Колебания Уравнения возмущенного движения

Координата tn представляет собой угловое отклонение плоскости, аппроксимирующей в смысле минимума среднего квадратичного отклонения возмущенную поверхность жидкости при п-й форме ее колебаний. Уравнения возмущенного движения (34) имеют в этом случае следующий вид [c.71]

Решение задачи о получении нормальной формы линейной системы (2.92) необходимо при исследовании устойчивости нелинейных уравнений возмущенного движения, при анализе нелинейных колебаний, при построении приближенных решений нелинейных гамильтоновых систе.м, где в качестве первого приближения берется обы шо решение линейной задачи. Поэтому целесообразно выбирать такие координаты, в которых решение линейной задачи записывалось бы наиболее просто. Простейшей вещественной формой уравнений (2.92) и будет нормальная форма. [c.125]

Уравнения (43.4) обращаются в исходные при = I2 = = 1я = О-Так как рассматриваются лишь малые колебания системы около ее основного движения, определяемого координатами q , 72,. ... s, то все уравнения возмущенного движения в этом елучае являются линейными уравнениями второго порядка. [c.231]

Ссылка автора на теорему Ляпунова ошибочна, а его точка зрения на значение метода малых колебаний при рассмотрении частных практических вопросов может ввести читателя в заблуждение. Метод малых колебаний приводит к исчерпывающему ответу, если все корпи характеристического уравнения имеют действительные отрицательные части или в том случае, когда хотя бы один из них имеет положительную вещественную часть. Если же имеются корни, действительные части которых равны нулю, то нельзя судить об устойчивости и неустойчивости по первому приближению, так как все будет зависеть от членов более высокого порядка в уравнениях возмущенного движения. Если псе корпи чисто мнимые, то требуется дополнительное исследование. Обычно это встречается при исследовании устойчивости консервативных систем, по в этих случаях можно вывести необходимое заключение из анализа интеграла энергии. Если в рассмотрение входят диссипативные силы, что обычно и бывает при решении технических проблем, то можно потребовать, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. В тех случаях, когда все же нельзя удовлетворить этому условию и когда входит, например, один нулевой корень, следует обратиться к исследованиям особых случаев" Ляпунова или изменить постановку задачи, что иногда бывает возможно. [c.425]

Перейдем к составлению уравнений малых колебаний жидкости в трубопроводе. Вводя вариации и линеаризируя уравнения возмущенного движения, мы так же, как и в 1, без труда получим уравнения в вариациях [c.207]

В тех случаях, когда надо учитывать взаимное влияние колебаний жидкости и упругих колебаний корпуса, уравнения возмущенного движения в плоскости рыскания можно представить в виде [c.500]

Общий метод исследования устойчивости упругих систем состоит в рассмотрении совокупности движений, смежных с невозмущенными. Этот метод тесно связан с общей теорией устойчивости движения и называется динамическим методом. При рассмотрении устойчивости форм равновесия уравнения возмущенного движения обычно линеаризуют. Получаемые таким путем уравнения описывают малые колебания системы около положения невозмущенного равновесия. Отсюда и другое название — метод малых колебаний (Е. Л. Николаи, 1928, 1929). [c.334]

Для обширного класса задач теории упругой устойчивости уравнения возмущенного движения содержат коэффициенты, периодически зависящие от времени. Таковы задачи об устойчивости установившихся вынужденных колебаний упругих систем прямолинейного упругого стержня, сжатого периодической продольной силой, упругой пластины или оболочки, совершающей периодические колебания в условиях безмоментной деформации, и т. д. К этому классу примыкают также некоторые задачи теории упругих колебаний для систем, параметры которых периодически изменяются во времени. Явления неустойчивости в таких системах называются параметрическим резонансом. [c.353]

Упомянутый резонанс является резонансом первого порядка и в случае общей динамической системы он должен был бы привести к неустойчивости, которая была бы обнаружена уже при анализе линейной системы дифференциальных уравнений возмущенного движения. Но в нашей конкретной задаче в линейном приближении этот резонанс не приводит к неустойчивости. Это происходит потому, что в линейной задаче плоские и пространственные колебания разделяются, а пространственное движение описывается при помощи функции Гамильтона [c.173]

