Механические системы линейные Уравнения

О линейных гамильтоновых системах дифференциальных уравнений. Пусть в системе (1) функция Гамильтона не зависит от времени и система допускает решение, для которого величины qi pi i = 1, 2,..., п) постоянны. Это решение отвечает положению равновесия механической системы, имеющей уравнения движения (1). [c.394]

До определенного предела механических напряжений в упругом теле имеет место следующий закон компоненты механического напряжения в любой точке твердого тела могут быть выражены через компоненты деформации в данной точке с помощью системы линейных уравнений. Это так называемый обобщенный закон Гука. Математически он выражается в следующем виде [c.253]

Уравнение (38.9) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэ ициентами поэтому колебания механической системы, описываемые уравнением (38.9), называют линейными. Кроме того, уравнение ( .9) является однородным колебания системы, описываемые однородными уравнениями, называют собственными или свободными колебаниями. [c.216]

При этом значения неизвестных оказываются в интервале [0,99—1,101]. Этот простейший пример позволяет сделать некоторые наблюдения, главным из которых является следующее решение алгебраической системы линейных уравнений, к которой функциональное уравнение канонического типа сводится применением формул механических квадратур, достаточно хорошо аппроксимирует решение функционального уравнения, и степень приближения зависит, при данном числе узлов для данной формулы квадратур, от рационального выбора расположения вспомогательных точек. [c.368]

Механизмы, подверженные колебаниям, можно моделировать механической системой с конечным числом степеней свободы, движение которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода. Предположение о малости колебаний приводит к линейным динамическим системам с постоянными коэффициентами. Эти уравнения интегрируются в общем )зиде, что позволяет полностью исследовать явления, которые они описывают. [c.200]

Система s уравнений (134.14) описывает малые движения механической системы и представляет собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Изучение этих уравнений представляет исследование линейных динамических систем. [c.208]

Механические системы, для которых квадратичные выражения для кинетической и потенциальной энергий (57) и (60), являются точными без отбрасывания членов более высокого порядка, называются линейными. Для линейных систем дифференциальные уравнения (63) являются точными, а не приближенными, как в случае малых колебаний. Математическая теория малых колебаний не отличается от теории линейных колебаний. Но линейные колебания могут быть не обязательно малыми. [c.435]

Именно, если имеется некоторая механическая система, движение которой сопровождается диссипацией энергии, то движение может быть описано посредством обычных уравнений движения, в которых надо только к действующим на систему силам добавить диссипативные силы или силы трения, являющиеся линейными функциями скоростей. Эти силы могут быть представлены в виде производных по скоростям от некоторой квадратичной функции скоростей, называемой диссипативной функцией R. Сила трения /а, соответствующая какой-нибудь из обобщенных координат qa системы, имеет тогда вид [c.178]

Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108]

Колебательные движения механических систем описываются уравнениями движения, линейными и нелинейными. В первом случае система называется линейной, во втором — нелинейной. [c.98]

Для простоты вначале рассмотрим перекрестные явления в случае, когда имеются только два сопряженных процесса — механический и химический (отсутствует адсорбция). В этом случае система линейных феноменологических уравнений имеет вид [c.133]

При равенстве частот а и сос в механической системе возникает резонанс — происходит рост амплитуд обобщенных координат. Всего возникает k резонансов. Каждый из k динамических коэффициентов имеет к областей возрастания значений р/. Если исследуются колебания системы без учета сопротивления, то наступлению резонанса соответствует обращение в нуль знаменателя в формуле для р и неограниченный рост амплитуд обобщенных координат. Выше уже пояснялось, почему на самом деле рост амплитуд ограничен (неправомочность линейных уравнений и необходимость использования нелинейных уравнений, решение которых не растет неограниченно. К тому же к ограниченному росту амплитуд обобщенных координат в резонансных областях приводит и наличие сопротивлений, что обнаруживается при применении и линейной теории). [c.143]

Во многих практически важных случаях цепная механическая система машинного агрегата является простой и разомкнутой (см. рис. 26, а и рис. 95, а). Система линейных интегро-дифферен-циальных уравнений (10.1) описывает динамические процессы в машинном агрегате при заданных внешних воздействиях. [c.346]

Если механическая система, действие которой на рассматриваемый редуктор отражено моментами и М , является линейной, то частные решения системы уравнений (2.1) при исследовании свободных и вынужденных колебаний можно искать в виде [c.32]

Пусть механической системе, влияние которой на рассматриваемый редуктор отображено вектор-функцией внешних сил Qg, соответствует линейная динамическая модель. Тогда частные решения системы уравнений (2.135) имеют вид [7] [c.80]

