационное уравнение Кастилья-но теории оболочек в усилиях может быть получено из частного функционала Кастильяно Зкз(Л1,7) (табл. 4.2) [c.145]

Покажем, что соотношения неразрывности деформаций (1.35) являются следствием вариационного уравнения Кастилиано. В предположении, что обобщенные краевые усилия не меняются бN = = = 8N J — 8Мц = 8ЛI g = О ), задача сводится к нахожде- [c.87]

Если решать задачи упругого равновесия по методу Сен-Венана, задаваясь из механических соображений значениями компонентов напряжённого состояния и применяя уравнения упругого равновесия Коши (4.24) и статические граничные условия (11.43), то главная трудность будет состоять в удовлетворении шести тождественных соотношений Бельтрами (4.48) и (4.50). Но из теоремы Саутуэлла ( 122) вытекает, что тождественные соотношения Сен-Венана являются следствием вариационного уравнения Кастилиано (11.70) [c.445]

Таким образом, мы показали, что вариационное уравнение Кастилиано в приложении к плоской задаче приводит к бигар- [c.454]

Здесь П — дополнительная работа. В уравнениях (2.6) не обязательно предполагать упругую деформацию, линейно зависяш ую от напряжений. Более того, можно считать, что мгновенная деформация является упругопластической, подчиняюш ейся уравнениям теории деформационного типа. Можно показать (Л. М. Качанов, 1960), что для тела, находяш егося. в состоянии ползучести, из (2.6) следует вариационный принцип типа Кастильяно, заключающийся в том, что функционал [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...