Многообразие неустойчивое

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Определения. 1. Надстройка седла (с s-мерным устойчивым и ы-мерным неустойчивым многообразием, s O, u O) над семейством [c.18]

Бифуркации распада инвариантных торов. Пусть в типичном двупараметрическом семействе С -гладких векторных полей, /г 4, при нулевом значении параметра е предельный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый инвариантный тор. Тогда, как было показано выше, на плоскости параметров существуют резонансные языки, отвечающие наличию у векторного поля невырожденных предельных циклов, лежащих на торе. При этом сам тор является объединением неустойчивых многообразий седловых циклов с устойчивыми циклами. [c.49]

Оставшиеся рисунки иллюстрируют дальнейшие возможные изменения фазового портрета. На рис. 20д показан момент образования -критического седло-узла его исчезновение приведет к рождению странного аттрактора. На рис. 20 е изображено первое простое касание неустойчивого и устойчивого многообразий точки Q. В этот момент и при дальнейшем изменении параметров, приводящем к рождению гомоклинических точек транс-версального пересечения, аттрактор в кольце является странным. На рис. 20 ж уже произошла бифуркация удвоения периода точки N и возникла устойчивая двоякопериодическая траектория (замкнутой инвариантной кривой не стало). При дальнейшем изменении параметров может реализоваться каскад [c.51]

Вырожденные семейства, найденные численно. Названные семейства соответствуют объединению трех линий, показанных пунктиром на рис. 26. Если А принадлежит линии 1 или 2, то одно из уравнений семейства (11а) имеет сложный цикл (сепаратрисный многоугольник) с четырьмя особыми точками типа седло-узел, причем центральное многообразие одной особой точки является устойчивым (или неустойчивым) многообразием другой (рис. 27а,б). Если А принадлежит кривой 3, то одно из уравнений семейства (Па) имеет сложный цикл с че- [c.64]

Устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек и циклов пересекаются трансверсально. [c.86]

Замечание. Суммарная размерность устойчивого и неустойчивого множества негиперболической особой точки с одно мерным центральным многообразием равна п+1 (п—размерность фазового пространства). Поэтому в классе векторных полей с такой особой точкой наличие гомоклинической траектории этой точки — явление общего положения. [c.89]

Под сепаратрисой положения равновесия типа седло-узел подразумевается здесь часть центрального многообразия, не принадлежащая двумерному устойчивому или неустойчивому множеству другими словами, общая граница двух гиперболических секторов. [c.101]

Напомним, что векторное поле удовлетворяет аксиоме А, если его множество неблуждающих точек гиперболично и в нем плотны периодические траектории поля. Условие сильной трансверсальности состоит в следующем устойчивые и неустойчивые многообразия всех неблуждающих траекторий пересекаются трансверсально. Подробнее о гиперболической теории см. том 2 настоящего издания. [c.114]

Критические и некритические циклы. Пусть гладкое векторное поле имеет предельный цикл с мультипликатором единица типа устойчивый узел по гиперболическим переменным . Тогда некоторая окрестность цикла наделена гладким слоением со слоями коразмерности 1, инвариантным относительно потока и сильно устойчивым каждый слой экспоненциально сжимается при сдвиге вдоль траекторий поля за положительное время [162], [180]. Один из слоев совпадает с устойчивым многообразием цикла. Аналогично описывается сильно неустойчивое слоение в случае неустойчивого узла по гиперболическим переменным. [c.116]

Пусть цикл векторного поля имеет мультипликатор 1 и является седлом по гиперболическим переменным. Тогда ограничение поля на центрально устойчивое (це трально неустойчивое) многообразие имеет цикл типа устойчивый (неустойчивый) узел по гиперболическим переменным. На многообразиях и можно определить, как и выше, сильно устойчивое и сильно неустойчивое слоения, обозначаемые через и [c.116]

Будем предполагать, что векторное поле, имеющее цикл с мультипликатором 1 и с некомпактным объединением множества гомоклинических траекторий с L, удовлетворяет следующим условиям общности положения его неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических, кроме L, циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально между собой и с St, SI, Wi, Wl, последние пересекаются трансверсально в каждой точке, не принадлежащей L. [c.121]

Здесь через и Г обозначены устойчивые и неустойчивые многообразия гиперболических положений равновесия или циклов. Поясним, из-за чего может возникать недостижимость в случае (За) на рис. 44, где изображен диффеоморфизм двумерного диска, имеющий при е=0 неподвижную точку Q с мультипликатором 1, и два седла Qi, Q2, причем Sq трансверсально пересекается с Wq а содержит точку Р простого касания со слоем слое- [c.123]

В случае (Зс) недостижимость связана с изменением числа вращения на возникшем торе, а в случае (ЗЬ) — с возникновением точек простого касания устойчивых и неустойчивых многообразий гиперболических циклов на бутылке Клейна и далеких положений равновесия или циклов. [c.124]

