Фокус устойчивый

Рис. 17.17. Особые точки на фазовой плоскости а) центр, б) седло в) фокус (устойчивый). г) фокус (неустойчивый) д) узел (устойчивый) е) узел (неустойчивый) ж, э) изолированные циклы (устойчивый и неустойчивый). Об устойчивости и неустойчивости см. ниже.

Одна и та же центровка не обеспечивает еще определенного, одинакового для всех самолетов и всех режимов полета, запаса устойчивости. Объясняется это различным положением фокуса самолета. При более заднем положении фокуса устойчивость самолета выше. [c.308]

Вообще говоря, мыслимы системы, характеризующиеся наличием нескольких предельных циклов на фазовой плоскости, поэтому на рис. IV-18 показан пример двух предельных циклов, причем первый, ближайший к фокусу цикл, неустойчивый, второй, более удаленный от фокуса, — устойчивый. [c.226]

В зависимости от знака = аз, т. е. в зависимости от того, является ли сложный фокус устойчивым или неустойчивым, возможны следующие случаи смены качественных структур в окрестности 0(Яо) [c.186]

Очевидно, если точка, соответствующая состоянию равновесия, расположена под кривой а, то для этого состояния равновесия о < О (и значит, узлы и фокусы неустойчивы), если над кривой о, то о > О (и значит, узлы и фокусы устойчивы). [c.328]

Абсцисса общей точки Д и о, т. е. х, больше абсциссы максимума кривой Д. Расположение линий Д и о на плоскости [х, Уо) показано на рис. 170, в, а соответствующее расположение на плоскости (xq, у о)—на рис. 171, s. При дальнейшем увеличении может быть еще одна возможность, при которой состояние равновесия с меньшей абсциссой устойчиво, а с большей — неустойчиво. Мы предоставляем читателю проследить возникновение такой возможности на плоскости х, уо) и соответствующую картину на плоскости хо, i/o). На рис. 171 в области 1 у системы (1)—единственное состояние равновесия, узел или фокус, в области 2 —три состояния равновесия, оба узла или фокуса устойчивы, в области 3 — фокус или узел с меньшей абсциссой неустойчив, фокус или узел с большей абсциссой устойчив, в области 4 — единственное состояние равновесия неустойчиво, в области 5 — три состояния равновесия, два неустойчивых узла или фокуса. Как уже указывалось, возможен еще случай, когда левое состояние равновесия — устойчивый фокус или узел, правое — неустойчивый. [c.331]

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены ляпуновские величины . В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом °). Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38 ]). На рис. 254 [c.471]

Аналогичны бифуркации для сложного седло-фокуса либо он делается грубым, либо из него рождается седловой предельный цикл, а седло-фокус становится грубым фокусом, устойчивым или неустойчивым (см. [37 ]). [c.472]

Выясним теперь вопрос, является ли в рассматриваемом случае особая точка типа фокуса устойчивой. Принимая во внимание, что представляющая точка по всякой интегральной кривой будет двигаться, приближаясь к особой точке, легко убедиться в том, что условие устойчивости состояния равновесия, сформулированное нами выше, в этом случае соблюдается. Действительно, мы всегда можем выбрать такую область 8 (рис. 24, двойная штриховка), чтобы представляющая точка не вышла за пределы области (простая штриховка). Следовательно, в рассматриваемом нами случае состояние равновесия устойчиво и особая точка — устойчивый фокус. Устойчивость особой точки типа фокуса, очевидно, связана с тем, раскручиваются или скручиваются интегральные кривые, считая по направлению движения представляющей точки. Так как направление движения представляющей точки однозначно определено выбором координат (точка должна двигаться по часовой стрелке), то вместе [c.58]

Д О, 0 — 4Д< 0, о т 0. Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные. Состояние равновесия есть фокус (устойчивый или неустойчивый в зависимости от знака о). [c.432]

Динамическая система (8.21) имеет единственное состояние равновесия—начало координат (О, 0), которое является узлом или фокусом, устойчивым при (т. е. при MS< R ) и неустойчивым [c.522]

С появлением нового понятия несколько расширились представления о типах аттракторов в фазовом пространстве. Прежде считалось, что в фазовом пространстве любой динамической (в частности механической) системы могут существовать аттракторы только двух описанных выше типов — устойчивые особые точки (устойчивый фокус, устойчивый узел) и устойчивые предельные циклы. Теперь установлено, что наряду с ними в некоторых случаях существуют аттракторы особого рода — не точки или линии, а некоторые сплошные зоны фазового пространства, к которым притягиваются фазовые траектории, находящиеся в окрестности таких зон эти зоны принято называть странными аттракторами. [c.237]

Покажем теперь, как решать уравнения типа (9.1.3). Исследуем бифуркацию из узла нли фокуса, устойчивых в некотором интервале значений управляющего параметра а и теряющих устойчивость, когда а превышает критический порог Пусть [c.316]

При достаточно малом ц > О корни этого уравнения комплексные и их вещественные части имеют знак коэффициента Ь. Начало координат — особая точка типа фокуса — устойчивого, когда Ь < О, неустойчивого, когда Ь > 0. [c.440]

При Д<0 корни уравнения (16.12) - комплексные, а особые точки укороченной системы - типа фокуса (устойчивого при р > 1/2 и неустойчивого при р < 1/2). Аналогично при А > О получаются устойчивые или неустойчивые узлы. Таким образом, прямые р = 4 и р = служат границей, разделяющей на плоскости Р точки, отвечающие узлам и фокусам. [c.294]

