Уравнения совместности деформаций и равновесия

Ранее были получены уравнения совместности деформаций и равновесия гибких пластин в смешанной форме (уравнения (6.19) Кармана). Искомыми функциями координат точек при решении задачи изгиба пластин являлись функции прогиба IV и напряжений ф. [c.134]

Подставляя это выражение, а также полученные выше формулы для А/з и А/4 в уравнение совместности деформаций и объединяя результат с уравнениями равновесия, после преобразований, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно усилий [c.57]

Задача теории упругости может быть поставлена не только в перемеш ениях, но и в напряжениях. Это бывает удобно, когда на границе тела заданы нагрузки. Если за искомые неизвестные функции принять компоненты тензора напряжений, то из уравнений совместности деформаций и дифференциальных уравнений равновесия при Fi = О следуют уравнения Бельтрами-Мичелла [c.36]

Рассмотрим упругопластическое тело, находяш ееся под воздействием массовых сил pFi и поверхностных нагрузок / . Для решения задач теории малых упругопластических деформаций, то есть для определения неизвестных функций перемещений, деформаций и напряжений щ, aij, Sij] i,j — 1,2,3), имеются уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения совместности деформаций и граничные условия [c.43]

Объединяя уравнения равновесия с уравнением совместности деформаций и подставляя числовые значения, получаем систему уравнений [c.40]

Для равновесия деформируемого тела кроме уравнений статики должны удовлетворяться дополнительные уравнения совместности. деформаций элементов системы. Общее число уравнений статики и уравнений деформации должно быть равно числу искомых величин. Методику решения статически неопределенных задач рассмотрим на простых примерах. [c.124]

Для тех задач, в которых на всей граничной поверхности известны поверхностные силы (2.88), с помощью дифференциальных уравнений равновесия (2.85) и закона Гука (6.4) уравнения совместности деформаций выразим через напряжения [c.118]

Если перемещения и, ь, ш определены или заданы, то предполагается непрерывность деформаций и, следовательно, уравнения совместности деформаций оказываются удовлетворенными. Остается удовлетворить уравнения равновесия. Эти уравнения выражают через перемещения. Возьмем для этого первое уравнение равновесия (1.8) [c.21]

Перемещения (и деформации) срединной поверхности пластины и и о выражаются через компонент перемещения ш, который должен быть задан и определен так, чтобы описывающая его функция была непрерывной. В этом случае все перемещения будут известными, уравнения совместности деформаций удовлетворены. Необходимо выполнить и условия равновесия (1.8). Два первых уравнения равновесия удовлетворены надлежащим выбором компонентов напряжений Ххг и Туг в 1У.4. Удовлетворим третье уравнение (1.8) [c.65]

Уравнения равновесия, совместности деформаций и граничные условия при изгибе пластины поперечной нагрузкой Р будут удовлетворены, если при решении задачи будет выбрана функция прогибов срединной поверхности пластины т в соответствии с уравнением (1У.21) [c.66]

Подставляя напряжения в уравнения равновесия (б) (при X = У = 0), а деформации — в уравнение совместности деформаций (2.21), видим, что они выполняются. На гранях ML и ON ввиду равенства Оу = Ру равновесие также соблюдается во всех точках. Следовательно, напряжения равновесны, а деформации совместны и им отвечает непрерывное поле перемещений, которое найдем путем интегрирования уравнений Коши (2.14), которые в данном случае получат вид [c.42]

Рассмотрим теперь решение в напряжениях для изотропного материала. В этом случае за основные неизвестные функции принимаются три напряжения Ох = (о,, //) Оу = Оу (х, у) и х = х х, у), а в качестве разрешающих уравнений имеем два уравнения равновесия (4.3) и уравнение совместности деформаций (4.6) [c.76]

Два уравнения относительно а, V следуют из уравнения совместности деформаций в срединной поверхности оболочки и уравнения равновесия (7.44). Опуская все промежуточные выкладки, запишем эти уравнения в окончательном виде [c.223]

Таким образом, из изложенного следует, что уравнения равновесия, уравнения совместности деформаций в напряжениях для плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния совпадают между собой (в последнем случае понимаются усредненные значения напряжений). Такую же структуру (отличающуюся лишь постоянными) имеют и соотношения, связывающие деформации и напряжения. Следовательно, эти задачи в математическом отношении аналогичны друг другу. [c.277]

Таким образом, любая функция, определенная в области, занимаемой сечением упругого тела, и имеющая вторые производные, определяет посредством (4,20) поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям равновесия. Остается обратиться к уравнению совместности деформаций в напряжениях (4.7). Используя (4.20), приходим к уравнению [c.278]

Исследование проведем сразу на примере смешанной задачи (т. е. будем исходить из условий (1.2)). Рассмотрим множество тензоров, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и первому из условий (1.2). Обозначим это множество через /( ). Образуем теперь множество Кг тензоров, удовлетворяющих уравнениям совместности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами — Митчелла) ( 4 гл. И), причем соответствующие смещения должны удовлетворять первому из условий (1.2). [c.626]

