Уравнения геометрические линейные

Геометрические уравнения механики линейной сплошной деформируемой среды [c.21]

В гл. 4 была рассмотрена в элементарном изложении теория устойчивости упругих стержней. Особенность этих задач состояла в том, что уравнения равновесия составлялись для деформированного состояния стержня, т. е. по существу речь шла о геометрически нелинейных задачах. Вариационные уравнения, описанные в 8.7, эквивалентны геометрически линейным уравнениям теории упругости, для которых доказана теорема единственности. Поэтому никакие задачи устойчивости с помощью этих вариационных уравнений решать нельзя. Здесь мы постараемся распространить вариационные уравнения на геометрически нелинейные задачи. Существо дела состоит в том, что уравнения статики должны составляться не в исходной системе координат, например декартовой, а в той криволинейной системе координат, в которую превращается исходная вследствие деформации. Прямой путь получения таких уравнений довольно сложен, поэтому нам будет удобно вернуться к выводу 7.4, где напряжения определялись по существу как обобщенные силы, для которых компоненты тензора деформации служили обобщенными неремещениями. Пусть тело, ограниченное поверхностью [c.390]

Для некоторых материалов распределение напряжений вблизи концов щели существенно связано с эффектами, описываемыми в рамках нелинейной теории упругости ). Используя уравнения геометрически и динамически нелинейной теории упругости, можно получить конечные значения напряжений вблизи конца щели. Даже в рамках линейной теории упругости с ис- [c.513]

Как правило, в кинематических цепях уравнения связей содержат только координаты и не содержат их дифференциалов. Такие связи называют геометрическими. Для них число свободных геометрических параметров или обобщенных координат, с помощью которых можно определить относительное положение соседних звеньев, равно разности числа шесть, т. е. числа координат свободного тела, и числа уравнений связи. Например, при сферических элементах пары эта разность есть шесть минус три, так как имеется три уравнения, связывающих линейные координаты центров сферической полости на одном звене и сферического выступа на другом. Число свободных геометрических параметров, определяющих относительное положение звеньев кинематической пары, называют числом степеней свободы этой пары. Оно является важнейшей ее характеристикой. [c.8]

Полную систему уравнений теории пластичности в геометрически линейном ее варианте составляют линейные статические и кинематические уравнения (5.59), (5.4), (6.11), (6.23), дополненные соотношениями физическими, основывающимися либо на теории течения, либо на деформационной теории. [c.745]

Уравнения, связывающие деформации %х и Уу) и перемещения (ц, ДД на уровне геометрически линейной постановки проблемы, имеют вид [c.203]

Если (12.115) представляло собой уравнение равновесия для стержня, испытывающего деформацию (геометрически линейный [c.204]

Здесь и ниже для простоты вместо термина расчетная схема системы используется термин система. Заметим, что если бы система не была геометрически линейной, то уравнения равновесия пришлось бы составлять для деформированной системы и, таким образом, находить усилия из одних уравнений статики не представилось бы возможным. [c.541]

Задачу по определению НДС гофрированной оболочки решаем в квазистационарной несвязной постановке, используя численное интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих НДС геометрически линейных тонких неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Учитываем только физическую нелинейность, обусловленную работой материала за пределами упругости (пластичность, ползучесть). Физически нелинейную задачу [c.154]

Уравнения геометрически нелинейной теории тонких оболочек служат основой для изучения деформирования, потери устойчивости и закритического поведения гибких тонкостенных конструкций. В отличие от классической линейной теории малых деформаций и перемещений нелинейная теория рассматривает нагружение оболочек, сопровождаемое конечными перемещениями и поворотами материальных элементов. [c.134]

В частном случае, когда оболочки предполагаются безмоментными, кольцо нерастяжимым, а контактная задача геометрически линейной, кинематические и силовые условия сопряжения в зоне контакта определяются уравнениями [c.160]

Присоединим к уравнениям (5.1) соотношения, связывающие деформации и перемещения в геометрически линейных задачах теории упругости, а также физические уравнения в форме обобщенного закона Гука [c.84]

