Траектории затухания

Простые примеры затухающих волн можно получить, рассматривая двумерные поля. Если задать семейство фазовых траекторий, то ортогональные траектории затухания определяются однозначно. Используя соответствующие ортогональные криволинейные координаты yi и V для обозначения двух семейств, имеем / =/ ( ) и / = 1 у). При этом уравнение (2.7.3) запишется в виде [c.78]

Рассмотрим интересный частный случай, когда фазовыми траекториями являются конфокальные гиперболы, а траекториями затухания — эллипсы (рис. 2.10). Здесь удобно выбрать эллиптические координаты, определяемые равенствами [c.78]

Особенностью передаточной функции является присутствие в ней неустойчивых составляющих, соответствующих медленному движению, которое может измеряться многими секундами (по сравнению с быстрым движением, происходящим в течение долей или единиц секунд). Причина этого заключена в значительном влиянии силы тяжести, которая стремится при подъеме увеличивать отклонение аппарата от невозмущенной траектории. При этом можно отметить, что быстрое движение (первый этап) отличается, особенно на больших высотах, весьма малым затуханием (соответствующий коэффициент < 0), что обусловлено отсутствием у неманевренного аппарата развитого оперения. Этот недостаток должен компенсироваться соответствующей системой стабилизации. [c.56]

Из этого фазового портрета сразу виден основной характер колебательных движений в данной системе, а именно затухание колебаний и прекращение движения после конечного числа колебаний (при заданных начальных условиях — отклонении и начальной скорости). Например, одно такое движение от начальных условий х = Хд, у — у (точка Р на фазовом портрете системы) изображено более жирной фазовой траекторией. Фазовый портрет (см. рис. 2.3) показывает нам также одно характерное свойство колебательных систем с сухим трением, а именно наличие зоны застоя в самом деле, прекращение движения ( / = 0) может происходить при любых значениях х в области —+ откуда следует, что при каких-то начальных условиях система, будучи представлена самой себе, не обязательно придет к состоянию покоя в точке х = 0, = 0. Зона застоя тем больше, чем больше трение в системе. [c.49]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

Для диссипативных систем, у которых знак ф у) обязательно совпадает со знаком у, наклоны фазовых траекторий во всех точках фазовой плоскости таковы, что сами траектории проходят внутрь окружности, которую можно провести через данную точку с центром в начале координат. Это справедливо для любой формы функции ф(г/), определяющей характер зависимости потерь от состояния системы, при условии, что система остается диссипативной. Такая окружность являлась бы фазовой траекторией нашей системы для ф( /) = 0, т. е. в отсутствие затухания. Эти соображения подтверждают заключение о том, что в случае диссипативной системы фазовые траектории соответствуют более или менее быстрому уменьшению амплитуды колебаний и имеют вид спиралей или сходных с ними кривых, стягивающихся в начало координат (состояние покоя). [c.57]

Анизотропия механических свойств обусловливает аномальное изменение не только скоростей упругих волн и их траектории распространения, но и коэффициента затухания (рассеяния). В работе (90 ] исследовано изменение коэффициента затухания продольных волн в металле шва в зависимости от угла ф между волновым вектором и осью кристаллита. Установлено, что коэффициент затухания при f —2,5 МГц изменяется периодически от [c.323]

Если же маятники расстроены то, хотя обмен энергией и будет иметь место, он будет совершаться таким образом, что первоначально возбужденный маятник будет иметь минимум, отличный от нуля, и только маятник, первоначально находившийся в состоянии покоя, в процессе движения снова возвратится в состояние покоя. Таким образом, одинаковый характер колебаний маятников нарушается их расстройкой. Сначала мы кратко изложим теорию полного резонанса при возможно более простых допущениях (пренебрегая затуханием, а также различием между дугой окружности и касательной к ней в нижней точке траектории, что допустимо при достаточно малых колебаниях). Обозначим через х отклонение маятника /, через Х2 — отклонение маятника II. Если, далее, обозначить через к коэффициент связи , т. е. напряжение в пружине при единичном удлинении ее, деленное на массу, то система дифференциальных уравнений нашей задачи примет следующий вид [c.145]

