УРАВНЕНИЯ - УСИЛИЯ линейные 1 — 332 — Система

Для всех типов оболочек, используемых в расчетной схеме поршней, могут быть составлены уравнения равновесия в виде системы из шести дифференциальных уравнений первого порядка относительно обобщенных перемещений и усилий. Эта система решается для каждой из оболочек, входящих в расчетную схему, при воздействии единичных краевых нагрузок (усилий и моментов на контурах сопряжения), а также при действии сил давления газов и неравномерного нагрева (по толщине и меридиану), но при отсутствии краевых нагрузок. В результате решения системы уравнений находят возникающие при этом линейные и угловые перемещения. Используя метод сил, исходя из условий сопряжения элементов расчетной схемы поршня между собой по равенству радиальных и осевых усилий, изгибающих моментов, а также линейных и угловых перемещений, составляют систему ли- [c.134]

Пренебрежение наличием р петли гистерезиса позволяет принять зависимость между упругими деформациями и усилием линейной и при анализе динамических процессов использовать линейные дифференциальные уравнения движения системы. [c.119]

Определив коэффициенты б, и свободные члены Д,я и Ait, из системы линейных уравнений (14.10) находим значения лишних неизвестных усилий Xi, Xj,. .., Х . Далее обычным способом строим эпюры внутренних усилий N, Q, М в элементах системы. Иногда строить эпюры удобно методом сложения эпюр Мр с эпюрами Ml, /Из,. ... Мп, предварительно умноженными на значения Xi, Хз..... Х [c.403]

Дальнейшие преобразования проводятся так же, как и в предыдущем примере аппроксимируется поле перемещений внутри Ti и вектор усилий t на границе дТi с помощью какого-либо набора функций, например полиномиальных, и далее составляется линейная алгебраическая система уравнений. [c.211]

При нагреве конструкции и шпилька, и трубка удлиняются, и если бы коэффициенты линейного расширения их материалов были одинаковы, то никаких температурных напряжений ни в шпильке, ни в трубке не возникло. Трубка при нагреве должна была бы удлиниться больше, чем шпилька (так как а >а ), но этому препятствует гайка, навернутая на шпильку. Таким образом, трубка давит на гайку, мешающую свободному температурному удлинению трубки, и тем самым вызывает растяжение шпильки. Сама трубка при этом оказывается сжатой. Усилия в произвольном поперечном сечении системы шпилька-трубка будут иметь направления, указанные на рис. 2-13,6. Уравнение равновесия сил, действующих на отсеченную часть, дает [c.38]

После того как в уравнении (2,4.1) удлинения будут заменены через усилия с помощью (2.4.2), остается система трех линейных уравнений для определения трех усилий Nt, N2 ж N3. [c.52]

В случае малости перемещений уравнения равновесия относительно внутренних усилий (Q ,. .., М ), в том числе в связях, могут быть составлены по недеформированной схеме, при этом они получаются линейными, и все системы могут быть разбиты на два класса статически определимые и статически неопределимые. В первом из них уравнений равновесия статики достаточно для определения всех неизвестных усилий. Во втором — этих уравнений меньше, чем неизвестных усилий. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. [c.87]

Здесь и ниже для простоты вместо термина расчетная схема системы используется термин система. Заметим, что если бы система не была геометрически линейной, то уравнения равновесия пришлось бы составлять для деформированной системы и, таким образом, находить усилия из одних уравнений статики не представилось бы возможным. [c.541]

Неизвестные метода. Покажем еще раз, что, зная линейные смещения и повороты концевых сечений стержня, можно полностью описать деформацию стержня, а следовательно, и распределение в нем усилий. На этот раз не будем ссылаться на систему уравнений (16.14) и граничные условия (16.16), и проанализируем непосредственно картину деформации. Для простоты остановимся на плоской рамной системе. Обобщение на произвольную пространственную систему почти очевидно. [c.583]

Во всех тех предыдущих разделах настоящего курса, в которых обсуждалось статическое внешнее воздействие на деформируемые системы и использовалась линейная постановка проблемы (линейные уравнения), мы обнаруживали единственное положение равновесия системы, испытавшей деформацию, и относящиеся к нему внутренние усилия. Этот факт находится в полном соответствии с теоремой о единственности ре-щения задачи линейной теории упругости (см. т. I, 9.5). [c.277]

