Ансамбль статистический плотность его

Рассмотрим теперь основные понятия квантовой статистической механики — чистые и смешанные квантовые ансамбли, статистический оператор (или матрицу плотности) и квантовое уравнение Лиувилля. Обсудим также симметрию по отношению к обращению времени в квантовой статистике. [c.22]

Для гамильтоновой системы статистический ансамбль имеет плотность p(q, р, ). Показать, что интеграл [c.231]

В статистической механике рассматриваемая система описывается микроканоническим ансамблем, оператор плотности которого в энергетическом представлении выражается следущим образом [c.41]

Если теперь выбрать в момент малую область А5о, зафиксировать системы ансамбля, которые при t = представляются точками области Д5д, и далее вести наблюдение за ними (т. е. считать, что Аг неизменно) и учесть, что в силу теоремы Лиу-вилля объем ДК также не меняется во время движения, то отсюда сразу следует, что отношение р не меняется во времени. Следовательно, плотность статистического ансамбля не меняется во время его движения, т. е. [c.302]

Следовательно, статистический ансамбль Гиббса, задается плотностью вероятности микросостояния системы, или фазовой функцией распределения (11.3), которая нормируется на единицу [c.185]

Так, например, для консервативной системы любая функция от энергии системы может служить плотностью статистического ансамбля. [c.145]

Если ансамбль систем находится в состоянии статистического равновесия, то число систем, находящихся в данном состоянии, не должно изменяться со временем, и, следовательно, плотность D в данной точке фазового пространства должна быть постоянной. Изменение D в данной точке пространства [c.296]

Следовательно, выбирая плотность D как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона [D, Н] будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность D может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность D постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем. [c.296]

В статистической механике ) мы рассматриваем огромное число п идентичных гамильтоновых систем, отличающихся только их начальными условиями. Суперпозиция этих систем в пространстве QP дает ансамбль ( облако тонкодисперсной пыли ) изображающих -точек с плотностью вероятности f q, р, t), такой, что nf dq dp есть число изображающих точек в элементе объема dq dp в момент времени t. Когда элемент dq dp движется, согласно каноническим уравнениям его объем сохраняется, также сохраняется число изображающих точек в нем. Отсюда df/dt = О или, что эквивалентно, [c.347]

При статистическом описании вводится совокупность изображающих точек и их траекторий, соответствующих всем возможным микроскопическим состояниям системы. Это множество (фазовый ансамбль) наделяется вероятностными свойствами, которые характеризуются совместной плотностью вероятности р х ,. .., Лед, t). Через фазовую плотность вероятности определяются [c.39]

Упругие свойства пористой прессовки представляют собой результат упругих деформаций всего статистического ансамбля составляющих ее частиц порошка. Механизм изменения модуля упругости порошкового тела в процессе консолидации основан на сопутствующем этому процессу изменении связи частиц [85]. На начальной стадии процесса частицы порошка имеют увеличенную свободу деформации, что объясняется незначительной площадью их взаимного контакта. По мере роста давления прессования возрастает плотность прессовки, увеличивается площадь взаимного контакта, взаимная связь отдельных частиц. В результате начинает уменьшаться свобода деформации отдельных частиц порошкового тела, возрастает его жесткость. [c.80]

Здесь мы введем способы описания статистических процессов. К ним относятся усреднение по ансамблю и пространственной области, корреляционные функции, а также понятие спектральной плотности. Использование статистических методов при анализе линейных систем иллюстрируется конкретными примерами. [c.78]

Так, например, пусть, в случае трех степеней свободы, системами являются тяжелые точки, подвешенные на упругих, лишенных массы нитях, и пусть ансамбль распределен по фазам с плотностью, пропорциональной некоторой функции энергии, и, следовательно, находится в статистическом равновесии. В качестве изменения внешних координат мы можем принять горизонта.пьное движение точки подвеса. Если она передвигается на заданное расстояние, получающееся нарушение статистического равновесия может быть, очевидно, -неограниченно уменьшено путем уменьшения скорости точки подвеса. Это имеет место как в том случае, когда закон упругости нити таков, что период колебания не зависит от энергии в этом случае тенденция вернуться с течением времени к статистическому равновесию отсутствует), так и в более общем случае, когда имеется тенденция к статистическому равновесию. [c.156]

Имея это в виду, допустим, что некоторый ансамбль находится в статистическом равновесии. Следовательно, в каждом элементе фазового объема фазовая плотность D равна ее средней величине по траектории Пусть внешние координаты испытывают внезапно малое изменение. Статистическое равновесие нарушится, и мы не будем больше иметь повсюду [c.156]