В предыдущем разделе были получены критерии статического подобия механических явлений на основе уравнений линейной теории упругости и геометрически линейной теории пластичности в предположении малости удлинений, сдвигов и поворотов элементарного объема деформируемого тела. Эти ограничения обычно используют при расчетах напряженно-деформированного состояния конструкций. [c.96]

Физические уравнения для упругого тела представляют собой обобщенный закон Гука и имеют тот же вид, что и в геометрически линейных задачах теории упругости (5.2). [c.97]

В гл. 1 и 2 книги мы будем рассматривать теорию упругости при малых перемещениях (геометрически линейную теорию упругости) и выведем принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы для задачи о статическом равновесии упругого тела, находящегося под действием массовых (объемных) сил, при заданных граничных условиях [1,2 ]. Для описания трехмерного пространства, в котором рассматривается тело, применяются ортогональные декартовы координаты (х, у, z). В геометрически линейной теории упругости компоненты перемещений и, V, W в точке тела считаются столь малыми, что уравнения задачи выполняются в линейном приближении. Запишем эти линеаризованные уравнения [c.23]

Структура исходных уравнений нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек довольно сложна, получить аналитическое решение уравнений (1.42), (1.43) непросто, позтому будем ориентироваться на их численное решение на ЭВМ, В последние годы самое широкое распространение и признание получила методика решения задач прочности оболочек вращения, согласно которой исходная система уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние конструкции в геометрически линейной постановке, сводилась к решению краевой задачи для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот прием в сочетании с методом ортогональной прогонки оказался настолько плодотворным, что проблема расчета осесимметричных оболочек вращения в классической постановке оказалась в основном завершенной [ 1.16]. [c.23]

Уравнения движения и их запись относительно скоростей при геометрически линейном деформировании тела [c.65]

Примерно до середины нашего века термин теория упругости практически совпадал с термином линейная теория упругости . Это н означает, что нелинейной теории тогда не существовало. Всегда было ясно, что все формулы теории упругости, строго говоря, нелинейны. Более того, уже в начале века были заложены основы современной нелинейной теории. Однако практический интерес к ней возник лишь лет сорок назад, и поддерживало его вначале все большее внедрение гибких элементов, способных работать в закритической области при упругих деформациях. Так пошла в дело геометрически нелинейная теория упругости, справедливая при малых деформациях, но допускающая большие повороты. Параллельно с ней развивалась и физически нелинейная (но геометрически линейная) теория, в которой рассматривались проблемы, где источником нелинейности являлись механические свойства материалов. Задачи теории упругости, и геометрически и физически нелинейные, до поры до времени приходилось обходить, так как отвечающие им уравнения из-за своей сложности не позволяли получать даже грубые решения. [c.3]

Уравнения (27-23) и (27-24) называются уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Все три члена уравнения имеют линейную размерность. Величина 2, являясь геометрической высотой, измеряется в метрах. Проверив размерность остальных двух членов уравнения, получим [c.277]

Заметим, что при выводе уравнения (45) конкретная форма зависимости напряжений от деформаций не использована, так что это уравнение годится как для линейно упругих материалов, так и для материалов с нелинейными определяющими соотношениями в геометрически линейной постановке (а также для геометрически нелинейной теории при использовании переменных Лагранжа и соответствующего тензора напряжений). [c.102]

Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя, подверженных одновременному воздействию сил тяжести и однородных, ориентированных вдоль границы, начальных напряжений дана в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [1]. Предполагалось, что материал среды является несжимаемым и описывается либо уравнениями физически нелинейной (геометрически линейной) теории установившейся ползучести, либо уравнениями геометрически нелинейной (физически линейной) теории упругости. В предположении, что силы трения в области контакта отсутствуют, изучена проблема эллиптичности линеаризованных уравнений (внутренней устойчивости среды), исследованы явления поверхностной неустойчивости среды. В качестве иллюстрации проведен анализ влияния механических свойств и начального напряженного состояния среды на контактную жесткость. Для потенциала Муни обнаружены значения начальных напряжений, при которых упругий континуум начинает работать как основание Винклера. [c.236]