В рассматриваемых задачах предельного упруго-пластического анализа роль ограничений-неравенств играет условие пластичности (2.22), а ограничений-уравнений — условия равновесия (записанные в виде системы алгебраических уравнений). В соответствии с требованиями линейного программирования те и другие должны быть линейными. Этому удовлетворяет критерий текучести Треска—Сен-Венана (2.7), а при решении задачи в обобщенных усилиях — кусочно-линейные поверхности текучести. [c.64]

Таким образом, приближенные соотношения между перемещениями и усилиями для разрывных сопряжений, переходящих при нагружении в геометрически нелинейное состояние, могут быть нелинейными в отличие от дополнительных линейных соотношений, приведенных в табл. 3.4. В этом случае система уравнений (3.1) для определения неизвестных разрывов перемещений и усилий также становится нелинейной [c.54]

Свободные члены этих уравнений R p,. .., являются усилиями от внешней нагрузки в связях, удерживающих систему от линейных смещений. Они определяются на основании уравнений статики, когда расчет системы с неподвижными узлами произведен. [c.20]

Проверку соответствия этого значения истинному проведем комбинированным способом. Неизвестными считаем линейные смещения в направлении удерживающих связей. Система обладает двумя независимыми смещениями, поэтому уравнение устойчивости принимает вид — г = 0. В этом уравнении г24 и 12 — усилия в удерживающих связях от единичных смещений в направлении этих связей. [c.300]

Задача о разложении вектора (силы) по шести заданным направлениям может быть решена способом моментов. Для этого за оси моментов принимают линии, пересекающие четыре заданных направления. В этом случае в уравнения равновесия будут входить лишь два усилия, направления которых не пересекаются с выбранной осью моментов. Проводя вторую ось моментов, пересекающую следующие четыре направления, будем иметь второе уравнение с двумя неизвестными. Чтобы провести ось, пересекающую четыре заданных прямых, целесообразно воспользоваться линейчатой поверхностью гиперболоида. Выше было указано, что любая ось, движущаяся по трем заданным прямым, не параллельным одной и той же плоскости, образует гиперболоид. Четвертая прямая из 6 заданных будет пересекать поверхность гиперболоида в двух точках. Очевидно будет и вторая образующая, которая пересечет остальные три прямые. Четвертая прямая в этой системе также пересечет гиперболоид в двух точках. Равенство моментов относительно указанных двух осей дает два линейных уравнения для определения усилий по двум остальным направлениям. Однако решение поставленной задачи этим способом в общем случае довольно сложное. [c.227]

Этот шаг предназначен для получения окончательных результатов расчета и их вывода на печать. В качестве результатов расчета в системе СПРИНТ приняты узловые перемеш,ения, определяемые из решения системы линейных уравнений (третий шаг), и вычисляемые на их основе узловые усилия (реакции) и напряжения в элементах. Направления перемеш,ений соответствуют степеням свободы узлов в общей системе координат, а направления усилий и напряжений — степеням свободы в местной системе рассматриваемого элемента. Для пластинчатых систем кроме нормальных и касательных напряжений вычисляются также главные напряжения и углы наклона главных площадок. [c.208]

При таком представлении в уравнении изогнутой оси балки на участке контакта ее с упругим основанием остаются две неизвестные постоянные у и фо, для определения которых имеется три граничных условия в точке нарушения контакта /, так как в первом из уравнений (2396) содержится фактически два уравнения. Это кажущееся несоответствие числа уравнений и неизвестных объясняется непостоянством самой длины контакта х , которая зависит от нагружающих усилий, действующих на систему, вернее от их соотношения. Подставляя общее решение (243) в граничные условия (2396), приходим к системе трех уравнений, линейных относительно неизвестных и фц, при которых коэффициенты являются сложными функциями от третьей неизвестной величины Xj. Решая совместно два из полученных уравнений относительно и фц, определяем эти величины как функции от нагружающих усилий, собственных жесткостных характеристик 46 [c.246]

Проведем решение для мембраны, защемленной по наружному контуру, без жесткого центра, постоянной глубины гофров (см. рис. 12.7, а). Полагая при малых прогибах функцию растягивающего усилия = О, получим из системы (12.4) линейное уравнение плоской анизотропной мембраны [c.261]

Если бы заранее было известно, в каких точках реализуется контакт, то определение контактных усилий свелось бы к решению системы линейных алгебраических уравнений, составляемой уравнениями (3.17). Потому, в принципе, задача (3.16) - (3.18) может быть решена перебором различных вариантов множества точек контакта. [c.155]