Статистический ансамбль может быть задан фазовой функцией распределения которая пропорциональна плотности вероятности распределения систем ансамбля в фазовом пространстве. Такая интерпретация функции распределения означает, что g q,p,t) нормирована на единицу. Вводя элемент фазового объема dT, имеем р [c.14]

Классическая статистическая механика есть предельный случай квантовой статистики при достаточно высоких температурах или малой плотности частиц, когда квантовыми эффектами можно пренебречь. В обоих случаях можно использовать понятие статистического ансамбля, чтобы описать макроскопическое состояние интересующей нас системы. Более того, мы увидим, что многие соотношения неравновесной статистической механики удается представить в форме, одинаково пригодной для классических и квантовых систем. Наиболее важными понятиями, общими для классической и квантовой статистики, являются скобки Пуассона и оператор Лиувилля. В предыдущем параграфе мы ввели их для классических систем. Теперь мы определим их для квантового случая. В дальнейшем формальная аналогия между классической и квантовой статистической механикой будет часто использоваться, поскольку, с одной стороны, она позволяет глубже понять многие проблемы, не зависящие от законов движения [c.22]

Достоинства квазиравновесного статистического оператора (4.1.32) заключаются в его простой структуре и в простом правиле вычисления средних для квазиравновесного ансамбля. В частности, все квазиравновесные 5-частичные матрицы g t) можно выразить через одночастичную по теореме Вика. Папример, легко проверить, что элементы квазиравновесной двухчастичной матрицы плотности имеют вид [c.268]

Предположим, что суммирование по 5 в (4.3.30) ведется в пределах 1 < 5 < ш. Тогда в квазиравновесном состоянии приведенные матрицы плотности при s <т рассматриваются как независимые неравновесные величины, а матрицы плотности более высокого порядка выражаются через них. Частный случай ш = 1 соответствует граничному условию Боголюбова, согласно которому все приведенные матрицы плотности в отдаленном прошлом выражаются через одночастичную. Если в формуле (4.3.30) мы положим 5 = О при 5 > 3, то получим статистический оператор для квазиравновесного ансамбля, в котором заданными величинами являются одночастичная и двухчастичная матрицы плотности. Этот ансамбль описывает важные долгоживущие корреляции, например, связанные двухчастичные состояния ). Эволюция системы описывается системой уравнений для одночастичной и двухчастичной матриц плотности. Здесь мы не будем излагать эту довольно сложную теорию, а рассмотрим один частный, но важный пример обобщенного квазиравновесного статистического оператора, который соответствует объединению кинетического и гидродинамического описаний квантовых процессов [128]. [c.289]

Если начальное состояние описывается статистическим ансамблем систем с фиксированным числом частиц то 5 = 1,2,... Для большого ансамбля, который более удобен в теории бозе- и ферми-систем, нужно, в принципе, задать бесконечную последовательность приведенных матриц плотности ). Наконец, статистический оператор ( о) можно попытаться найти, рассматривая эволюцию системы при t < т. е. сам процесс возникновения неравновесного состояния. [c.63]

Интересным приложением неравновесной статистической механики является теория открытых систем, которая активно развивается в последние десятилетия (см., например, [78, 136]). Наиболее впечатляющим свойством открытых систем является самоорганизация , т. е. возникновение упорядоченных макроскопических структур. В главе 7 было выведено основное кинетическое уравнение для матрицы плотности открытой системы, взаимодействующей с термостатом. Однако, как правило, реальные открытые системы взаимодействует с окружением, которое само находится в неравновесном состоянии. Поэтому актуальной задачей является разработка метода построения статистических ансамблей, представляющих состояние открытой системы, взаимодействующей с другими неравновесными системами. [c.281]

