Динамические системы общие

Динамические системы, общая теория 194 [c.405]

Динамические системы общего положения с гиперболическими периодическими точками [c.296]

Нелинейные динамические системы (общие свойства и методы исследования) [c.307]

Для того чтобы построить фазовый портрет исследуемой динамической системы, общий вид уравнения которой может быть записан в виде двух уравнений первого порядка [c.481]

В 5 были рассмотрены некоторые общие свойства прямого пути, отличающие его от прочих путей. В развитии такого подхода в этом параграфе будут рассматриваться некоторые общие свойства множества прямых путей. Все прямые пути этого множества принадлежат одной и той же динамической системе и отличаются один от другого выбором начальных данных. [c.293]

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

Если оператор Т является нелинейным, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Кроме того, оператор Т может быть непрерывным или дискретным. Форма задания оператора Т может быть дифференциальной, интегральной, матричной, табличной и т. д. В этой книге речь пойдет о дискретных математических моделях динамических систем, состояние которых определяется конечным числом переменных, с непрерывным фазовым пространством и непрерывным дифференциальным оператором Т, в общем случае.нелинейным. Таким образом, мы будем рассматривать динамические системы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями в обыкновенных производных. [c.10]

В этой главе рассматриваются автономные динамические системы с одной степенью свободы. Уравнения движения такой системы в общем случае записываются в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка [c.41]

В этом параграфе рассматриваются квазилинейные динамические системы с двумя степенями свободы при наличии гироскопических сил. Уравнения движения такой системы в общем случае имеют вид [c.168]

Выше были описаны локальная структура и локальные бифуркации состояний равновесия и периодических движений. Наибольший непосредственный интерес среди них представляют устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. Только они могут быть установившимися движениями динамической системы, ее состояниями равновесия и периодическими движениями. Каждое устойчивое состояние равновесия и устойчивое периодическое движение имеет свою область притяжения. Возможен случай, когда эти области притяжения почти целиком заполняют все фазовое пространство. Под словами почти целиком имеется в виду, что вне этих областей могут быть лишь точки, не образующие областей, с общей нулевой мерой, например отдельные точки, линии или поверхности размерности, меньшей, чем размерность пространства. Для двумерных систем именно такова структура фазового пространства в общем случае. Для многомерных систем это не так. Однако было бы естественным выделить из них подкласс динамических систем с такой структурой — класс динамических систем, установившимися движениями которого могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения и почти все остальные движения являются асимптотическими по отношению к одному из них. Оговорка почти не имеет прямого смысла, поскольку в такой динамической системе нет реализуемых движений, отличных от устойчивых состояний равновесия и периодических движений и асимптотически приближающихся к ним. Она имеет чисто математический смысл, который, однако, имеет совсем другое, очень важное отношение к реальному поведению динамической системы. Эти исключительные и нереализуемые движения отделяют друг от друга движения, приближающиеся к различным установившимся движениям. В этом и состоит их [c.268]

Вернемся к доказательству утверждения, на котором основаны изложенные выше общие соображения. Прежде всего введем некоторые определения. Совокупность состояний равновесия и периодических движений и их интегральных многообразий назовем скелетом динамической системы. Замкнутый контур, составленный из фазовых траекторий, конец каждой из которых соединен с началом следующей, назовем циклом. На рис. 7,27 приведен пример цикла, составленного из трех фазовых траекторий. [c.279]

Теорема 7.1 [40J. Динамическая система с простейшими установившимися движениями, имеющая конечное число простых состояний равновесия и периодических движений и пересечения интегральных многообразий только общего типа, не имеет циклов. [c.279]

Указанные объекты изучения называются динамическими системами. Исследование их общих уравнений ведется на общем языке, в основу которого положена терминология механических явлений. [c.199]

Интерес к линейным динамическим системам определяется тем, что многие инженерные задачи сводятся к исследованию таких систем. Для изучения линейных систем развиты общие методы, обладающие вышкой степенью совершенства. Особой простотой отличается математический аппарат линейных систем с постоянными коэффициентами. Указанное обстоятельство приводит к тому, что инженеры стремятся проектировать линейные динамические системы с постоянными коэффициентами, хотя бы на небольших интер-.валах изменения переменного. [c.199]

Механизмы, подверженные колебаниям, можно моделировать механической системой с конечным числом степеней свободы, движение которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода. Предположение о малости колебаний приводит к линейным динамическим системам с постоянными коэффициентами. Эти уравнения интегрируются в общем )зиде, что позволяет полностью исследовать явления, которые они описывают. [c.200]

В теории колебаний изучаются колебательные процессы с целью выяснения общих особенностей и закономерностей протекания этих процессов в различных динамических системах и условий их существования, т. е. проводится рассмотрение специфического типа движений, присущего определенному классу систем. Подобные динамические системы, в которых могут существовать колебательные процессы, принято называть колебательными системами. [c.9]