Обозначим через у(ф) векторное поле, порождающее поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом ф. Обозначим через R множество дуг фе в пространстве диффеоморфизмов, таких что у(фь)6б1, у(фе) трансверсально пересекает B в точке (фб) г (фь) удовлетворяет условиям типичности, главное из которых состоит в следующем. Неблуждающее множество у(фг,) состоит из конечного множества циклов, причем если один из них ме гиперболический, то его устойчивые и неустойчивые множества и многообразия трансверсально пересекаются между собой и с многообразиями других циклов, а если все циклы гиперболичны, то их многообразия трансверсально пересекаются по всем траекториям, за исключением одной. [c.125]

Поля V++, V+" имеют седловой предельный цикл с двумерными устойчивым и неустойчивым многообразиями при <0, е>0 соответственно, причем для 1/++ устойчивое и неустойчивое многообразия гомеоморфны цилиндрам (листам Мёбиуса). Никаких неблуждающих траекторий, кроме О и цикла Z.+ (e) при е=5 0 и гомоклинической траектории Г при е—О, поля V++, V+" не имеют. [c.131]

Теорема. Пусть в теореме пункта 5.2 оба условия 1 и 2 нарушены, то есть при 0<О (о>0) ведущее неустойчивое (соответственно, устойчивое) направление комплексно (и двумерно). Тогда все векторные поля семейства достаточно близкие к критическому, имеют гиперболические инвариантные множества преобразование монодромии поля имеет при е=5 0 конечное число подков Смейла, неограниченно растущее при стремлении е к нулю и равное бесконечности для поля Vo. Каждое из полей при достаточно малом е имеет счетное множество гиперболических предельных циклов, устойчивые многообразия которых имеют такую же размерность, как устойчивое многообразие гиперболического седла. [c.137]

Модули. В [183] было обнаружено, что топологическая сопряженность диффеоморфизмов с одинаковым геометрическим расположением устойчивых и неустойчивых многообразий влечет за собой условия типа равенства на мультипликаторы периодических траекторий. Точнее, пусть f / )—диффеоморфизм замкнутого многообразия с гиперболическими неподвижными точками р, q (р, q ) типа седло. Пусть Xi(Xi)—наибольшее по модулю собственное значение Df p) Df (p )) из всех собственных значений, меньших по модулю единицы, а V 2( Y2) — наименьшее по модулю собственное значение D/( ) (D/ ( 0) из всех собственных значений, больших по модулю единицы. Предположим, что 2( 2) имеет кратность 1. Тогда [162] [c.140]

Несложно сконструировать диффеоморфизм, имеющий больше одного модуля устойчивости. Для этого достаточно, чтобы неустойчивое (устойчивое) многообразие точки р(< ) было предельным для неустойчивых (устойчивых) многообразий других седловых точек (как, например, в теореме пункта 6.2). В [139] выведены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы диффеоморфизм, лежащий на границе множества систем Морса—Смейла, имел единственный модуль. [c.141]

Здесь описывается компонента границы множества систем Морса—Смейла, состоящая из потоков с бесконечным множеством неблуждающих траекторий. Во всех приводимых ниже примерах типичные точки границы недостижимы. Так ли это в общем случае, неизвестно. В частности, неизвестно, верно ли, что в типичном однопараметрическом семействе векторных полей рождению бесконечного неблуждающего множества предшествует одна из бифуркаций, описанных в предыдущих параграфах (появление негиперболической особой точки или цикла, или траекторий, принадлежащих простому касанию либо не-трансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий особой точки и (или) цикла). [c.149]

Бифуркации систем с двумя гомоклиническими кривыми седла. Для простоты опишем потоки в (аналогичные результаты верны для потоков в R", имеющих сёдла с одномерным неустойчивым многообразием). [c.150]

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

Рассмотрим ирея исе многообразие К q Ф q = О).. Па нем Г, = О, а вне его 1 , > О (диссипация полная и, лeдoвaтeJгьнo, jV С О при 0). По условию теоремы в окрестности нуля существуют точки, в которых П <С 0. В этих точках при = О функция принимает положительные значения. Кроме того, многообразие К не содер-яп т целых траекторий системы (6.56) (по тем же соображениям, что и в предшествующей теореме). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Н. Н. Красов-ского о неустойчивости движения ). [c.174]

В каждом из главных Zg-эквнвариантных семейств при некоторых значениях параметров, образующих линии на плоскости е, возникают сепаратрисные многоугольники. Сдвиг по фазовым кривым поля семейства за единицу времени приближает -ю степень преобразования монодромии предельного цикла, теряющего устойчивость с прохождением пары мультипликаторов через сильный резонанс. Особым точкам полей семейства соответствуют неподвижные точки -й степени преобразования монодромии и 2я9-периодические циклы периодического уравнения входящим и выходящим сепаратрисам седел — устойчивые и неустойчивые многообразия неподвижных точек. Две сепаратрисы особых точек, раз пересекшись, должны совпадать на всем своем протяжении. Не так обстоит дело с инвариантными кривыми неподвижных точек диффеоморфизмов. Эти кривые пересекаются, вообше говоря, трансверсально, а для диффеомор- [c.60]