Вынужденными колебаниями схематизированной механической системы называют процессы, описывающие поведение этой системы при действии на нее внешних сил, являющихся заданными функциями времени. При схематизации механической системы в виде линеаризованной неконсервативной динамической модели исследование ее вынужденных колебаний заключается в отыскании общих решений неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений [c.165]

Составляющие системы уравнений (6.8) М — массу механической системы, приведенную к нагнетательному трубопроводу, и All, М2 — приведенные массы упругих звеньев (жидкости в нагнетательном и сливном трубопроводе длиной Zj и /3 находят из условия сохранения кинетической энергии системы, принимая линейное изменение скорости по длине [c.157]

Обычный метод разыскания возможных границ области устойчивости установившегося движения некоей механической системы (произвольное движение которой, мало отклоняющееся от исследуемого, описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами) заключается в построении так называемого D-разбиения в пространстве параметров [24]. [c.104]

Гидромеханический преобразователь преобразует мощность = Qp расхода Q жидкости при перепаде давления р в мощность Л/,п = Pv= М(Л механического движения и деформирования с линейной V или угловой со скоростью и обобщенной силой Р или М активного элемента механической системы машины. Структура гидромеханического преобразователя представляет собой четырехполюсник, связь между входными и выходными параметрами которого определяется по уравнениям [c.254]

Дифференциальные уравнения движения расчетной модели любой механической системы (конструкции, сооружения и т. д.) можно получить на основании общих методов аналитической динамики. Для математического описания расчетной модели можно также использовать принцип Даламбера и методы обобщенных координат. Независимо от выбора метода составления дифференциальных уравнений движения системы их анализ зависит главным образом от выбора математической модели данной системы, которая может быть линейной, нелинейной, с постоянной и переменной структурой. [c.6]

Дифференциальное уравнение свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы при нелинейной характеристике восстанавливающей силы составляется аналогично уравнению (И.1), но вместо линейной восстанавливающей силы в него нужно ввести нелинейную силу, конкретное выражение которой определяется упругой характеристикой системы Р (х) [c.71]

Подставляя выражение (14) в краевые условия (10) правого конца х — I), получаем систему двух линейных алгебраических уравнений для определения постоянных величин А и В. Определитель этой системы дает характеристическое уравнение для нахождения собственных частот исходной механической системы в линейном случае (с = 0). [c.203]

Линейные колебания механической системы описывают системой дифференциальных уравнений вида [c.134]

Определение структуры и значений параметров системы, при которых ее движение устойчиво. Для решения задач о колебаниях и устойчивости движения механических систем с большим успехом применяют аналоговые вычислительные машины (АВМ). Особенно просто решаются с помощью этих машин системы линейных дифференциальных уравнений вида х = Ах. Если движение неустойчиво, то решения неограниченно возрастают. Для получения решения в этом случае сделаем замену [c.398]

Уравиеиия свободных колебаний. В большинстве практических случаев колебания исследуемой реальной механической системы близки к колебаниям некоторой идеализированной линейной системы с эквивалентным вязким трением. Исключение представляют специальные случаи, когда реальная конструкция содержит элементы с резко выраженными нелинейными свойствами. Их следует рассматривать отдельно. Целесообразен подход к реальной распределенной конструкции как к идеализированной системе, с конечным числом степеней свободы, имеющей определенные собственные характеристики, которыми с достаточной точностью определяют колебания исследуемой конструкции, поскольку практически исследуют ограниченное число собственных тонов. Таким образом, если принять характер демпфирования вязким (силы трения пропорциональны скорости), то предметом рассмотрения является линейная система с п степенями свободы, дифференциальное уравнение движения которой можно представить в следующем виде [c.330]

Примеры математических моделей. I Вынужденные колебания линейной механической системы с одной степенью свободы описываются дифференциальным уравнением [c.361]

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат i/y (I) (/ = 1, 2,. .., а) (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий. [c.135]