Кроме отмеченных выше специфических проявлений механистического упрощенного мировоззрения, типичного для 18 века, труд Лагранжа, разумеется, не свободен и от известных недостатков специального научного характера. Некоторые теоремы (например — теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной динамической системы и т. п.) доказаны в нем недостаточно строго, некоторые выводы недостаточна ясны или недостаточно общи (вывод условий равновесия проведен только для удерживающих связей, а вывод уравнений движения дан только для удерживающих и не зависящих от времени связей и т. д.). Дальнейший прогресс аналитической механики в 19 веке устранил эти недостатки и принес существенные обобщения системы аналитической механики Лагранжа, причем в этом прогрессе науки исключительно важную роль сыграли труды представителей передовой русской школы механики, школы Остроградского — Чебышева — Ляпунова Жуковского. [c.6]

Колебания циклической системы. Наиболее общий вид, который могут принять уравнения малых колебаний динамической системы при введении членов, пропорциональных скоростям, будет [c.246]

Общий критерий, применимый ко всем динамическим системам, заключается в следующем. Пусть О и Р означают две конфигурации на естественной траектории ) системы. Если это — единственная свободная траектория, идущая от О до Р, с заданной полной энергией, то действие от О до Р будет мини- [c.270]

Формулы (24.5.2), (24.5.3) представляют особый интерес вследствие их сходства с уравнениями движения Гамильтона. Вспомним, что впервые рассмотренные нами контактные преобразования определялись движением динамической системы. Теперь мы видим, что и в общем случае контактные преобразования определяются уравнениями сходной структуры. [c.495]

Принцип наименьшего действия в форме Якоби (27.3.2) для общего случая динамической системы принимает следующий вид [c.555]

Движущиеся системы отсчета ). Пусть — твердое тело, находящееся в заданном движении самого общего характера. Возьмем S в качестве системы отсчета и найдем уравнения движения динамической системы относительно этого тела. В 32 мы решали такую задачу для одной частицы. Теперь рассмотрим динамическую систему, состоящую из Р частиц со склерономными голономными связями, так что имеются обобщенные координаты (q = 1, 2,. . ., jV), определяющие конфигурацию системы относительно тела S эти координаты могут свободно изменяться, не нарушая связей. [c.139]

В настоящей книге сделана попытка дать геометрической интуиции необходимое место в общей динамической теории, систематически употребляя пространства представлений, в которых движение изображающей точки соответствует движению динамической системы ). [c.199]

Весьма широкая область возможного применения Гп-пре-образования обусловлена прежде всего тем, что для крутильных динамических моделей многозвенных зубчатых передач различных машинных агрегатов выполняются -преобразования общего вида [1]. Кроме того, модель любой несвободной динамической системы, характеризующейся полными голономными связями и наличием обобщенной квазистатической координаты, удовлетворяет условиям (5) Г -преобразования. Действительно, дифференциальные уравнения движения такой системы на основе формализма Лагранжа можно записать в виде [2] [c.47]

Вопрос о малости (Л) при доказательствах теоремы Лиувилля не представлял бы 1гнтереса если бы не тот общеизвестный факт, что Пуанкаре показал - динамические системы общего вида (в частгюсти, не имеющие первых иитегра юв в инволюции) иеиитегрируемы 2/ первых интегралов для них не существует). Если коэффициенты при с/1 ненулевые, [c.92]

После этих общих вводных слов перейдем к изложению накопленных к настоящему времени сведений о мно омер-ных динамических системах. Это изложение, по необходимости выборочное, содержит в первую очередь факты, п люющие наибольшее значение для общего понимания особенностей многомерных динамических систем, трактуемых в первую очередь как особенности структуры разбиения на траектории ее фазового пространства. [c.240]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

При этом точка принадлежит либо одной из поверхностей о[, либо одному из интегральных многообразий Sg. Аналогично точка х принадлежит либо одной из говерх-ностей at, либо одному из интегральных многообразий Оказывается, что при достаточно малых окрестностях, выделяющих состояния равновесия и периодические движения, ни одна фазовая траектория не пересекает одну и ту же поверхность ш дважды. Поэтому в любой последовательности (7.37) общее число точек s -f / + 1 не более некоторого конечного N. Это означает, что всевозможным фазовым траекториям рассматриваемой динамической системы соответствует конечное число различных конечных последовательностей точечных отображений Т (а" си ), Т (сй ш ) и 7 (со -> СТ+). Все эти последовательности могут быть в принципе найдены следующим образом. Точки каждой из поверхностей oj преобразуются в какие-то поверхности af и со. В свою очередь каждая из поверхностей i),i преобразуется в какие-то области wj П Os и й Г wf [c.277]