Таким образом, решение задачи для физически нелинейной упругой среды сводится к решению уравнений равновесия (4.4) гл. III и уравнений совместности деформаций (4.6) гл. III с учетом соотношений (4). Очевидно, что рассмотрение задач плоской деформации и плоского напряженного состояния (как и для линейной среды) можно проводить единым образом, поскольку различие сказывается лишь на значениях постоянных. [c.668]

Решение в напряжениях строится на базе уравнений равновесия (19.3), записанных в напряжениях а ., Оу, х, , и уравнения совместности деформаций (19.4), в котором деформации согласно соотношениям упругости (19.12) заменяются напряжениями. Поступая аналогично случаю плоской деформации и подобным же образом исключая смешанную производную т х и у функции т ., получим уравнение [c.443]

Уравнения (3.2) заменяют уравнения совместности деформаций Сен-Венана. Решение задачи теории упругости в напряжениях сводится, таким образом, к интегрированию системы девяти уравнений — шести уравнений Бельтрами — Митчелла и трех уравнений равновесия Навье (1.16). Найденные функции напряжений должны удовлетворять систе- [c.55]

Выражения (4.32) для нормальных и касательных напряжений характеризуют напряженное состояние треугольной подпорной стенки. Отметим, что полученное решение является точным решением, так как оно удовлетворяет всем уравнениям равновесия как внутри, так и на границах тела и уравнениям совместности деформаций. [c.83]

Если задача о напряженном и деформированном состоянии пологой оболочки решается в перемещениях, то необходимо отыскать такие функции перемещений и, и, ш, которые бы удовлетворяли уравнениям равновесия (9.62)—(9.64) и заданным граничным условиям, В этом случае не приходится заботиться об удовлетворении уравнений совместности деформаций — они будут удовлетворяться тождественно. [c.257]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Так как имеется три неизвестных усилия iVi, Л/j и Л/з в вертикальных стержнях, а для системы параллельно направленных сил в плоскости можно составить два независимых уравнения равновесия, конструкция один раз статически неопределима. Следовательно, к уравнениям равновесия необходимо присоединить одно уравнение совместности деформаций. [c.217]

Из трех дифференциальных уравнений равновесия (уравнений статики) найти шесть неизвестных функций не представляется возможным. Имея в виду, что системы, в которых усилия или напряжения не могут быть найдены нз одних уравнений статики, называются статически неопределимыми, приходим к выводу, что напряжения в сплошной среде (за исключением так называемых простейших задач, о которых говорится в главе IX) статически неопределимы. Для выяснения картины распределения напряжений в теле приходится кроме уравнений статики использовать и так называемые уравнения совместности деформаций (см. гл. VI). Граничными условиями для функций, входящих в уравнения (5.59), являются (5.4), если при этом иметь в виду, что наклоненная грань тетраэдра [c.411]

Второй путь решения прямой задачи состоит в том, что в качестве основных неизвестных функций принимаются три функции и, и и ш, для чего применяется система уравнений равновесия, выраженных через перемеш,ения. Поскольку при использовании такого пути решения в первую очередь находятся перемещения (решение в пере-меш,ениях), отпадает необходимость в решении системы уравнений Коши, а уравнения совместности деформаций Сен-Венана превращаются в тождества относительно перемещений, поскольку непрерывным функциям и, V и W соответствуют всегда совместные деформации. [c.617]

Вывод уравнений совместности деформаций, выраженных через напряжения, используемых в первом пути решения задачи теории упругости, и уравнений равновесия, выраженных через перемещения, приводится ниже. [c.617]

В случае изгиба гибких пластин их поведение описывается двз мя уравнениями — совместности деформаций и равновесия (6.19). При этом возможно применение метода Бубнова — Галеркина либо по способу П. Ф. Паиковича, либо по способу В. 3. Власова. [c.201]

Обсуждение статической неопределимости закона распределения напряжений по поперечному сечению стержня показало, что при наличии в стержне отверстий, выточек и тому подобных нерегулярностей формы возникает резкая неравномерность распределения напряжений со значительными пиками вблизи указанных нерегулярностей. Это явление носит па. атптконцгнтрации напряжений. Оно обнаруживается не только при осевой, но и при всех других видах деформации стержня, а-также при деформации элементов любой формы (не только стержневых). С этим явлением приходится считаться как при конструировании элементов конструкций и деталей машин, так и при расчете их. Выявить распределение напряжений с учетом их концентрации можно двумя путями теоретическим и экспериментальным. Теоретический путь основан на применении теории сплошных сред (теории упругости, теории пластичности, теории ползучести — в зависимости от свойств материала), в которой вместо гипотез геометрического характера используются дифференциальные уравнения совместности деформаций, а равновесие соблюдается для любого бесконечного малого элемента тела, а не в интегральном (по поперечному сечению) смысле, как это делается в сопротивлении материалов. [c.99]

Удовлетворяя уравнению совместности деформаций и трем-уравнениям равновесия, приходим к системе двух дифференциальных уравнений относительно функций усилий у] = rHIEh и изменения угла наклона меридиана 3, аналогичных уравнениям Рейс-снера [4] [c.147]