Позже В. 3. Власов (1944) представил упрощенные уравнения общей линейной теории в форме, аналогичной классической форме уравнений пластинок теории Кармана,— здесь все искомые величины выражены через одну функцию напряжения (плоской задачи) и функцию прогиба срединной поверхности. В этой же работе Власов ввел также общеизвестное теперь понятие пологой оболочки расчет пологой оболочки проводится в предположении, что главные кривизны оболочки постоянны, а срединная поверхность может быть задана в евклидовой метрике (отметим, кстати, что этот вариант стал, после соответствующих обобщений, наиболее популярным также при постановке и решении геометрически нелинейных задач теории оболочек). [c.229]

В так называемой классической теории упругости ограничиваются в соответствии с большинством практических приложений малыми (бесконечно малыми) деформациями и кладут в основу линейно-упругое поведение материалов согласно идеализированному закону Гука. Преимущество такого подхода состоит прежде всего в том, что математическое описание существенно упрощается благодаря геометрической линейности. Характерным для линейной теории упругости является линейность всех уравнений относительно искомых величин и их производных. [c.9]

Выясним геометрический смысл уравнения Бернулли. Нетрудно заметить, что все члены уравнения имеют линейную размерность. Следовательно, каждый из них можно назвать высотой, а именно [c.35]

Рассмотрим сначала геометрически-линейную модель, т. е. случай малых перемещений и поворотов. Векторные поля перемещений u(r,t) и малых поворотов Э (/ ,/) независимы. Операторы V и V ( 3.2) неразличимы, уравнения можно писать в отсчетной конфигурации . За основу вывода примем, как и везде в этой книге, принцип виртуальной работы [c.97]

Вышеизложенное относится к любой моментной среде в геометрически-линейной постановке — не только к упругой. Система (1.2), (1.4) неполна, необходимо получить также определяющие уравнения. [c.99]

Выясним геометрический смысл уравнения Бернулли. Нетрудно заметить, что все члены уравнения имеют линейную размеренность. Следовательно, каждый из них можно назвать высотой, а именно г — геометрическая высота, или высота положения р/у — пьезометрическая высота, или высота, соответствующая давлению — высота скоростного напора Лпот — высота потерь напора. [c.36]

Рассмотрена задача при заданном движении твердого тела в пространстве треСзется найти в нем такие точки, пять последовательных бесконечно близких положений которых располагались бы на одной сфере. Установлено уравнение геометрического места таких точек. На основе этого решена задача о приближении закона движения передаточного пространственного шарнирного четырехавенника к линейной зависимости с одним пятикратным узлом интерполяции. Рис. 1. Лит. 2 назв. [c.273]

Компоненты перемещения, деформации и напряжения истинного равновесного состояния геометрически линейной задачи теории упругости должны удовлетворять всей совокупности вьшисанных вьппе уравнений и соотношений. [c.40]

В частности, для геометрически линейных задач статически возможные напряжения должны удовлетворять следующим однородньтм уравнениям равновесия по объему [c.50]

Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [ 1.24, 1.30, 1.33-1.35]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошен-ко развиты в работах [ 1.4, 1.18,1.19, 1.31 и др.]. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [ 1,1, L7, 1.29]. Л.Я. Айнола [ 1,1] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. К.З. Галимо-вым выведены уравнения движения при конечных перемеще- [c.7]

Поскольку отсчитывается от срединной поверхности пакета, система pi состоит из четных и нечетных функций. Поэтому многие из Usr равны нулю, что уменьшает вызванную геометрической нелинейностью связанность системы квадратных алгебраических уравнений, получаемых прямыми методами отыскания точки стационарности функционала (VI. 13). В геометрически линейном случае системы уравнений относительно пар щ, Vi связаны лишь слагаемыми с множителем E/h. В связи с тем, что Apik = О, система относительно Ui, Ух оказывается изолированной. Ее решение отвечает первому приближению — средним по толщине пакета значениям а и ф. [c.106]