Исходная система уравнений, необходимых для определения продольных усилий и перемещений в ребрах и касательного усилия в пластине, дана в разд. 1.3, где содержится ее подробный, вывод. В частности пока-зано, что продольные усилия в ребрах и продольные перемещения в них могут быть выражены через функции напряжений Фь Фг,..., Фп, получаемых путем решений системы п линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1.23). Принципиальных трудностей в решении системы (1.23) нет. Однако в общем случае, когда жесткость всех ребер разная и участки пластины между ребрами различны, решение оказывается все же громоздким. [c.26]

Как было показано в разд. 1.3, система уравнений равновесия (1.12), а следовательно, и система (1.139), является линейно зависимой. Если, например, определить продольные усилия Nu N2,.... .., Л п из первых и уравнений равновесия (1.12), то продольное усилие Л п+1 будет линейно выражаться через п остальных продольных усилий по формуле [c.58]

Три типа реакций связи касательные усилия, нормальные усилия и изгибающие моменты. Эти реакции пропорциональны соответствующим (вводимым в виде пружин) жесткостям. Линейная зависимость для касательных усилий справедлива до момента проскальзывания трубок, затем усилия ие меняются. Зависимость для моментов дается ломаной линией с двумя линейными участками. После определения смещений и угла поворота каждой трубки от неизвестных реакций пакет разрезается нормальными к осям трубок плоскостями на слои. Для слоев записываются условия совместности деформаций по каждой трубке. Получается система алгебраических уравнений, решаемая итерационным методом. [c.391]

Линейная устойчивость. В упрощенные уравнения ползучести системы с одной степенью свободы входят величина параметра положения, код-орый будем называть перемещением у, величина обобщенного усилия р, соответствующего перемещению у, и первые производные от этих двух величин по времени. В случае линейной инвариантной во времени зависимости между этими величинами уравнение ползучести должно быть написано в виде [c.16]

Уравнения (5.1) и (5.4) представляют искомую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных сил Xj и усилий Заметим, что порядок этой системы всегда равен числу неизвестных. Поле напряжений и смещений в пластине легко определяется по найденным силам Xj с помощью формул Колосова — МусхелишвиЛи. [c.180]

Вернемся к общей системе (2.1.1), (3.2.8), (3.3.3) — (3.3.5) неклассических линеаризованных уравнений устойчивости многослойных тонкостенных оболочек. Эти уравнения позволяют учесть анизотропию деформативных свойств, низкую сдвиговую жесткость всех или части слоев, неоднородность распределения до-критических усилий в отсчетной поверхности, докритические перемещения и деформации и потому пригодны для анализа устойчивости широкого класса слоистых композитных оболочек при разнообразных условиях их закрепления и нагружения. К достоинствам этих уравнений следует отнести также и независимость их порядка и структуры от числа слоев оболочки и строения пакета слоев в целом, что упрощает постановку и исследование задачи устойчивости как задачи на собственные значения с линейной [c.64]

В безразмерной форме.) На рис. 3.9 показаны две численные аппроксимации аналитического решения для напряжения ty (х) под штампом. Результаты представлены в безразмерной форме, пригодной для произвольных G и Ь. Первая аппроксимация (рис. 3.9 (а)) была найдена путем разбиения штампа по ширине 2Ь на 10 граничных элементов вторая (рис. 3.9 (Ь)) была найдена путем разбиения на 20 элементов. Следовательно, эти аппроксимации включали решение системы соответственно 10 и 20 линейных уравнений. В обоих случаях численные результаты находятся в хорошем согласии с аналитическим решением, за исключением точек непосредственно у края штампа, где теоретически напряжение бесконечно. Однако на практике бесконечные напряжения не реализуются и численные решения, показанные на рисунке, можно считать хорошими приближениями к тем усилиям под штампом, которые возникают в реальности. [c.44]

В данной книге варианты метода граничных элементов разделены на три группы прямой, непрямой и разрывных смещений. В прямом варианте, называемом в книге прямым методом граничных уравнений (гл. 6), на границе непосредственно связываются механические величины — усилия и смещения. Часть этих величин (например, усилия) задана, а значения энергетически сопряженных переменных (в частности, смещений) определяются на элементах границы при решении системы линейных алгебраических уравнений, отвечающей приближенно граничному интегральному уравнению. Последнее, как упоминалось, не всегда или не сразу [c.272]

