Линейный элемент пространства

В выбранной нами системе координат линейный элемент пространства определяется формулой [c.428]

Так как точки Л и. М совершенно произвольны, равенство (IV. 125) определяет квадрат линейного элемента пространства 4, а также E . [c.518]

Введем функции кинетических напряжений. Допустим, что квадрат линейного элемента пространства, связанного с деформированной средой, имеет следующий вид [c.53]

Линейный элемент пространства постоянной кривизны можно записать в обобщенном виде для (12.146) и (12.147) соответственно [c.365]

Отметим, что указанные выше свойства — аксиомы не используют понятие системы координат. Базисом п-мерного линейного (векторного) пространства называется совокупность элементов ёг, ., ёп этого пространства, с помощью которого любой вектор а однозначно можно представить в виде [c.19]

В этом равенстве 5 — линейный элемент в пространстве конфигураций. Конечно, при указанном выборе метрики изображающей точке в пространстве конфигураций приписывается масса, равная единице. [c.167]

Введем новую метрику в пространстве конфигураций, определив линейный элемент ds равенством [c.207]

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением лишь вещественных (действительных) линейных пространств — с операцией умножения элемента пространства на действительные числа. [c.308]

Тензор gi, , лежащий в основе геометрии, называется метрическим тензором . Он позволяет строить геометрию пространства не только трех, но и любого числа измерений. Геометрия /г-мерного пространства определится, если ввести линейный элемент в виде [c.42]

Когда специальная теория относительности Эйнштейна и Минковского, объединив время и пространство, показала, что геометрия природы имеет скорее четыре, а не три измерения, то это была еще геометрия евклидова типа. Лишь общая теория относительности Эйнштейна продемонстрировала, что линейный элемент с постоянными коэффициентами должен быть заменен римановым линейным элементом, содержащим десять функций gik четырех координат j , у, z, t. [c.43]

Таким образом, кинетическая энергия частицы явно связана с линейным элементом ds и поэтому зависит от геометрии пространства. [c.44]

Определим теперь линейный элемент ЗЛ/-мерного пространства уравнением [c.44]

Форма записи линейного элемента (1.5.11) показывает, что ЗЛ -мерное пространство конфигураций N свободных частиц имеет евклидову структуру, а величины [c.44]

Принцип Якоби является фундаментальным принципом механики. Если ограничиться случаем одной частицы, то линейный элемент ds совпадает с линейным элементом обычного трехмерного пространства в произвольных криволинейных координатах. Принцип Якоби в этом случае оказывается механическим аналогом принципа Ферма наименьшего времени в оптике, согласно которому оптический путь светового луча определяется минимизацией интеграла [c.162]

Принцип Якоби наглядно поясняет внутренние соотношения, существующие между движением консервативной голономной системы и геометрией пространств, обладающих кривизной. Введем в дополнение к линейному элементу ds пространства конфигураций еще один риманов линейный элемент da, определяемый равенством [c.166]

Пусть точка Р, являющаяся одновременно С-точкой, изображающей положение механической системы в пространстве конфигураций, соответствует положению равновесия. Поместим ее для простоты в начале координат, записав ее координаты в виде qi = 0. Будем теперь считать линейный элемент (5.10.1) с постоянными Uik, соответствующими точке Р, справедливым во всем пространстве. Пространство, получившееся в результате этой операции, является евклидовым, а допущенная нами ошибка стремится к нулю по мере приближения к точке Р. [c.176]

В пространстве конфигураций это условие действительно выполняется, потому что кинетическая энергия, определяющая линейный элемент (5.10.1), а с ним и расстояние (5.10.2), никогда не может стать отрицательной. Даже значение нуль для нее возможно лишь в случае, когда все <7,- обращаются в нуль. Это гарантирует положительную определенность выражения (5.10.2). [c.177]

Введем еще раз линейный элемент da, на этот раз для расширенного пространства конфигураций qi,. .., t [c.261]

HO геометрия, введенная этим линейным элементом, уже не будет римановой. Соединим две точки q ,. ..,q , t и qi,...,q ,t в (п+1)-мерном пространстве кратчайшей линией и измерим длину дуги [c.261]

Преимущества геометрического языка особенно заметны тогда, когда механическая система не подвержена действию внешних сил.. В этом, случае траектория механической системы может рассматриваться как геодезическая линия в пространстве конфигураций (принцип прямейшего пути Герца), Более того, при потенциальной энергии, не зависящей от времени t, можно ввести вспомогательный линейный элемент [c.319]

Тесная связь между динамикой и геометрией сохраняется и при более общих предположениях. Риманова геометрия— не единственно возможная форма метрической геометрии. Для римановой геометрии характерным свойством является выпрямление пространства в окрестности произвольной точки, так что обычная евклидова геометрия остается справедливой по крайней мере в бесконечно малых областях. Но для построения геометрии, использующей прямые линии и углы, такого ограничения, вообще говоря, не требуется. В применении к общим задачам динамики заслуживает внимания более общая форма геометрии, линейный элемент которой ds определяется более общим способом по сравнению с римановым линейным элементом. [c.320]

Задача 3. Получить выражение для расстояния между двумя точка,ми евклидова пространства из линейного элемента ds= у [c.327]

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией V. Кроме того, ds —это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства. Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент ds примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4 13 [c.371]