При бесконечно малой деформации материальной частицы все тензоры деформаций превращаются в тензор деформаций Коши е, который связан линейными соотношениями (1.56) с тензором градиента перемещений Н, а все тензоры напряжений превращаются в тензор напряжений Коши сг. Предположим, что условие бесконечно малой деформации выполнено для всех материальных частиц тела В. Деформацию тела при выполнении этого условия назовем геометрически линейной или бесконечно малой . Подход к формулировке уравнений с использованием тензоров деформаций е и напряжений сг назовем геометрически линейным или MNO (material nonlinear only) подходом. При этом наряду с геометрически линейным деформированием тела допускается физическая нелинейность деформирования, которая может присутствовать в определяющих соотношениях, связывающих тензоры напряжений и деформаций и/или их скорости. [c.65]

Что же касается смещения центра элемента, то, как это легко заметить на основе предыдущих примеров вывода уравнений бифуркации (и, в частности, уравнений (1.1) и (1.6)), это смещение при характерных для таких проблем условиях бесконечной малости само по себе в уравнение равновесия не входит и впоследствии возникает при расшифровке угла поворота. Это связано с ррене-брежимой малостью изменения характерных размеров элемента (длины отрезка осевой линии). При написании уравнений равно весия для большинства бифуркационных задач, вообще говоря можно учитывать лишь повороты элемента как жесткого целого Этот минимальный шаг отхода от геометрически линейного при ближения обычно оказывается достаточным для правильной по становки бифуркационной проблемы и, в частности, тех задач, что рассматриваются в дальнейшем. Необходимо, однако, отметить, что в некоторых случаях такое упрощение может оказаться чрезмерным. Так, в рассмотренной выше задаче о стержне, погружаемом в жидкость, неучет изгибания элемента приводит к невозможности отыскания критического параметра. [c.65]

Отметим, что для жидкостей, когда A aij можно считать в точности совпадающим с Аац, бифуркационная проблема в общем случае все же не замыкается в параметрах мгновенного состояния, ибо в краевых условиях (1.42) и (1.47) присутствует параметр Ао),7, выражающийся через перемещения. Только в случае, когда в качестве краевых выступают чисто кинематические условия, сформулированные в скоростях перемещения, задача становится замкнутой, но при этом в рассматриваемой здесь квазиста-тической постановке она вырождается в геометрически линейную, с уравнением (1.36) и однородными краевыми условиями в скоростях перемещения, в которой бифуркационная ситуация невозможна. Задачи такого типа нужно рассматривать в динамической постановке (см., например, [47]), которой мы здесь не касаемся. [c.190]

Для геометрически линейных систем при линейной ползучести, когда возмущенное движение описывается линейными дифференциальными уравнениями, устойчивость на бесконечном интервале времени вполне определяется спектром соответствующего оператора. Обращение к начальным условия1 имеет значение в связи с анализом возмущенных движений геометрически нелинейных систем (типа оболочек). Здесь даже при линейной ползучести необходим учет начальных.условий при исследовании ползучести. [c.248]

В задаче устойчивости круговой замкнутой цилиндрической оболочки в условиях ползучести при действии продольной сжимающей нагрузки для расчета критического времени необходимо задать некоторый начальный прогиб. В работах Френча и Пателя, Самуэлсона, Хоффа [240] задается осесимметричный периодический по длине оболочки начальный прогиб. В течение всего процесса ползучести в возмущенном движении оболочка остается осесимметричной, й критическое время (в геометрически линейной постановке) определяется обращением прогиба в бесконечность. В уравнениях, описы-вгиощих ползучесть, Хофф в работе [240], как и в большинстве своих работ, не учитывал упругих деформаций. Зависимость критического времени от амплитуды нач-ального прогиба для двухслойной модели оболочки, как и в задачах выпучивания стержней, носит логарифмический характер, В работах последнего времени [242] Хофф предложил учитывать влияние упругой деформации на критическое время с помощью приближенной формулы [c.276]