Р,(-1,-1) Седло Седло Неустойчивый узел (фокус) Устойчивый узел (фокус) [c.352]

Флоке теория 300 Фокус устойчивый (неустойчивый) 54,57,62 [c.391]

Один из корней — действительный, два других — комплексные, причем все корни имеют отрицательные (положительные) действительные части. Состояние равновесия в этом случае называется устойчивым (неустойчивым) фокусом (рис. 1.6, а и рис. 1.6, б). [c.14]

Согласно общей теории, уравнение А = О определяет границу седел, а уравнение о = О — границу устойчивости узлов и фокусов. [c.56]

При ( < О состояния равновесия неустойчивы (седла). При 9 > О, р > О состояния равновесия устойчивы, при 9 > О, р < О состояния равновесия неустойчивы. При б > О состояния равновесия — узлы, при б < О — фокусы. [c.138]

Рассмотрим плоскость р. На этой плоскости кривая <7=0 определяет область неустойчивых состояний равновесия (седел). При q> О линия р = О отделяет устойчивые состояния равновесия от неустойчивых. Граница между фокусами и узлами определяется уравнением 6 = 0, т. е. [c.138]

Точка Я4 будет устойчивым фокусом или устойчивым узлом при 2uq — I I > 2е >- 0. [c.206]

На рис. 7. ПО изображены последовательные стадии перехода через общие бифуркации от обычного синхронизма к стохастическому. При переходе от рис. а к б происходит смена узла на фокус. Затем (рис. 7. ПО, в) фокус меняет устойчивость, и от него рождается устойчивый предельный цикл. Одновременно происходит сближение сепаратрис седла 5Г и 5i и соответственно 52 и So. После этого (рис. 7. ПО, г) сепаратрисы пересекаются, причем вместе с пересечением сепаратрис 5а и 52 происходит исчезновение устойчивого предельного цикла. [c.364]

Для оценки статической устойчивости несимметричных летательных аппаратов или симметричных аппаратов с отклоненными рулями используется понятие о фокусе. Безразмерная координата этой точки по углу [c.33]

Соответствующим выбором центра масс (или, как говорят, центровки) можно обеспечить необходимый запас статической устойчивости. Центровка будет нейтральной, если центр масс совмещен е фокусом аппарата. При изменении центровки степень продольной устойчивости определяется по формуле [c.34]

Таким образом, мы показали, что простое состояние равновесия О с комплексными характеристическими числами а является либо фокусом, устойчивым или неустойчшы.ч, либо центром,. шбо центро-фокусом. В случае а =7 О, который рассматривался в предыдущем параграфе, все траектории стремятся к состоянию равновесия О в зависимости от знака а при I —> - - оо (а << 0) ил1г при 1 — — оо (а > 0), п, следовательно, состояние равновесия является устойчивым или неустойчивым фокусом. [c.179]

Таким образом, на плоскости иу фазовыми траекториями служит семейство логарифмических спиралей с асимптотической точкой в начале координат. На плоскости ху фазовые траектории также представляют собою спирали, скручивающиеся к началу кЬординат (рис. 2.18). Двигаясь по любой из этих фазовых траекторий, изображающая точка асимптотически (при t-> +00) приближается к началу координат, где находится особая точка — устойчивий фокус. Точка X = О, у = Q представляет собою отдельную фазовую траекторию, соответствующую асимптотически устойчивому состоянию равновесия осциллятора. [c.39]

С текущим параметром Уравнения (3.12) определяют на плоскости другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров г/о,х на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличню одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса области 3 — 6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях 4 и 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки. [c.57]

Если точка Р существует, то г 4 > О и У4 > О и, следовательно, 3ABu Vi>-0, т. е. действительных корней разных знаков характеристическое уравнение иметь не будет. Таким образом, точка Р4 будет особой точкой типа узла или фокуса. Для того чтобы Р4 была устойчивой особой точкой, нужно, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательны, т. е. должно выполняться неравенство [c.203]

Пусть со не меняется и не происходит бифуркаций слияния неподвижных точек. Тогда возможные изменения будут состоять только в изменениях неподвижных точек и расположениях сепаратрисных кривых. При этом седло-вые точки должны оставаться седловыми. А узлы могут переходить в фокусы и обратно. Фокус может сменить устойчивость, и при этом от него отделится либо обычный, либо стохастический синхронизм. При смене взаимного расположения сепаратрис может произойти возникновение стохастического синхронизма. Эта бифуркация в суженном виде будет в дальнеЙ1ием рассмотрена отдельно. Сейчас же ограничимся ее изображением на рис. 7. ПО. [c.364]

Курс теории механизмов и машин (1985) -- [ c.110 ]

Теория механизмов и машин (1979) -- [ c.22 , c.574 ]

Курс теоретической механики Том2 Изд2 (1979) -- [ c.513 ]

Качественная теория динамических систем второго порядка (0) -- [ c.151 , c.199 , c.203 ]

Теория колебаний (0) -- [ c.58 , c.299 ]

Введение в теорию механических колебаний (0) -- [ c.44 ]

Теория колебаний (2004) -- [ c.438 ]

Курс теоретической механики (2006) -- [ c.692 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...