Пусть Q — точка, где напряжения терпят разрыв в силу разрывности внешней нормали (см. рис. 19). Рассмотрим эту точку как двойную — t W. Q", принадлежащую одновременно двум сегментам слева (индекс л ) и справа (индекс п ). Тогда имеют место две внешние нормали га-" и га" и соответственно два вектора усилий f, связанный с га , и f, связанный с га". Совершенно очевидно, что граничные уравнения из системы для и Q" идентичны в силу их двойственности. Это приводит к вырожденной системе разрешающих линейных алгебраических уравнений. Поэтому необходимо введение добавочных уравнений, по два на каждую двойную точку в плоской задаче. [c.72]

Линейно и нелинейно деформируемые упругие системы. Совершенно упругие тела делятся на два класса линейно деформируемые и нелинейно деформируемые. У линейно деформируемых систем зависимость между внешними нагрузками и перемещениями (дефор.маииями, напряжениями, внутренними усилиями) линейна. Для линейно деформируемых систем все основные уравнения равновесия совместности деформации и физические, составленные для рассматриваемой конструкции,- линейные. [c.41]

Связь нелинейных колебаний с самоорганизующимися процессами объясняется тем, что самоорганизующимися считаются любые автоколебательные процессы, обусловленные образованием устойчивых незатухающих колебаний независимо от начальных условий. В линейной области колебания всегда носят хаотический характер, а в нелинейной возможны автоколебания (упорядоченные колебания). Автоколебания отвечают условию, при котором отклик системы на внешнее воздействие не пропорционален воздействующему усилию. Эта ситуация математически описываегся одними и теми же нелинейными уравнениями независимо от среды и условий, при которых возникают автоколебания [ 13]. [c.253]

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тонких плит (пластин) в общем случае связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (16.40), в которых усилия и моменты для линейно-упругих материалов с характеристиками деформации связаны соотношениями (16.26). Де- рмации, в свою очередь, выражаются через перемещения по формулам (16.14) в декартовых осях и по формулам (16.15) в полярных оординатах. Эта задача представляет большие математические трудности, и поэтому целесообразно классифицировать задачи, с тем чтобы выделить из них те случаи, которые дают возможность применительно к разным конкретным условиям получить более простые уравнения, поддающиеся решению относительно простыми средст-<вами. [c.389]

В том случаг, если необходимо определить усилия в стержнях системы от различных загружений, целесообразно решить систему уравнений относительно неизвестных только один раз в общем виде. Решая систему канонических уравнений относ1ггельно Х , Xj, Х3 и Х4 в общем виде, мы тем самым выражаем каждое из них в виде линейной функции от свободных членов. Решения эти могут быть представлены в таком виде [c.344]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Сопоставляя формулы (1.52) и (1.66), можно прийти к выводу, что метод сил является менее алгоритмичным, чем метод перемеш,е-ний. При использовании метода перемеш,ений решают систему линейных уравнений с размерами 6р X 6р. Матрица системы уравнений при этом симметрична и положительно определенна. При использовании метода сил сначала следует рассчитать основную систему, для чего надо решить систему уравнений с матрицей [Aq, имеюш,ую размеры 6р X 6р. Матрица А(,] несимметрична. Далее решаем систему канонических уравнений, число которых равно степени статической неопределимости (6s—6р). При ручном счете метод перемещ,ений с учетом продольных деформаций стержней практически не используют из-за большого числа неизвестных и требований, предъявляемых к точности вычислений. В то же время метод сил находит широкое распространение при расчете стержневых систем, вследствие того, что при ручном счете легко определить усилия в основной статически определимой системе. [c.44]

Рассмотренная схема расчета достаточно просто обобщается на многоузловые системы. В этом случае необходимо составить уравнения равновесия для всех узлов конструкции, образовав систему линейных уравнений. Эта система содержит пц уравнений, где пц — число неизвестных усилий, равное числу стержней в системе. [c.70]

Система линейных уравнений (8.15.4) решается путем сведения к системе рекуррентных алгебраических уравнений с заменой ин-тиралов суммами в соответствии с одной из квадратурных формул или с методом Крылова-Боголюбова [20]. Усилия в стержнях определяются исходя из решений для упругих систем с использованием принципа Вольтерры. [c.112]