Рассмотрим переход от некоторых обобщенных координат д1 к нормальным координатам х, с иной точки зрения. Идея такого подхода указана Лагранжем в Аналитической механике и заключается в преобразовании системы уравнений возмущенного движения к виду системы отдельных уравнений гармонических колебаний (7.57). [c.458]

Общее решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения (7.47) есть наложение (суперпозиция) нормальных колебаний, частоты которых называются собственными частотами колебаний консервативной системы. [c.459]

Если все у. положительны, то решения уравнений в вариациях дают устойчивость, если среди характеристичных чисел существует по меньшей мере одно отрицательное, то — неустойчивость. Из последнего неравенства следует, что для устойчивости ведущего движения по уравнениям в вариациях Пуанкаре необходимо, чтобы все характеристичные числа х были нулями. Для случая приводимых уравнений в вариациях Пуанкаре предложение это говорит, что вблизи устойчивого ведущего движения возмущенные движения имеют колебательный характер. Вопрос о частоте нормальных колебаний еще не разрешен. [c.242]

Возмущенное движение маятника представляет собой наложение этих колебаний на его движение, определяемое уравнениями [c.236]

Однако на падающем участке характеристики трения (при небольших значениях vo) величина RI) становится отрицательной (рис. III.1, б), и если сумма R ) + k обращается в нуль, то в уравнении (III. 13) исчезает член, определяющий затухание, и возмущенное движение будет представлять собой гармоническое колебание. Если же сумма + А окажется отрицательной, то решение уравнения (III.13) приобретает вид (11.53), но с положительным показателем в показательной функции. Это соответствует как бы отрицательному затуханию, при котором [c.158]

Исследование возмущенных движений с большими отклонениями в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми при малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений при этом вид нелинейности существенно влияет на характер процесса при неограниченном возрастании времени. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится к некоторому устойчивому режиму с постоянными амплитудами (пиковыми значениями) — режиму автоколебаний. [c.286]

Вебер пишет уравнения относительного движения вязкой жидкости и соответствующие граничные условия. При этом, вследствие малости возмущений поверхности и пульсаций давления, а также их производных, Вебер пренебрегает произведениями и высшими степенями указанных величин. Это дает возможность при написании уравнений относительного движения вязкой жидкости для малых колебаний пренебречь конвективными членами. В результате вместо полной производной от скорости по времени получаются частная производная и система линейных уравнений. Решение этих уравнений слагается из отдельных частных решений, например, с помощью рядов Фурье. [c.29]

Решение исходной системы уравнений неразрывности, движения и энергии можно получить методом разложения в ряд по малому параметру. Согласно теории пограничного слоя [41 ] уравнение нестационарного течения в пограничном слое можно разделить на уравнения для стационарного течения и нестационарного возмущающего воздействия. Для периодического возмущения, которое имеет место при гармоническом колебании пластины, решение уравнений динамического и температурного пограничных слоев можно представить в виде ряда [c.152]

Случай квазигармонических колебаний. Для приложений имеет основное значение вариант уравнений (32), соответствующий предположению, что возмущенное движение носит характер квазигармонических колебаний с медленно меняющейся частотой (О, амплитудой и фазой, при котором можно пренебречь второстепенными диссипативными членами, положив = О при п Ф т пт = Ря при п = т м малыми добавочными инерционными членами, появляющимися при Re оо и S 0. В результате уравнения (32) после гармонической линеаризации и переноса начала координат в метацентр G приобретут следующую форму [c.70]

При исследовании возмущенного движения модели в аэродинамической трубе с замерами прогибов и углов поворота критериальные уравнения для неустановившегося процесса колебаний имеют вид [c.196]

Дифференциальное уравнение движения лопасти в частных производных решается методом разделения переменных, приводящим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (аргумент — время) для ряда степеней свободы, подобных уравнению махового движения жесткой лопасти. Таким образом, отклонение z r,t) элемента лопасти от плоскости вращения может быть представлено в виде разложения деформации изгиба по собственным формам. Каждое уравнение движения соответствует своему тону собственных колебаний. Сначала необходимо найти подходящие собственные формы для вращающихся лопастей. Когда формы выбраны таким образом, что реакция лопасти на возмущение хорошо описывается несколькими первыми тонами, задачи динамики несущего винта могут быть решены с использованием минимального количества степеней свободы. - [c.357]