Малые отклонения от основного состояния. При рассмотрении геометрически линейных задач о стержнях, пластинах и оболочках естественно рассматривать безмоментное напряженное состояние как основное и линеаризировать уравнения ползучести около основного состояния. Рассматривая задачу о сжатом стержне из материала, следующего закону ползучести с упрочнением, Ю. Н. Работнов и С. А. Шестериков (1956) установили, что вариации напряжений и деформаций связаны уравнением типа (5.2), в котором константы заменяются известными функциями времени. Прогиб представляет Ьобою функцию координаты, умноженную на функцию времени т ( ). Если стержень был первоначально прямой и в некоторый момент времени i ему сообщено возмущение, например приложена поперечная нагрузка, то можно указать такое критическое [c.146]

Метод асимптотического интегрирования обобш ен также для вывода уравнений динамики пластинок при больших перемещениях (Л. Я. Айнола, 1965, 1966). Результаты показывают, что известные уравнения мембранной теории Кармана, линейной теории изгиба с плоским напряженным состоянием и чисто линейной теории являются при определенных условиях нагрузки асимптотическими приближениями уравнений геометрически нелинейной теории упругости. Указанные выше исследования должны представлять интерес в отношении методики — уравнения движения и граничные условия выводятся из требования, чтобы вариация соответствующего функционала равнялась нулю с требуемой асимптотической точностью. [c.264]

Лапласа (1.18) при р = 0. Отсюда тотчас следует, что если граничные условия одинаковы, распределение потенциала в электролите будет таким же, как в вакууме. Благодаря конечной проводимости электролита это распределение в электролите гораздо легче измерить, чем в вакууме. Иэмерения обычно осуществляются с помощью измерительного моста и всегда на переменном токе (в противном случае электролит разлагался бы вследствие электролиза). Более того, так как уравнение Лапласа линейно, как потенциалы, так и геометрические размеры можно изменять по нашему усмотрению. [c.133]

Например, обработка результатов совместных измерений к геометрических параметров серийной партии п деталей часто сводится к решению линейной модели — уравнения множественной линейной регрессии — относительно любой из к перемеи1)ых [c.339]

Теперь мы должны разложить силовую функцию 1/ в ряд но степеням 6, ф,. .. Если все координаты 6, ф,. .. являются независимыми, то линейные относительно координат члены уничтожаются, потому что в положении равновесия в силу принципа возможных перемещений дОЮв, ди1д(р,. .. обращаются в нуль для всех вариаций 6, ф,. .., совместимых с уравнениями геометрических связей. Последнее не является необходимым, когда 0, ф,. .. удовлетворяют уравнениям геометрических связей поэтому наше разложение примет вид [c.58]

Точные уравнения равновесия (движения) сплошной среды и соотношения между деформациями и перемещениями в переменных Лагранжа выведены в известной монографии В. В. Новожилова [71.. Возможность перехода к линейным соотношениям открывается в случае, когда справедлив закон Гука — напряжения линейно зависят от деформаций (физическая линейность) — и деформации и углы поворота малы по сравнению с единицей (геометрическая линейность). Кроме того, необходимо еще одно условие линейные члены в уравнениях должны быть достаточно большими по сравнению с нелинейными. Так, при анализе сложного изгиба тонкостенных конструкций (изгиба при наличии растяжения или сжатия) в уравнениях равновесия, вообще говоря, нельзя пренебречь произведениями цепных сил на углы поворота — нелинейными членами, как бы ни малы были деформации и повороты. Здесь существует, однако, класс задач, в которых цепные усилия можно считать не зависящими от поперечного изгиба. В последнем случае уравнения становятся линейными (цепные усилия входят в них в качестве параметров). В динамике указанный класс суживается. Например, если статичес- [c.25]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...