Зависимости положения комплексных частот на плоскости комплексного переменного от скорости (плотности) потока можно представить в виде годографов (траекторий) корней [36, 351 (рис. 7). Скорость, при которой вещественная часть комплексной частоты (коэффициент затухания колебаний) обращается в нуль, называют критической скоростью флаттера. Определение траекторий корней является [c.490]

Механизм воздействия на металл нейтронного облучения можно схематично представить следующим образом. Проходя по кристаллической решетке, нейтрон испытывает столкновения с атомами при этом скорость его движения замедляется, а путь становится все более извилистым. Атомы, вышибленные со своих мест нейтроном, двигаясь с большой скоростью, в свою очередь сталкиваются с другими атомами, выбивают их из узлов решетки, частично замещая освободившиеся места, частично же оставляя их вакантными. Большое количество атомов в окрестности пути движения нейтрона оказывается внедренным в междоузлия. Подсчитано, что при интенсивном нейтронном облучении смещенными оказываются 5% атомов. Образование большого числа вакансий и внедренных атомов само по себе способно сильно изменить упруго-пластические свойства материала. Кроме того, атомная решетка в тонкой трубке вокруг траектории нейтрона быстро приходит в интенсивное колебательное движение, соответствующее высокой температуре (порядка 10 000° С), с последующим быстрым (в течение около 10"" сек) затуханием. Это дает местный эффект, аналогичный закалке. Нарушение кристаллической решетки приводит к неравномерному изменению объемов внутри тела и к образованию начальных напряжений. [c.83]

Спецификой открытых пространств являются их зависимость от климатических факторов и атмосферных условий и необходимость учета затухания в воздухе, так как протяженность озвучиваемых зон доходит до нескольких сотен метров и даже километров. Высокие частоты (выше 1000 Гц) затухают очень быстро, особенно при относительной влажности воздуха около 15% на частоте 10-лГц затухание достигает 28 дБ на каждые 100 м. При нормальной влажности (около 50%) затухание получается вдвое меньше. Из-за ветра, дождя и снега оно может достигать 8—10 дБ на каждые 100 м. Ветер и неравномерный нагрев поверхности земли вообще могут нарушить передачу звука, так как звуковые лучи из-за искривления траектории могут уходить круто вверх или вниз. К специфике открытых пространств можно также отнести и более высокий уровень акустических шумов, например от транспорта и различных машин. [c.208]

В заключение заметим, что из всех линейных осцилляторов только для гармонического осциллятора (система без затухания) фазовые траектории получаются замкнутыми, т.е. только для него характерны периодические процессы. В линейных осцилляторах с затуханием периодические процессы невозможны. [c.86]

Круговая частота со = к к АВу -, период Т = 2л/со. В фазовом пространстве X, У траектории движения такого осциллятора представляют собой концентрические эллипсы в окрестности точки Х°, У°. Для конечной амплитуды колебаний около точки X , К траектории деформируются, но остаются замкнутыми с непрерывно изменяющимся периодом. Таким образом, модель Лотка — Вольтерра связана с существованием бесконечного числа периодических траекторий, из чего следует отсутствие затухания флуктуаций. Наложение малых возмущений приводит к переходу системы от одной орбиты к другой с разными частотами, при этом отсутствует какая-либо предпочтительная орбита. [c.79]

Это, однако, означает, что после времени t — 2 начальное состояние восстанавливается независимо от затухания через релаксацию. Причина в том, что под действием я-импульса значения фазы или фазовые траектории, достигнутые отдельными атомными системами к мо- [c.416]

Из выражений (2.20) видно, что в среде с затуханием разность фаз между горизонтальной и вертикальной компонентами поверхностного смещения в рэлеевской волне несколько отлична от я/2. Вследствие этого траекториями частиц при 2 = О в данном случае являются такие же Эллипсы, как и в среде без затухания, только их большая ось не перпендикулярна поверхности, а образует с нормалью к последней угол А0, который равен [c.134]