Озможных линейно независимых полей деформаций в конструкции, а значит, и число линейно независимых полей смещений ее точек (число степеней свободы деформируемой конструкции). Таким образом, размерность т равна числу обобщенных перемещений, с помощью которых может быть определено любое деформированное состояние конструкции. А отсюда следует (согласно принципу возможных перемещений [41 1), что число независимых уравнений равновесия для нее также равно т. Так, например, рассмотренная выше простейшая система (см. рис. 7.1) имеет п = 2 (число стержней), k = 1 (степень статической неопределимости), откуда т = 2 — 1 = 1. Это означает, что деформация определяется одним обобщенным перемещением — поворотом жесткого бруса соответственно для определения усилий в стержнях имеется лишь одно уравнение равновесия —сумма моментов вокруг жестко закрепленной точки бруса. В другой, несколько более сложной ферме (рис. 7.4) имеем /г = 9, /г = 2, /п = 9 —2 = 7. Соответственно — семь обобщенных перемещений (по две проекции для перемещений каждого из незакрепленных узлов и одна для узла, направление возможного перемещения которого определено), столько же независимых внешних нагрузок (вариантов нагружения) и независимых условий равновесия. [c.150]

Итак, для определения 5то искомых постоянных получена система 5шо линейных алгебраических уравнений (6.7). Поскольку Vo является квадратичной формой от компонент деформации, то Ат,. . зависит от постоянных k. .6k линейно. Свойство линейности алгебраических систем в результате применения вариацион ных уравнений является общим для линейной теории упругости Задача, таким образом, может считаться решенной, так как имея значения для постоянных, тем самым найдем смещения (6.1) а по ним — компоненты деформации и усилия-моменты. [c.78]

Таким образом, для расчета составного стержня из трех брусьев с помощью линейных преобразований (4) и (5) вводятся такие обобщашые неизвестные силы и нагрузки, при которых основная система дифференциальных уравнений распадается на два независимых уравнения, и задача (в случае однотипных граничных условий) сводится к расчету двух составных стержней, каждый с одним обобщенным швом , по которому действуют усилия или Tz в частном случае симметрично составленного стержня эти два расчета соответствуют случаям симметришюй и антисимметричной работы стержня. [c.54]

В главе дается краткое изложение предложенной автором [74, 75] общей нелинейной теории тонких упругих оболочек, предназначенной, главным образом, для расчета оболочек из эластомеров (резипоподобных материалов). Отметим три характерные особенности предложенного варианта теории. Прежде всего используется уточненная геометрическая гипотеза Кирхгофа, позволяющая, без повышения порядка разрешающей системы уравнений, учесть существенное для оболочек из эластомеров деформационное утонение оболочки. Далее, применение двойного тензора напряжений позволяет одновременно использовать преимущества материальных координат как в недеформированной, так и в деформированной конфигурациях оболочки. Наконец, принятие линейного закона распределения напряжений по толщине позволило значительно упростить связь между усилиями — моментами и компонентами деформации срединной поверхности оболочки. [c.101]

В шестой главе рассматриваются слоистые цилиндрические оболочки. Замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающая в линейном приближении процесс деформирования слоистой упругой ортотропной композитной цилиндрической оболочки, получена из общей системы и использована при исследовании осесимметричного изгиба оболочки, нагруженной равномерно распределенным внутренним давлением. Выполнен параметрический анализ влияния поперечных сдвигов на интегральные (прогибы, усилия, моменты) и локальные (нагрузки начального разрушения) характеристики напряженно-деформирован-ного состояния. На примере этой задачи исследована зависимость решения от функционального параметра /(z) и показано, что в большинстве практически важных случаев этот параметр можно принять соответствующим квадратичной зависимости сдвиговых поперечных напряжений от нормальной координаты. В параграфе 6.4 дано решение задачи об устойчивости цилиндрической многослойной оболочки, нагруженной внешним давлением. Эта задача рассмотрена как на основе разработанных в настоящей монографии уравнений, так и на основе других вариантов уравнений устойчивости, приведенных в третьей ее главе. Выполнен параметрический анализ полученных решений, что позволило выявить и оценить влияние поперечных сдвиговых деформаций, обжатия нормали, кинематической неоднородности, моментности основного равновесного состояния на критические параметры устойчивости. [c.14]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

К малому провисанию / иити в точке приложения к ней силы Р удлинение нити является величиной второго порядка малости. Для определения усилий в таких системах в принципе необходимо рассматривать равновесие в де рмированном их состоянии. Задача становится геометрически нелинейной. Поэтому совершенно очевидно, что говорить о линейности зависимости перемещения / течки приложения силы или удлинения 26 нити от силы Р недопустимо. В связи с геометрической нелинейностью системы она статически неопределима и наряду с уравнением равновесия приходится использовать уравнение совместности деформаций. Зависимость Р от f имеет вид [c.573]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...