Рис. 29. Три последовательных бифуркации удвоения для диффеоморфизма плоскости. Бифуркации происходят при переходе от рис. а к рис. б, от 2 к d и от d к е. На рис. виг показаны перестройки неподвижных точек квадрата диффеоморфизма. На рис. г сплошными линиями показаны инвариантные кривые диффеоморфизма, а пунктирными — инвариантные кривые его квадрата на этих кривых диффеоморфизм действует как инволюция. На рис. д сплошными линиями показаны инвариантные кривые квадрата диффеоморфизма, а пунктирными—инвариантные кривые его четвертой степени. Кривые рис. е инвариантны относительно шестнадцатой степени диффеоморфизма. Неустойчивое многообразие каждой седловой неподвижной точки содержит в своем замыкании неустойчивые ыногообрагия всех седловых неподвижных точек, рождающихся при последующих бифуркациях. Нэ рис. е изображены лишь центральная и левая части множества неподвижных точек и инвариантных кривых шестнадцатой степени диффеоморфизма

Системы с конечным множеством неблуждаюш,их траекторий, содержаш,ие либо негиперболические неподвижные точки или циклы, либо траектории нетрансверсального пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий неподвижных точек или (и) циклов, либо и те, и другие одновременно. [c.86]

Очевидно, бифуркационное множество содержит векторные поля, имеющие негиперболические особые точки или негипер.-болические циклы, а также векторные поля, имеющие гиперболические особые точки и (или) циклы, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются нетрансверсально. [c.87]

Устойчивое, неустойчирое и центральное многообразие точки и цикла определены в [1621 и обозначаются W и W (или Wb, Wb-, WL Wl Wl где О и I-соответствующие точка и цикл). Устойчивое и неустойчивое множества точки и цикла обозначаются 5 и (или SS, So, S[, SI, где О и Z —соответствующие точка и цикл). [c.89]

Бифуркационные поверхности. Рассмотрим множество всех векторных полей на М, имеющих либо негиперболическую особую точку, либо негнперболический предельный цикл, либо траекторию, принадлежащую нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразия двух гиперболических особых точек или циклов, или точки и цикла. [c.94]

Заметим, что седловая связка — это траектория, принадлежащая единственно возможному нетрансверсальному пересечению устойчивого и неустойчивого многообразий гиперболических положений равновесия и (или) циклов. [c.97]

Определение ([180]). Предельный цикл векторного поля с мультипликатором единица называется s-критическим, если либо существует гиперболическое положение равновесия или гиперболический цикл, чье устойчивое или неустойчивое многообразие касается одного из слоев на 5", либо неустойчивое множество цикла касается одного из этих слоев.- В последнем случае объединение гомоклинических траекторий цикла называется s-критическим. Аналогично определяются и-хритические цикл и объединение его гомоклинических траекторий нужно. только заменить S , на 5 и S . Цикл и объединение его гомоклинических траекторий называются критическими, если они S- или ы-критические, и некритическими в противном случае (рис. 42). [c.116]

Такие ограничительные условия устойчивости связаны с существованием числовых инвариантов топологической эквивалентности — модулей, возникающих при нетрансверсальном пересечении устойчивых и неустойчивых многообразий (см. ниже 6). [c.126]

Если Re>bi=. . . =ReXt>ReXR+i, то инвариантное подпространство оператора А, соответствующее собственным значениям Ль. .., Ar, называется ведущим устойчивым направлением ростка в особой точке аналогично определяется ведущее неустойчивое направление. Название объясняется тем, что почти все фазовые кривые уравнения x = v x) с началом на устойчивом многообразии особой точки О входят в особую точку, касаясь ведущего устойчивого направления исключение составляют кривые, заполняющие подмногообразие меньшей размерности, чем Wo . Для линейного уравнения это очевидно, для нелинейного доказано в i[186]. [c.127]

В этом параграфе рассматриваются бифуркации векторного поля, лежащего на границе множества систем Морса—Смейла, для которого неблуждающее множество состоит из конечного числа гиперболических положений равновесия и гиперболических циклов, чьи устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются трансверсально по всем траекториям, за исключением одной — простого касания либо квазитрансверсального пересечения. [c.138]

Векторные поля в с гомоклинической траекторией цикла. Пусть векторное поле ПовС , г>3, в трехмерном пространстве имеет предельный цикл L седлового типа и траекторию T iWlr Wl, принадлежащую простому касанию его устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда у LUT су ще- [c.142]

Поясним этот результат на примере. Рассмотрим однопараметрическое семейство -диффеоморфизмов /e R2- R2, которое в окрестности Uо неподвижной точки О в начале координат имеет вид (х, у)- Скх, у), 00, y >0, /oP = Q, 5gN, —гомоклинические точки, по которым устойчивое и неустойчивое многообразия точки О имеют простое касание (рис. 52). Пусть Jq dU ,= = (Л, у) л —x j<8o, у <ео , f/o3lTi = (A, 1/) д <81, y — y [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...