Vк% к — X. Отношение большой оси к малой для них пропорционально разности Ад—А . Эллиптическая траектория частиц жидкости вызвана неоднородностью волны в жидкости (возрастанием амплитуды вдоль фронта волны при удалении от границы), что в свою очередь связано с затуханием поверхностной волны в твердом теле вдоль оси х из-за излучения энергии в жидкость. [c.142]

Что такое гомоклиническая траектория, мы продемонстрируем на динамике маятника, колеблющегося с затуханием под действием вынуждающей силы. Прежде всего напомним, что для маятника, колеблющегося с затуханием в отсутствие вынуждающей силы неустойчивые многообразия седловой точки закручиваются вокруг особой точки на фазовой плоскости (9, в) наподобие вихря, как показано на рис. 5.16. [c.180]

Это выражение было экспериментально проверено автором той книги [136] и, как видно из рис. 5.2, а 0,86, по-видимому, дает превосходное согласие с экспериментальными границами хаоса. При слабом затухании этот критерий дает гораздо лучшую границу, чем критерий с гомоклинической траекторией, использующий функцию Мельникова. [c.195]

Аттрактор Множество точек или подпространство в фазовом пространстве, к которому приближается траектория после затухания переходных процессов. Классическими примерами аттракторов в динамике могут служить точки равновесия или неподвижные точки отображений, предельные циклы или поверхности торов для квазипериодических движений. [c.268]

Положение равновесия В непрерывной динамической системе точка в фазовом пространстве, к которой приближается траектория после затухания переходных режимов (при/ ). в механических системах под положением равновесия обычно имеют в виду состояние с нулевым ускорением и нулевой скоростью. В отображениях положениями равновесия могут быть конечные множества при итерациях отображения или разностного уравнения система последовательно переходит от одной точки такого множества к другой. (Положение равновесия называется также неподвижной точкой.) [c.272]

Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе. [c.274]

Знак минус означает, что фаза вынужденных колебаний аппарата отстает от колебаний рулей. Это имеет место всегда, кроме случая, когда демпфирование отсутствует (коэффициент затухания = 0). В этом случае при 0 с < а С и сдвиг фаз отсутствует (ф =0). Если вынужденная частота отклонения рулей больше частоты собственных колебаний ( в> ), тоф = = —180 . В обоих случаях летательный аппарат без запаздывания следует за этим отклонением (идеальное слежение). Исследования показывают, что сдвиг по фазе колебаний угла наклона траектории 0 от колебаний угм а составляет <р = 90°, а угла тангажа = aг tg ( Т (л т), где Т = [c.55]

Рис. 1.12. Построение фазовых траекторий методом изоклин для контура без затухания с сегнетоэлектри-ческим конденсатором.

Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57]

Основная задача анализа акустического тракта — оценка степени ослабления излученного (зондирующего) сигнала, пришедшего на приемник. На пути к приемнику излученный сигнал ослабляется по ряду причин. Наиболее существенно на амплитуду результирующего сигнала влияют акустические свойства контролируемого материала (вкорость ультразвука, дисперсия скорости, затухание), определяющие его прозрачность для ультразвука геометрические параметры изделия (кривизна, параметры шероховатости поверхности, через которую вводится ультразвук), влияющие прежде всего через изменение прозрачности контактного слоя, а также габаритные размеры изделия в зоне прозвучивания свойства и геометрия акустической задержки, определяющие степень акустического согласования пары преобразователь—изделие электроакустические параметры излучателя и приемника (частота колебаний, длительность импульсов, материалы пьезоэлемента и переходных слоев) ориентация пьезоэлемента, его геометрические размеры размеры, ориентация, конфигурация, параметры шероховатости и материал (шлак, металл, газ) дефекта взаимное расположение излучателя, дефекта и приемника траектория сканирования. [c.103]