В главах 5—9 излагается теория ротационного движения спутника. В главе 5 выводятся и исследуются уравнения в оскулирующих элементах, наиболее удобные для исследования такого движения. Эти уравнения описывают эволюцию вектора кинетического момента в пространстве и эволюцию эйлерова движения относительно вектора кинетического момента. Исследование возмущенного движения удобно проводить асимптотическими методами теории колебаний. Осреднение по быстрому вращению и по орбитальному движению центра масс спутника позволяет выявить вековые эффекты возмущенного движения. Более точное приближение к решению ( второе приближение ) получается осреднением только по быстрому вращению (без осреднения по орбитальному движению). Показано, что в интересном для практики случае динамически симметрич- [c.12]

Исследование возмущенного движения сводится к исследованию уравнений (6.3.1) движения вектора L. В решении этих уравнений на вековое движение (6.2.4) накладываются еще периодические колебания о и р с небольшой (при малых значениях Nq) амплитудой и периодом, сравнимым с 2я. Так как v меняется сравнительно быстро, а а—медленно, то а — v меняется быстро и поэтому многократно проходит через экстремальные значения (в тех точках, где х = а — v имеет значе- [c.210]

Сравнивая уравнения (31.5) и (31.7), мы увидим, что период возмущенного движения совпадает с периодом возмущающей силы. Из уравнения (31.7) видно, далее, что горизонтальное смещение имеет ту же самую фазу, что и возмущающая сила, если — о > 0. Выясним физическое значение этого условия. Свободные колебания, для которых длина волны определяется по формуле X = 2Tt k, т. е. совпадает с длиной волны рассматриваемых вынужденных колебаний, распространяются со скоростью с, следовательно, период этих сво бодных колебаний равен [c.523]

Таким образом, при построении феноменологических теорий часто бывает удобно воспользоваться континуальным представлением, игнорируя атомную структуру вещества. Разумеется, именно так следует поступать, рассматривая истинно макроскопические процессы, например распространение звука в океане или прохождение света звезд через атмосферу и радиоволн в ионосфере. Материал рассматривается при этом как непрерывная среда, состав которой определяет локальную плотность, упругость, коэффициент отражения, диэлектрическую проницаемость и т. д., т. е. параметры, фигурирующие в волновом уравнении. Такой подход оправдан, так как здесь мы имеем дело с возмущениями, длина волны которых значительно превышает типичное расстояние между атомами. С другой стороны, в приложении к тепловым колебаниям или к движению электронов в неупорядоченной конденсированной среде континуальная трактовка редко бывает оправдана. Тем не менее математическое сходство этих задач с соответствующими задачами макроскопической физики наводит на мысль о том, что небесполезными могут оказаться и модели, в которых флуктуации плотности или вариации локального кристаллического порядка рассматриваются просто как физические причины изменений локального потенциала, плотности, скорости фононов и т. д. [c.134]

Для осциллятора, имеющего лишь одну степень свободы, п=2. В этом случае, согласно выражению (5.1), уравнение движения осциллятора становится линейным неоднородным уравнением, для решения которого теория дифференциальных уравнений предлагает ряд методов. Можно показать, что общее решение полного (неоднородного) уравнения L x)=f t) является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения Ь (л )=0 и частного решения неоднородного уравнения. Так как решение однородного уравнения соответствует собственным колебаниям исследуемой системы, при действии внешних возмущений движение этой системы представляется наложением свободных и вынужденных колебаний. [c.181]

Вопросами колебаний механических систем начал заниматься еще Лагранж. Дифференциальные уравнения возмущенных движений ири возмущениях силами Лагранж получил методом изменения произвольных постоянных. Пусть механпческая система стеснена идеальными голономными связями и находится под действием сил с силовой функцией пусть q р, — ее координаты и импульсы, а Ho t, q р,)—функция Гамильтона для невозмущенного движения. [c.233]