Выше уже указывалось, что гидродинамические поля скорости, давления, температуры и т. д. в случае турбулентных течений имеют столь сложную структуру, что их индивидуальное описание оказывается практически невозможным. Поэтому здесь приходится рассматривать сразу целую совокупность аналогичных течений и изучать лишь осредненные статистические характеристики этой совокупности, предполагая, что все рассматриваемые гидродинамические поля являются случайными полями (в смысле, объясненном в п. 3.2). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что такой подход является возможным, т. е. турбулентными мы будем называть лишь такие течения, для которых существует статистический ансамбль аналогичных течений, характеризуемый определенными распределениями вероятности (с непрерывными плотностями) для значений всевозможных гидродинамических полей. Отметим в этой связи, что обычное определение турбулентных течений просто как течений, сопровождающихся беспорядочными пульсациями всех гидродинамических величин, еще недостаточно для возможности построения математической теории турбулентности. Если же соответствующий статистический ансамбль существует, то отвечающее ему статистическое описание гидродинамических полей турбулентности и с чисто практической точки зрения не будет неполным , так как знание всех деталей очень запутанного индивидуального поля для практики никогда не нужно, а интерес представляют, в первую очередь, средние характеристики. Правда, на практике обычно используются не средние по ансамблю, а временные или пространственные средние поэтому с практической точки зрения следует требовать еще, чтобы случайные поля гидродинамических величин обладали некоторыми эргодическими свойствами. Последнее условие в дальнейшем также всегда будет предполагаться выполняющимся. [c.225]

Наконец, покажем, как с помощью скобок Пуассона формулируется одно из основных уравнений статистической механики. Вероятность пребывания механической системы в элементарном фазовом объеме бГ определяется как отношение числа систем ансамбля Гиббса, находящихся в бГ, к постоянному числу всех систем этого ансамбля, наверняка находящихся в некотором фиксированном фазовом объеме АГ. Соответственно плотность вероятности определяется как отношение вероятности к соответствующему фазовому объему бГ, т. е. [c.397]

Первое усложнение возникает из-за статистических свойств [128, 129] статического дислокационного ансамбля. Попросту говоря, деформация идет там, где локально плотность препятствий меньше, если при этом условия генерации дислокаций позволяют ей осуществляться. В общем случае надо рассматривать функцию распределения плотности дислокаций, однако такие измерения носят единичный характер. И поэтому статистика препятствий учитывалась введением статистического коэффициента. Другой подход предполагает введение флуктуационной поправки [130], связанной с дисперсией плотности дислокаций, т. е. отражает некоторые детали этого распределения. [c.132]

Задан статистический ансамбль плотности р( ь Рь t) ( = = 1, п), для которого справедлива теорема Лиувилля [c.231]

В случае малой плотности вещества отдельные атомы и молекулы взаимодействуют очень слабо. При этих условиях статистическая механика является механикой ансамбля изолированных атомов и молекул. Непосредственные вычисления становятся возможными, если известны энергии различных состояний и их статистические веса. Армстронг, Соколов и др. [2] показали необходимость включения в рассмотрение даже тех молекул, число которых превосходит всего миллионную долю (10 ) полного числа частиц в системе. [c.381]

Сам прибор устроен таким образом, что разным состояниям микрочастицы соответствуют разные состояния "стрелки прибора". Выбор внешним миром одного из показаний стрелки автоматически разрушает когерентность волновой функции микрообъекта. Все это выглядит как чисто случайный процесс, но при его многократном повторении проглядываются черты статистической закономерности, которые описываются на языке превращения чистого ансамбля в смешанный. При этом / р играет роль плотности вероятности. Прибор лишь указывает, в какой части из приготовленного прибором полного набора состояний оказалась сама частица при данном измерении. [c.79]

Таким образом, с помощью нашего простого примера нам удалось разобраться в целом ряде вопросов. Прежде всего мы смогли отделить коллапсы волновых функций от коллапсов вероятностей. Как мы установили, одного лишь теплового движения достаточно для разрушения когерентности и коллапса волновой функции в одно из возможных состояний. Пока этот коллапс не наблюдается извне, лучше говорить о превращении чистого ансамбля в смешанный мы имеем необратимый процесс с набором вероятностей в конечном состоянии, и наша частица является представителем этого ансамбля. Можно сказать, что коллапс — это флуктуация, и если мы не имеем специального интереса к флуктуации, то можно использовать усредненное статистическое описание с соответствующими вероятностями, т.е. матрицу плотности смешанного состояния. [c.189]

Квантовая теория (как и теория вероятностей или статистическая физика) не претендует в общем случае на предсказание результата отдельного измерения, она лишь позволяет рассчитывать средние по ансамблю величины вида , случайной функции / (i) известным образом определяет плотность распределения Р (/, Ь) (или ее фурье-образ X ( X, ), называемый характеристической функцией), т. е. определяет полную статистическую информацию о величине / в момент времени [c.48]

В связи с тем, что плотность статистического ансамбля зависит только от фазовых координат и времени и не зависит от производных фазовых координат, утверждение р = onst определяет первый интеграл уравнений движения. [c.302]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