Для расчётов эффектов туннелирования таких многоразмерных квантовых систем удобно использовать квазиклассич. представление волновой ф-ции в виде ф ехр((5), где S—классич. действие системы. Для Т. э. существенна мнимая часть S, определяющая затухание волновой ф-ции в классически недоступной области. Для её вычисления используется метод комплексные траекторий. [c.176]

Колебания оболочки, описываемые системой уравнений (1.70), (1.71) без правой части, при достаточно малом затухании и малых значениях коэффициентов нелинейности близки к синусоидальным в некоторой области фазового пространства, охватывающей нулевое положение равновесия. При этом нулевое положение равновесия является устойчивым. Наряду с этим существуют также устойчивые положения равновесия, соответствующие про-щелкнутому состоянию оболочки. Переход к колебаниям около прощелкнутого положения равновесия происходит после того, как оболочка преодолеет потенциальный барьер, отделяющий нулевое положение равновесия от прощелкнутого. В этом смысле траекторию изображающей точки, которая соответствует достижению потенциального барьера, можно рассматривать как границу, отделяющую область колебаний около нулевого положения равновесия от области прощелкивания. [c.31]

Хансен и др. [104, 105] разработали метод измерения затухания амплитуды и сдвига по фазе яшкроволнового луча в зависимости от концентрации электронов и частоты соударений в следе. Гребенка датчиков типа сфокусированного микроволнового зонда позволяет измерить как осевое, так и радиальное распределения концентрации электронов в следе. Но поскольку электроны превращают среду в проводящую плазму, способную отражать, поглощать и преломлять электромагнитные волны, успешное применение любых микроволновых приборов для диагностики плазмы зависит от наличия информации о взаимодействии электромагнитных волн с плазмой. Это взаимодействие особенно сильно проявляется, когда частота электромагнитных волн близка к плазменной частоте, которая пропорциональна корню квадратному из концентрации электронов. Измерения следа проводятся на баллистических установках, так как такие установки наиболее экономичны, позволяют тщательно контролировать начальные условия, а аппаратура размещена близко к траектории полета, где отношение сигнала к помехе более высокое. [c.146]

Если кривая Ф(Р) проходит во втором и четвертом квадрантах (как на рис. 1.6), то движения в системе будут затухающими. На фазовой плоскости V, Р ее траектории будут неограниченно приближаться к началу координат, соответствующему единственной особой точке (устойчивому фокусу). В частности для линейной системы 2-го порядка с положительным затуха нием, описываемой уравнением V + 26У + V = О, уравнение кривой Ф(Р) будет иметь вид V = —2бр и изображаться прямой линией (см. рис. 1.6). При изменении коэффициента затухания Ь прямая Ф Я) поворачивается вокруг начала координат, причем при увеличении Ь наклон прямой возрастает и она [c.45]

Рассмотрим затухание ударной волны в упруговязкой среде более подробно, для чего выпишем частные производные скорости и напряжения на ее фронте вдоль к, -траектории [8]. С учетом законов сохранения массы и количества движения 0.7) [c.81]

В работе И, Тлусты решена частная задача устойчивости движения в упрощенной системе. Станок рассмотрен как колебательная система с несколькими степенями свободы. Устойчивость в системе с двумя степенями свободы и координатной связью без учета затухания рассмотрена в общем виде. Для возникновения автоколебаний в такой системе движение режущего ин tpyмeнтa относительно обрабатываемой заготовки обязательно должно описываться неоднозначной траекторией, например эллипсом. [c.7]

Изложение применения метода Монте-Карло для исследования жидкостей будет неполным, если хотя бы кратко не коснуться его соотношения с методом молекулярной динамики, рассмотренным в гл. 4 первого тома. Объединяет оба эти метода то, что они применяются к малым конечным системам, используют одинаковые периодические граничные условия, оба дают для подобных систем точные решения, но для различных задач. В методе молекулярной динамики асимптотически точные результаты в принципе получаются путем усреднения по времени функций фазового пространства вдоль одной или нескольких характерных фазовых траекторий системы с помощью интегрирования элементарных уравнений движения Ньютона для системы. Равновесные свойства получаются в результате усреднения по времени, проводимого после затухания переходного процесса, обусловленного выбором начального состояния. В методе Монте-Карло асимптотически точные результаты для средних по различным конфигурациям, определяемых в том или ином статистическом ансамбле, получаются путем усреднения по случайным блужданияль в этом конфигурационном пространстве. (Различие двух методов, заключающееся в том, что в методе молекулярной динамики траектория определена в фазовом пространстве координат и импульсов системы, а в методе Монте-Карло — в конфигурационном пространстве, являющемся проекцией фазового пространства на координаты [c.316]