Твердое тело, находящееся в потенциальном поле сил, давно служит в качестве динамической модели или расчетной схемы при изучении динамики самых разнообразных объектов техники (спутников, гироскопических систем, систем виброзащиты, управления и т. д.). На начальном этапе многие задачи о колебаниях тел рассматривались на базе хорошо разработанного аппарата теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Однако представления линейной теории о колебаниях твердых тел не всегда могут соответствовать действительности, поскольку колебания твердых тел в пространстве описываются системой дифференциальных уравнений, которые содержат различные нелинейные связи между обобщенными координатами системы, отражающие действие сил различной природы, например инерционных, потенциальных, диссипативных и т. д. Наличие таких нелинейных связей при выполнении определенных условий создает предпосылки для радикального перераспределения энергии колебаний между обобщенными координатами механической системы. В этом случае динамическое поведение твердых тел может резко отличаться от того, которое ожидается согласно известным линейным представлениям, т. е. колебания тел могут иметь совершенно разные качественные и количественные закономерности в зависимости от того, имеется ли существенное перераспределение энергии или нет. Оказывается, что для указанного перераспределения необходимо наличие в системе определенных нелинейных резонансных условий [3, 4, 14]. [c.264]

Пример 1. Возьмем уравнение линейной автономной механической системы с л степенями свободы [c.456]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Теорема 4.5.5. Процедура расширения пространства (q) конечна. Если она заканчивается, когда число линейно независимых операторов равно л 4- 1, то в системе дифференциальных связей го-лономные связи отсутствуют. Если число линейно независимых операторов, полученных процедурой расгиирения, меньше чем гг -Ь 1, то соответствующая всем этим операторам пфаффова система вполне интегрируема, а ее уравнения образуют го.лономные связи рассматриваемой механической системы. [c.330]

Резюме. Возможность введения произвольных координатных систем и инвариантность уравнений механики относительно преобразований координат тесно связывают аналитическую механику с идеями и методами римановой геометрии. Движение произвольной механической системы мол<ет рассматриваться как движение свободной частицы в соответствующем п-мерном пространстве с определенной римановой структурой. Кинетическая энергия системы определяет ри-манов линейный элемент пространства конфигураций. [c.46]

В большинстве случаев механические системы машинных агрегатов при анализе их динамических характеристик в линейном нриблин ении рассматриваются как многомерные динамические системы с линейными голономными связями стационарного типа [25]. Уравнения движения таких систем можно получить при помощи дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода. Однако в общем случае при рассмотрении несвободных динамических систем построение кинетического потенциала системы сопряжено с громоздкими, трудно обозримыми процедурами нсклю-чения избыточных координат. [c.171]

Система дифференциальных уравнений (1.17) описывает в координатах фр ф движение цепной двухмассбвой динамической схемы (рис. 6, г). Рассмотренный пример показывает, что идентификация цепной динамической схемы механической системы может быть неоднозначна. Структура цепной динамической схемы зависит от выбора независимых обобщенных координат и может быть упрощена при помощи линейных преобразований координат. [c.18]

Поэтому, казалось бы, естественно поставить задачу виброакустической диагностики прямозубой передачи как задачу разделения виброакустического сигнала на ряд компонент, обусловленных различными факторами, каждый из которых является самостоятельным источником виброакустической активности. Конечно, такое разделение без всяких оговорок возможно-лишь в том случае, когда зубчатая передача может рассматриваться как линейная механическая система с постоянными параметрами [6—8]. При этом1 различным факторам, обусловливающим виброакустичность, соответствуют различные по структуре правые части системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающих колебания передачи. Однако если необходимо учесть периодическое изменение жесткости зацепления в процессе пересопряжения зубьев (чередование интервалов однопарного и двупарного зацепления), то математическая модель передачи описывается системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [9—12]. Здесь уже принцип суперпозиции действует только при условии, что жесткость зацепления как функция времени не зависит от вида правых частей уравнений. Даже при этом условии можно разделить те факторы возбуждения вибраций, которые определяют правые части системы уравнений при известном законе изменения жесткости, но нельзя выделить составляющую виброакустического сигнала, обусловленную переменной жесткостью зацепления. Наконец, учет нелинейностей приводит к принципиальной невозможности непосредственного разложения виброакустического сигнала на сумму составляющих, порожденных различными факторами. Тем не менее оценить влияние каждого из этих факторов на вибро-акустический сигнал и выделить основные причины интенсивной вибрации можно и в нелинейной системе. Для этого следует подробно изучить поведение характеристик виброакустического сигнала при изменении каждого из порождающих вибрации факторов, причем для более полного описания каж- [c.44]

В системе уравнений (8.42), (8.44) диссипация энергии учтена по гипотезе Рэлея. Аналогичный результат можно получить, если рассеяние энергии учитывать по гипотезе Кельвина—Фойгта. Учтем рассеяние энергии по гипотезе Е. С. Сорокина. Примем предпосылку, которая принимается при построении таких моделей [54] логарифмический декремент колебаний всех тел механической системы постоянный. Тогда [ ] = onst и [Ц/)] = onst, см. выражение (8.33). Линейная модель пространственных коле- [c.347]