Известно [1], что в силовых гидравлических системах в результате действия демпфирующих сил резонансные максимумы частотных характеристик при продольных колебаниях рабочей жидкости в магистралях существенно уменьшаются, начиная со второго. Рассмотрим одночастотный режим колебаний для случая основного разонанса, пренебрегая в первом приближении влиянием малых гармоник. Пользуясь решением (5) уравнения (4), а также имея в виду малость параметра е, будем считать, что формы колебаний для решения уравнения возмущенного движения с достаточной точностью определяются функциями sin Поэтому решение уравнения (2) с учетом равенств (6) будем искать в виде [c.292]

В инженерной практике широко распространены конструкции, элементы которых имеют полости или отсеки, содержащие жидкость, иапример, объекты авиационной и ракетно-космической техники, танкеры и плавучие топливозаправочные станции, суда для перевозки сжиженных газов и стационарные резервуары, предназначенные для хранения нефтепродуктов и сжиженных газов, ректификационные колонны и т. д. В большинстве случаев жидкость-заполняет соответствующие полостн или отсеки лишь частично, так что имеется свободная поверхность, являющаяся границей раздела между жидкостью и находящимся над ней газом (в частности, воздухом). Обычно можно считать (за исключением особых случаев движения тела с жидкостью в условиях, близких к невесомости, которые здесь не рассматриваются), что колебания жидкости происходят в поле массовых сил, гравитационных и инерционных, связанных с некоторым невозмущенным движением. Как правило, это поле можно в первом приближении считать потенциальным, а само возмущенное движение отсека и жидкости — носящим характер малых колебаний, что Оправдывает линеаризацию уравнений возмущенного движения. Ряд актуальных для практики случаев возмущенного движения жидкости характеризуется большими числами Рейнольдса, что позволяет использовать при описании этого движения концепцию пограничного слоя, считая, кроме того, жидкость несжимаемой. Эти гипотезы лежат в основе теории, излагаемой ниже [23, 28, 32, 34, 45, 54J. Учету нелинейности немалых колебаний жидкости посвящены, например, работы [15, 26, 29, 30]. Взаимное влияние колебаний отсека и жидкости при ее волновых движениях может сильно изменять устойчивость системы, а иногда порождать неустойчивость, невозможную при отсутствии подвижности жидкости. В качестве примера можно привести резкое ухудшение остойчивости корабля при наличии жидких грузов и Динамическую неустойчивость автоматически управляемых ракет-носителей и космических аппаратов с жидкостными ракетными двигателями при неправильном выборе структуры или параметров автомата стабилизации. Поэтому одной из основных Задач при проектировании всех этих объектов является обеспечение их динамической устойчивости [9, 10, 39, 43]. Для гражданских и промышленных сооружений с отсеками, содержащими жидкость, центр тяжести при исследовании их динамики смещается в область определения дополнительных гидродинамических нагрузок, например при сейсмических колебаниях сооружения [31]. [c.61]

Включение в правую часть уравнения (106) сил, передаваемых со стороны жидкости, и д(1ссипативных сил, связанных с конструкционным демпфированием при упругих колебаниях корпуса, а также использование собственных функций Ц/ (j ) краевой задачи (107), ортогональных на отрезке [О, / , приводит к следующим уравнениям возмущенного движения рассматриваемой конструкции [c.88]

Вследствие колебаний рельсовых экипажей сила давления Р, на оси колесных пар изменяется во времени, поэтому изменяются и силы псевдоскольження. Уравнения возмущенного движения имеют переменные коэффициенты, т. е. системы неавтономны. Однако, если даже = 0,7, [c.411]

Для исключения быстрозатухающих решений исходную систему дифференциальных уравнений возмущенного движения линеаризуют с помощью линейного приближения Чебышева и приводят к главным фазовым координатам. Главные координаты, соответствующие быстрозатухающим решениям, полагают равными нулю. Это дает возможность выразить часть обобщенных координат через остальные. Полученные выражения подставляют в исходную нелинейную систему. При этом порядок системы уравнений, описывающей установившийся режим колебаний, существенно понижается. В случае, когда система не асимптотически устойчива, но имеет устойчивый предельный цикл, такой прием позволяет определять амплитуды, соответств ую-щие предельному циклу, алгебраически. [c.412]

Уравнения возмущенного движения ракеты (в плоскости рыскания) с учетом упругил поперечных колебаний корпуса можно представить [c.495]