Один из этих механизмов называется затуханием Ландау и был впервые обнаружен при исследовании колебаний в газовой плазме. Заключается он в следующем. В магнитном поле электрон совершает движение по спиральной траектории. Его средняя скорость вдоль магнитного поля равна w,. Перейдем в систему отсчета, движущуюся с этой скоростью. Поле электромагнитной волны, которое в исходной системе отсчета было пропорционально ехр(/Лг—I /), в новой системе будет пропорционально ехр [lifer—I (со—Если [c.150]

Разреженный газ квантовых частиц со слабым взаимодействием можно рассматривать как своего рода квантовый ансамбль. Допустим, что мы имеем ансамбль совершенно одинаково приготовленных изолированных систем. Квантовой теорией такой ансамбль называется чистым. Ясно, что все представители такого ансамбля эволюционируют в точности одинаковым образом и притом совершенно обратимо по времени. Совсем другая картина возникает в том случае, когда системы не изолированы от внешнего мира. В случае классического газа неизолированность означает просто возможность неупругих столкновений молекул газа со стенками. Неупругие столкновения приводят к силам вязкого трения газа о стенки. Эти силы производят дополнительное затухание звуковых волн, и согласно флуктуационно-диссипационной теореме приповерхностный слой газа должен генерировать дополнительный звуковой шум. Такой шум практически никак не участвует в энергетике газа, но приводит к малым относительным смещениям молекул газа, т.е. к своеобразному "сбою фаз". Парные столкновения быстро, по закону ехр(г/т), наращивают возмущения со временем. В результате, ансамбль систем становится как бы "смешанным" его отдельные представители эволюционируют по разным траекториям фазового пространства. Соответственно, обратимость по времени полностью исчезает и описывать такой ансамбль можно лишь статистически. [c.212]

Читатель с более практическим складом ума может задать себе вопрос а что произойдет, если ввести слабое затухание В этом случае некоторые из мультипериодических субгармоник станут аттракторами, а овалы, окружающие эти аттракторы, перейдут в спирали, ограничивающие периодические движения. Что произойдет при этом с консервативным хаосом Из начальных условий в тех областях, где был консервативный хаос, развиваются долгопериодические переходные траектории, которые сначала блуждают по фазовому пространству и лищь затем выходят на периодическое движение. А как обстоит дело с реальными хаотическими движениями При наличии затухания для возникновения их необходимо гораздо большая сила (К > 6), при которой появляется фракталоподобный странный аттрактор (рис. 3.5). Таким образом, рассмотренный в этом разделе критерий перекрытия полезен только для строго консервативных гамильтоновых систем. [c.192]

Дауэлл и Пезешки [31] исследовали области притяжения в рассматриваемой нами задаче (рис. 5.25 и 6.22). Эти авторы классифицировали области притяжения по тому, сколько раз траектория частицы пересекает ось х = О, прежде чем устремится к дг = 1. Нетрудно видеть, что при достаточно больших начальных условиях существуют чередующиеся полосы, из которых траектория направляется в конце концов к левому (или к правому) аттрактору. Хотя границы полос остаются гладкими, их ширина стремится к нулю, когда коэффициент затухания 7 — 0. Таким образом, если началь- [c.251]

Рис. 6.22. Области притяжения для движения частицы в потенциале с двумя ямамн с затуханием в отсутствие вынуждающей силы [31]. Числа показывают, сколько раз траектории пересекают ось х = О до того, как приходят к одному нз двух положений равновесия х = 1.

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...