При действии внешнего возмущения по одной оси, колебания рассматриваемого в примере здания являются плоскопараллельными в вертикальной плоскости Охо2Хоа- Возникновение вращательных колебаний здания относительно оси 1хц объясняется не только за счет влияния нелинейных перекрестных связей в математической модели (8.55). Вращательные колебания здания возникают также за счет асимметрии расположения упругих связей в механической системе центры масс здания и жесткостей упругих связей (колонн первого этажа) по вертикали не совпадают (рис. 107). Асимметрия расположения упругих связей в механической системе приводит к тому, что даже в линейной постановке задачи уравнения, описывающие поступательные колебания по направлению оси 0x 2 и вращательные колебания относительно оси 1хл являются [c.359]

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводня все к взаимным притяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения движения и взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит к категории тех задач, к которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в частных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет i занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу решил уже Лагранж для большего числа переменных Пфафф представил, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше эту систему снова интегрируют и т. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравнение в частных производных. Согласно о этим, Гамильтон, приведя дифференциальное уравнение движения к уравнению в частных производных, свел надачу к более трудной, так как но Пфаффу интегрирование уравнения у. частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому большее значение имело здесь обратное приведение, при помощи которого уравнение в частных производных сводится к одной системе дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальные системы тогда не нужны. Очень часто приведение одной задачи к дру- [c.7]

Весьма перспективным для изучения трибологаческих процессов является разработка и изучение математических моделей процесса трения, износа и смазки твердых тел (деталей, механизмов и машин) с помощью электронно-вычислительных машин. Для формулировки математических моделей могут быть использованы уравнения, характеризующие процесс течения смазки, контактную и общую деформацию трущихся тел и всего узла трения, тепловые процессы - образование и распространение теплоты, а также явления, связанные с физическими, химическими и механическими фактороми, определяющие в главном процесс поверхностного разрушения деталей при трении. Известно, что широко распространенные методы классической математики часто используют принцип суперпозиции и пригодны в основном для решения линейных задач. Характерная особенность теоретических задач в области трибологии деталей машин заключается в их существенной нелинейности. В качестве примера можно сослаться на систему уравнений, указанных в данной главе. Совместное решение системы нелинейных уравнений представляет значительную математическую трудность, а если учесть также возможность возникновения качественных (и количественных) скачков исследуемых характеристик, например при возникновении процесса заедания при малых и средних скоростях, характеризующихся резким увеличением коэффициента трения скольжения и скорости изнашивания тел, то становятся ясными сложность и необходимость детального исследования адекватных математических моделей с помощью численных методов. В результате получается приближенное решение сложной научно-технической задачи с необходимой точностью. [c.169]

Задачи о взаимодействии источника возбуждения с колебательной системой (их называют еще задачами о колебаниях систем с ограниченным возбуждением и задачами о возбуждении вибраций) выделились в настоящее время в специальный раздел теории колебаний, который далеко еще не завершен. В него включают только нелинейные задачи, хотя некоторые типы взаимодействия описываются линейными уравнениями. Значительное место в этом разделе отводится системам, в которых силы, вызывающие колебания, создаются за счет электромагнитного (а не механического) воздействия. В задачах этою класса чаще всего целесообразно исследовать автономные уравнения движения. Однако в некоторых случаях задача может сводиться и к неавтономным уравнениям. [c.191]

Требование, чтобы система описывалась линейными уравнениями, предъявляется к устройствам для преобразования электрического сигнала в механический или мг-ханического в электрический. Но для силовых устройств (электрических машин, вибраторов и т. д.) это требование обычно не обязательно. Hojtomv их динамнку следует изучать с помощью методов нелинейной механики. [c.339]

Возможен случай, когда механическая система является системой с распределенными пара,метрами. К тако.му случаю относятся задачи о деформировании упругих тел магнитным полем. Эти задачи могут быть нелинейными, даже если упругие перемещения малы и справедливы уравнения линейной теории упругости. Нелинейность при этом обусловливается зависимостью пондеромоторных сил от перемещений. К указанному классу относятся два типа задач- о равновесии ферромагнитных тел, расположенных на расстояниях, сравнимых с малыми упругими перемещениями, и о равновесии близко расположенных проводящих стержней с токами. Постановка этих задач и некоторые результаты их исследования приведены в работе [16]. Математически аналогичная задача о равновесии электростатически заряженных капель рассмотрена в работе [181. [c.340]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...