Трактат об устойчивости заданного состояния движения... Э. Рауса появился в 1877 г. В нем изложено в общем виде составление дифференциальных уравнений возмущенного движения, т. е. уравнений для отклонений координат системы от их значений, соответствующих заданному состоянию движения. Эти отклонения, в трактовке Рауса, вызываются мгновенными возмущениями (по сути это возмущения начальных данных). В первую очередь, как орудие исследования возмущенного движения, рассматривается метод линеаризации (теория малых колебаний). Раус переоткрывает результаты Вейерштрасса и Сомова и дает критерий для суждения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Определение устойчивости у Рауса остается в достаточной мере расплывчатым. Оно связано с понятием малости возмущений, а малы те величины, для которых возможно найти такое число, численно большее, чем каждая из них, и такое, что квадратом его можно пренебречь . Как выражается Раус, это число есть стан- [c.121]

Вопрос о необходимости учета перемещений в невозмущенном состоянии при составлении уравнений возмущенного движения был поставлен Г. Ю. Джанелидзе и В. В. Болотиным (1956). Было установлено, например, что в задаче об устойчивости прямолинейной формы стержня, снсатого периодической продольной силой, возможны явления неустойчивости при частоте внешней силы, близкой к частоте собственных продольных колебаний стержня. Большое число задач об устойчивости стержней, стержневых систем, пластин и оболочек было решено с учетом перемещений в невозмущенном состоянии. Дальнейшие исследования были выполнены Г. В. Ми-шенковым (1961), В. Ц. Гнуни (1961) и другими. В последней работе было показано, что учет перемещений в невозмущенном состоянии может расширить границы области неустойчивости для пологой панели на несколько десятков процентов. [c.355]

Уравнение медленного движения есть уравнение эволюции медленных переменных при условии, что быстрые поддерживаются в равновесных состояниях. Основной замысел теории релаксационных колебаний — построение асимптотик истинного-возмущенного движения из сменяющихся отрезков быстрого и медленного движений. [c.169]

Наконец, нужно отметить, что опыт привел к подтверждению того, что в наиболее часто встречающихся случаях, т. е. когда речь идет о сейсмических возмущениях, вызываемых отдаленными землетрясениями (микроколебания, происходящие от удаленных источников возмущений), можно прямо пренебречь вращением земных осей относительно осей геоидных, так что движение осей Охуг можно рассматривать как чисто поступательное. В этом случае в силу равенств (65) и , будут равны горизонтальным составляющим и, v скорости сейсмического колебания. Уравнения же (69), вследствие того что вначале (т. е. в условиях покоя) прямая ОР направлена вертикально, дают у, = в силу чего уравнения (68) приводятся к следующим [c.315]

Колебания в окрестности установившегося движения. Если установившееся движение устойчиво, так что вызываемое малыми возмущениями отклонение от установившегося движения остается все время малым, то можно получить приближение к возмущенному движению, полон ив в уравнени- [c.164]

Для контроля того шш иного стационарного режима вынужденных колебаний рассматривают свойства возмущенного движения, близкого к исследуемому невозмутценному. Если возмущенное движение с течением времени приближается к невозмущенному (или, по крайней мере, не удаляется от него), то последнее признают устойчивьш (в противоположном случае -неустойчивым). В нелинейных системах дифференциальное уравнение для вариации координаты линейно и имеет вид уравнения Матье. Для суждения об устойчивости пользуются диаграммой Айнса-Стретта. [c.371]

Общий метод исследования У. у. с. состоит в рассмотрении совокупности движений, смежных с нево.з-мущенным равновесием (движением). Этот метод наз. в теории У. у. с. динамич. методом или методом малых колебаний. 11рп составлении ур-иий возмущенного движеиия в общем случае приходится исходить из уравнений нелинейной упругости теории [3]. В нростых частных случаях ур-ния возмущенного движения могут быть получены нз классич. ур-ний теории упругости введением в них нек-рых членов. Дальнейшее исследование сводится к установлению области параметров, в пределах к-рой решения линеаризованных ур-ний возмущенного движеиия затухают или остаются огратгченными во времени [4]. [c.276]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...