Геометрическая интерпретация принципа стационарного действия. Обратимся еще раз к голономной системе со связями, не зависящими от времени, для которой величины составляют систему независимых лагранжевых координат, и, как это уже не раз делалось нами ранее, представим оо конфигураций точками абстрактного пространства п измерений, в котором величины q истолковываются как самые общие координаты. В атом пространстве можно условно определить линейный элемент или элементарное расстояние ds между двумя любыми бесконечно близкими точками и [c.411]

Которое теперь является п-мерным римановым пространством с линейным элементом ds, определенным по формуле (11). [c.487]

Формулы ускорения в ортогональных координатах. Положение точки, движущейся в пространстве, будем определять ортогональными криволинейными координатами а, р, у. Квадрат линейного элемента ds в этих координатах будет иметь следующее выражение [c.125]

Резюме. Возможность введения произвольных координатных систем и инвариантность уравнений механики относительно преобразований координат тесно связывают аналитическую механику с идеями и методами римановой геометрии. Движение произвольной механической системы мол<ет рассматриваться как движение свободной частицы в соответствующем п-мерном пространстве с определенной римановой структурой. Кинетическая энергия системы определяет ри-манов линейный элемент пространства конфигураций. [c.46]

Интересно отметить, что при ином выборе лагранжевых координат в данной задаче можно добиться фактического равенства линейных элементов пространства конфигураций и его тонологического эквивалента — поверхности цилиндра. Имеем [c.555]

Вычислим ковариантую компоненту силы Х . Найдем сначала ковариант-ные компоненты силы в декартовой системе координат. Рассмотрим квадрат линейного элемента в пространстве конфигураций. Имеем [c.178]

Теории механического поведения сплошных сред строятся на базисе понятий пространства. Линейным (обозначается L) пространством называется множество элементов любой природы, в которое введены операции сложения и умножения на число, подчиняющееся обычным распределительному, переместительному и сочетательному законам [11] — [14]. В линейном векторном пространстве элементы называются векторами (обозначаются латинскими буквами—жирный шрифт). [c.308]

Эта задача тесно связана с вопросом о геометрической структуре фазового пространства. Мы уже видели, как помогло динамической теории введение определенной геометрической структуры лагранжевого пространства конфигураций. Там был введен рпманов линейный элемент ds, квадрат которого задавался в виде некоторой квадратичной дифференциальной формы переменных qi. Величина ds была одновременно основным инвариантом лагранжевого точечного преобразования и тем бесконечно малым расстоянием, которое — при соответствующем выборе граничных условий — определяло геометрическую структуру пространства конфигураций. [c.241]

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции S. Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, билинейную дифференциальную форму , инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине ds в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния. [c.245]

Таким образом, задача о движении планет под действием притяжения центрального тела становится эквивалентной вычислению геодезической линш в римановом пространстве с линейным элементом (9.11.1). Это снова предполагает решение задачи динамики с функцией Гамильтона (9.10.5), которая в этом случае имеет вид [c.374]

Как известно из элементов дифференциальной геометрии, от выбора этого линейного элемента зависят определение длины какой угодно линии (конечной) и остальные основные соотношения (относящиеся к углам, площадям и т. д.), которые позволяют установить всю метрику рассматриваемого пространства. Абстрактное пространство, для которого установлен линейный элемент (26) или, как обычно принято говорить, в котором установлено мероопределение, называется метрическим многообразием и будет нами обозначаться через [c.411]

В динамическом случае спонтанного движения достаточно обратиться к соображениям п. 15 и ввести в пространство Г обычное мероопределение ds == 2Тчтобы точно видеть, что условие (58) выражает ортогональность перемещения ЬР к траектории или к геодезической линии соответствующего метрического многообразия V Если в более общем случае, оставаясь все же в пределах динамического случая, мы предположим, что действующие силы консервативны, но не равны нулю, и выберем некоторое значение для постоянной Е энергии, то, как мы знаем, соответствующая связка траекторий будет тождественна с совокупностью геодезических линий метрического многообразия с линейным элементом [c.449]

В виде частного приложения мы можем представить себе световые лучи в оптически изотропной, но неоднородной среде с коэффициентом преломления п(х,у,г), меняющимся от точки к точке. Как мы уже видели в п. 18, световые лучи тождественны с геодезическими линиями метрического многообразия, имеющего линейным элементом ds = nds, где ds есть обыкновенный линейный элемент физического (евклидова) пространства. Так как элемент ds отличается только позиционным множителем п от евклидова элемента ds, то обобщенные количества движения р траекторий будут также отличаться только на локальный множитель от направляющих косинусов соответствующей касательной, так что введенное выше условие ортогональности (58) приобретает в этом случае обычный смысл, который оно имеет в элементарной метрике. С другой стороны, как было отмечено в п. 18, п ds есть не что иное, как элемент времени dt, которое требуется свету, чтобы пройти элемент пути ds следовательно, действие сводится к времени распространения света. Таким образом, мы на основании теоремы Бедьтрами — Липшица заключаем, что световые лучи, которые в заданный момент выходят из заданной поверхности oq в направлении, ортогональном к Oq, или, в частности, из единственного центра, остаются всегда ортогональными к поверхности /= onst, каков бы ни был показатель преломления п, т. е. какова бы ни была неоднородность среды. Эти поверхности, представляющие собой геометрические места точек, к которым свет приходит за один и тот же промежуток времени, образуют так называемые волновые поверхности (см. гл. X, упражнение 13). [c.451]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...