Например, если мы изучаем поведение газа в сосуде, то должны представить себе огромное число сосудов с газом, если мы рассматриваем кристалл, то должны представить себе огромное число аналогичных кусков кристалла и т. д. Экземпляры системы могут иметь разные объемы и числа частиц, но погружены в одну и ту же среду. Такие совокупности (воображаемых) экземпляров системы называют статистическими ансамблями, и мы в дальнейщем (см. 61, 62) рассмотрим разные частные случаи таких ансамблей, в зависимости от того, какие параметры фиксированы в ансамбле (энергия, температура, объем, число частиц и т. д.). Благодаря различию начальных условий и взаимодействию со средой состояние каждого экземпляра меняется с течением времени по-разному. Это значит, что каждая изображающая точка, описывающая состояние одного из экземпляров ансамбля, движется по своей фазовой траектории. Совокупность этих точек образует в Г-пространстве газ или, скорее, как мы увидим, жидкость с плотностью p(p,q,t). [c.301]

Нами рассмотрена теорема выборки в координатном и частотном пространствах и использовано понятие произведения пространства на ширину полосы для определения связи общего числа точек выборки с шириной спектра функции. Приведены примеры из оптики, иллюстрируюш,ие использование теоремы выборки в ряде применений. Представлено статистическое описание случайных сигналов, предполагаюш,ее выполнение условий стационарности и эргодичности, подчеркнуто значение усреднений по ансамблю и Координатам. Мы определили корреляционные функции, их фурье-образы, а также функции спектральной плотности. Нами проведено обш,ее сравнение операций корреляции и свертки как для симметричных, так и для несимметричных функций. Мы проиллюстрировали на примерах применение различных статистических методов к линейным оптическим системам при случайных входных сигналах и дали интерпретацию соответствуюш,их результатов. В этих примерах рассмотрены модель идеальной линейной фотопленки, винеровская фильтрация, обратная и согласованная фильтрации. В заключение мы показали, что использование метода, основанного на усреднении по ансамблю, улучшает отношение сигнал/шум в спекл-фотографии. [c.95]

Далее он переходит к систематическому изложению равновесной статистической механики (гл. 4—10), начиная с введения равновесных ансамблей Гиббса для различных типов контакта системы с окружением и обсуждения их связи с термодинамикой (гл. 4). В качестве простых примеров рассмотрены идеальные и слабоидеальные газы, причем очень подробно обсуждается диаграммный метод для случаев слабого взаимодействия и малой плотности. Большое внимание уделяется методу частичных распределений в равновесном случае. Этот метод далее, в гл. 8, служит основой для приближенных теорий жидкого состояния (уравнение Перкуса — Йевика, гиперцепное приближение). Большая [c.5]

В данной главе мы неоднократно подчеркивали тот факт, что правомерность использования в термодинамике моделей равновесных ансамблей не обеспечивается автоматически, ибо она критическим образом зависит от природы гамильтониана. Рассмотрим теперь эту связь более подробно, ограничиваясь слзггаем классической механики, а в этих рамках — каноническим ансамблем. Для этого ансамбля ключевой является формула (4.4.12). В разд. 4.4 уже было показано, что функция А (Т, N) обладает формальными свойствами, позволяющими отождествлять ее с термодинамической свободной энергией, при условии, что таковая существует] Сам факт возникновения проблемы существования связан с тем, что мы неоднократно использовали переход к термодинамическому пределу для эмпирического подтверждения многих этапов наших рассуждений. Окончательное строгое обоснование равновесной статистической механики, таким образом, покоится на апостериорном доказательстве того, что фушщия А Т, N) существует в термодинамическом пределе. Более точно, мы должны доказать, что А (Т, N) представляет собой экстенсивную функцию, или, эквивалентно, что плотность свободной энергии а = А конечна в термодинамическом пределе (3.3.1) и поэтому зависит только от плотности п = Nl i (а также от температуры) [c.158]

Важным случаем статистического равновесия является случай, в котором все системы ансамбля имеют одну и ту же энергию. Мы можем притти к понятию распределения, удовлетворяющего необходимым для этого условиям, следующим путем. Мы можем предположить, что ансамбль распределен с равномерной фазовой плотностью между двумя граничными значениями энергии s и s", причем плотность вне этих границ равна нулю. Согласно критерию, приведенному в главе IV, подобный ансамбль находится, очевидно, в статистическом равновесии, так как фазовая плотность может рассматриваться как функция энергии. Уменьшая разность между s и s", мы можем уменьшить различие энергий в ансамбле. Продолжая этот процесс, мы получим в пределе перманентное распределение, в котором энергия постоянна. [c.119]