При решепии задач теории пластического течения справедливы уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнения совместности деформаций и граничные условия [c.173]

Для того Чтобы иметь возможность обе системы уравнений (уравнения совместности деформаций и уравнения равновесия) использовать совместно с целью раскрытия статической неопределимости, необходимо установить зависимости, связывающие параметры деформации, с одной стороны, и погонные усилия и моменты — с другой. Пользуясь этими зависимостями (физическими уравнениями), можно обе системы выразитв через одни и,те же неизвестные функции, что позюляет разрешить проблему. [c.107]

Б2сли принять объемные силы g = on.st или равными нулю и соответствующим образом использовать при указанных преобразованиях уравнения равновесия, то шесть уравнений совместности деформаций, выраженные через напряжения, приводятся к виду [c.45]

Уравнение совместности деформаций в срединной поверхности (7.9) и уравнение равновесия (7.15), запиС1 нные для пологой оболочки в предположении малости прогибов [c.281]

Изучению напряжений, деформаций и перемещений в пластически деформируемых телах посвящен раздел механики деформируемого твердого тела, называемый теорией пластичности [10, 12, 13, 18, 36]. Теория пластичиости решает глав1гым обра юм те же задачи, что и линейная теория упругости, но для материалов с другими физическими свойствами. Поэтому между указанными теориями имеется много общего, в частности общими оказываьзтся уравнения равновесия, зависимости между перемещениями и деформациями, уравнения совместности деформаций. Только вместо закона Гука, используемого в линейной теории упругости, в теории пластичности применяются другие физические соотношения. [c.293]

Пусть на бесконечную плоскость действуют заданные объемные силы p/ i(J i, Х2 , pF2(xi, Х2) и при Xi, 2 00 проекции вектора перемещения и компоненты тензора напряжений стремятся к нулю. Определим для случая плоской деформации напряженное состоя-иие. Умножим уравнения равновесия (6.5) и уравнение совместности деформаций (б.П) на ядро Фурье ехр + и проинте- [c.164]

Установим дифференциальные зависимости Коши, дифференциальные уравнения равновесия и уравнения совместности деформаций в рассматриваемой системе крнввлинейных координат. [c.367]

Перейдем к детальному исследованию постановок статических задач теории упругости. В этом случае требуется выполнение уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций в напряжениях или уравнений Ламе. Если в уравнениях равновесия присутствуют массовые силы (что приводит к появ- [c.245]

Сделаем теперь несколько иное предположение и будем считать, что напряжения = Тхг = Хуг = о, а напряжения а, Оу, Ог не зависят от z. В этом случае также выполняются уравнения равновесия (4.4) и остается обратиться к уравнениям совместности деформаций. Приведем лишь те из них, которые не удовлетворяются авто.матически [c.274]

Эта система двух уравнений в частных производных содержит две искомые функции и х, у), v (х, у), для решения которой необходимо поставить соответствующие постановке конкретной задачи краевые условия. Такой путь решения называется реишнием в перемещениях. Другой путь решения, когда искомыми являются усилия Nx, Ny, Nxtj, называется решением в усилиях и состоит в следующем. Два уравнения равновесия (17.23) содержат три искомые функции Nx, Ny, Nxy, поэтому система уравнений (17.23) дополняется еще одним — уравнением совместности деформации. Исключим из линеаризованных выражений для деформации (16.14) функ- [c.411]

Сравнивая начало возможных перемещений Лагранжа и начало виртуальных изменений напряженного состояния упругого тела Кастильяио, следует отметить, что первое заменяет собой уравнения равновесия (внутри тела и на его границах), а второе — уравнения совместности деформаций. [c.49]

При решении задач теории упругости в напря5кениях необходимо отыскивать такие функции напряжений, которые бы не только удовлетворяли уравнениям равновесия (уравнениям Навье), статическим граничным условиям, но также и условиям совместности деформаций. В связи с этим уравнения совместности деформаций Сеп-Венана необходимо представить в напряясениях. [c.55]

Гибкие пластины небольшого прогиба. Теория изгиба гибких пластин небольшого прогиба была предложена Сен-Веианом. Особенность этой теории состоит в том, что предполагается действие больших усилий N1, Ny, Т в срединной поверхности, настолько больших, что при составлении уравнения равновесия составляющими на иаправле-ипе оси 2 от этих усилий пренебрегать нельзя. В то же время, поскольку прогибы пластины и искривления срединной поверхности считаются малыми, то правой частью в уравнении совместности деформаций можно пренебречь, [c.129]

В первом случае задаются только видом аппроксимирующей функции прогиба ш, удовлетворяющей соответствуго-пдим граничным условиям, а функцию напряжений ср определяют интегрированием дифференциального уравнения совместности деформаций (6.19). Затем найденную функцию ф II выбранную функцию ю подставляют в уравнение равновесия и к нему уже применяют процедуру Бубнова — Галеркина, которая была описана выше. [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...