Притягивающие гомоклинические структуры и стохастические колебания. Перейдем теперь к описанию возможных общих механизмов самогенерирования стохастичности динамической системой. Они связаны с появлением в фазовом пространстве динамической системы гомоклини-ческих структур, появление которых так же, как и возникновение автоколебаний и многопериодических колебаний, вызвано возникновением в системе неустойчивости [24, 25, 42]. [c.331]

В настоящее время можно с полной уверенностью говорить о теории колебаний как о вполне определившейся дисциплине, посвященной изучению общих закономерностей колебательных процессов в различных системах. Имеется обширная литература по вопросам теории колебаний, и на русском языке издано немало отличных книг по различным отдельным ее разделам. Однако, по нашему мнению, большинство из них посвящено рассмотрению методов теории колебаний, а изучение колебательных процессов и их специфики в конкретных системах проводится лишь для иллюстрации тех или иных приемов. С другой стороны, есть ряд интересных монографий, посвященных рассмотрению отдельных типов колебательных процессов в частном классе систем. Вместе с тем, по нашему мнению, в основе теории колебаний для физиков и специалистов инженерных специальностей должно лежать рассмотрение колебательных процессов в различных динамических системах, встречающихся в технике и физике, с. использованием в каждом случае наиболее адекватных методов анализа и расчета. Поэтому наибольшее внимание должно быть уделено рассмотрению нелинейных систем с использованием соответствующих мето дов анализа. [c.7]

Предметом теоригг колебаний является рассмотреггие общих закономерностей колебательных процессов в различных динамических системах. [c.9]

Динамика механизмов с последовательно соединенными упругими звеньями. На рис. -67, а была показана схема зубчатого механизма, который можно рассматривать как последовательное соединение жестких звеньев (зубчатых колес, маховиков и т. п.), соединенных упругими элементами (упругими валами и муфтами). Такое соединение иногда называют цепной системой. Общее число степеней свободы цепной системы с упругими элементами равно сумме числа степеней свободы механизма с жесткими звеньями и числа упругих элементов. Если воспользоваться методом приведенных жесткостей, то можно уменьшить общее число степеней свободы. Например, число степеней свободы механизма, показанного на рис. 67, а, при трех упругих валах равно 4. Если при рассмотрении условий передачи сил от од1ГОго звена к смежному с ним пренебречь инерцией зубчатых колес, то можно выполнеть приведение последовательно соединенных жесткостей и рассматривать двухмассовую динамическую модель (см. рис. 67, 6), которая при постоянной скорости вала двигате-яя имеет одну колебательную степень свободы и, соответственно, одну собственную частоту. При анализе резонансных рел имов такое рассмотрение недопустимо, так как резонанс может наступить при других значениях собственных частот, число которых равно числу степеней свободы. [c.243]

Простое гармоническое движение. Рассмотрим случай притяжения материальной точки к неподвижной точке, нахолящейся на линии движения, с силою, пропорциональною расстоянию от этой неподвижной точки этот случай важен как типичный для самого общего случая динамической системы с одною степенью свободы, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия. [c.27]

Уравнения относительно вращающейся системы. Представляет интерес общая форма уравнений движения динамической системы относительно <1сей, вращающихся с постоянной угловой скоростью. Эти уравнения рассматриваются при изучении таких вопросов, как теория приливов на вращающейся планете. [c.200]

Предположим теперь, что в какой-нибудь лаграпжевой системе в общем смысле или, в частности, в динамической системе функция S не зависит от одной из переменных q, например от qi- В этом случае уравнение с индексом i даст непосредственно первый интеграл [c.299]

Постоянство скобок Лаграняса. Если общее решение уравнений Гамильтона для заданной динамической системы имеет вид [c.517]

Периодические орбиты. Как правило, уравнения движения динамической системы при произвольных начальных условиях не удается проинтегрировать до конца. Так обстоит дело, в частности, и для задачи трех тел. Мы видели ( 17.10), что даже классификация возможных типов траекторий в общем случае встречает больпше трудности. Однако иногда мы в состоянии найти периодические орбиты или по крайней мере доказать их существование. Пуанкаре в своей классической работе о задаче трех тел придавал особое значение отысканию периодических решений и считал это отправным пунктом для решения общей задачи о классификации и интегрировании ). Траектории могут быть периодическими как в абсолютном смысле (по отношению к неподвижным осям), так и в относительном смысле (по отношению к осям, движущимся определенным образом). Например, в ограниченной задаче трех тел мы говорим о периодических траекториях частиц относительно вращающихся осей. [c.602]

Тензорные методы прилагаются к динамике в первую очередь не для того, чтобы разрешать некоторые конкретные динамические задачи. Целью этих методов является скорее адэкватное изложение так называемых общих проблем динамики", делающееся возможным при проникновении в динамику идей римано-вой или даже еще более общей геометрии. В этом направлении получены неожиданно прекрасные результаты. Мы обнаруживаем, что поведение общей динамической системы в точности такое, какое естественно приписать точке в iV-мерном про- [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...