Отметим, что, в отличие от (4.2.14) и уравнений более высокого порядка, уравнение (4.2.13) для одночастичной матрицы плотности не содержит источника из-за условия самосогласования (4.2.10). Чтобы явно найти источники в остальных уравнениях цепочки, нужно задать форму квазиравновесного статистического оператора. Следуя общей идеологии метода статистических ансамблей, Qq t) можно найти из условия максимума информационной энтропии при заданных средних значениях некоторых базисных динамических переменных. Простейшее предположение состоит в том, что одночастичная матрица плотности (4.2.2) является единственной наблюдаемой, которая характеризует неравновесное состояние системы. Тогда мы возвращаемся к ква-зиравновесному статистическому оператору (4.1.32), описывающему идеальный квантовый газ. Мы пока ограничимся только этим случаем. Более общие выражения для квазиравновесных распределений будут рассмотрены в следующем параграфе. [c.268]

Прямые сведения о теплофизических свойствах перегретых жидкостей отсутствуют. Не выяснены экспериментальные возможности проведения измерений в метастабильной области. Например, нет данных о том, как меняются плотность и сжимаемость веш,ества при больших п регревах. Существующие непрерывные уравнения состояния ван-дер-ваальсовского типа дают для изотерм характерную петлю, на которой точка перехода через линию насыщения ничем не выделяется среди соседних точек. Равновесие жидкой и газообразной фаз определяется из дополнительного условия Максвелла, которое эквивалентно требованию (1.1). С другой стороны, как было отмечено в 3, не слишком упрощенные разработки статистической теории реального газа на основе ансамбля Гиббса не описывают метастабильных состояний, но в принципе содержат линию равновесной конденсации (см. также [213, 2141). В этом случае любая докритическая изотерма имеет на границе двухфазной области угловую точку. [c.230]

До сих пор мы проводили рассмотрение метода Монте-Карло в применении к обычному каноническому ансамблю Гиббса, для которого этот метод и был первоначально предложен и которому посвящено наибольшее количество из опубликованных к настоящему времени работ. Однако метод Монте-Карло может быть использован для оценки любых средних типа (1), и, следовательно, по крайней мере в принципе, его можно использовать для всех стандартных статистических ансамблей, а также и в других задачах, например для вариационной оценки энергии основного состояния жидкого Не, о чем мы будем говорить ниже. Чезнут и Зальсбург [17], по сути дела, использовали этот метод при вычислении свойств решеточного газа в большом каноническом ( FГ)-aн aмблe. Расчет в рамках большого канонического ансамбля свойств модельной системы (например, системы твердых сфер), достаточно правильно отражающей свойства реальных жидкостей, представляет большой интерес. Безусловно, могут быть даны разнообразные формальные рецепты таких расчетов, однако до сих пор не появилось ни одного расчета, который мог бы быть использован в интересующем нас диапазоне плотностей. Ниже будут рассмотрены некоторые до настоящего времени не опубликованные результаты для твердых дисков и твердых сфер, полученные для изотермически-изобарического, или ТУ У-ансамбля. При этом будут приведены соответствующие теоретические формулы. Основным соотношением для этого ансамбля, занимающим такое же место, что и соотношение (24) для 77 -ансамбля, является онреде- [c.293]

Для статистического описания такого квантового объекта естественно ввести матрицу плотности для ансамбля одинаковых систем, т.е. фактически атомов со сходным поведением. При этом диагональные члены одночастичной матрицы плотности, т.е. j/j r ) , играют роль функции распределения, а эффект "стирания" недиагональных членов соответствует процессу "пакетизации". При таком подходе все атомы ведут себя однотипным образом, а любая "мгновенная" волновая функция I) многих атомов может рассматриваться как случайный набор волновых пакетов, вероятностные характеристики которых описываются кинетическим уравнением для функции распределения и дополнительным уравнением для формы и размеров волновых пакетов. [c.183]

Динамическому состоянию непотенциальной системы соответствует точка обобщенного фазового пространства. Статистическому ансамблю [17] непотенциальной системы соответствует множество точек обобщенного фазового пространства. Как было указано, элемент объема фазового пространства Г инвариантен относительно эволюции динамической непотенциальной системы. Аналогично работе [101] предположим, что элемент количества состояний статистического ансамбля с1Ы , соответствующий элементу ОдОр , также инвариантен. В этом случае можно говорить о сохранении плотности распределения числа состояний в пространстве Г [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...