Ансамбль Гиббса

Гиббсом — основоположником статистической механики. Фундаментальное достижение Гиббса состоит в том, что он показал, каким образом средние величины характеристик системы как целого могут быть получены при исследовании распределения этих характеристик в данный момент времени среди произвольного, но очень большого числа идентичных систем. Он назвал большое число идентичных систем ансамблем. Системы ансамбля распределены по различным возможным состояниям, причем возможное состояние — это любая из произвольных конфигураций, которые может принимать система. Тогда вероятность найти реальную систему в некотором определенном состоянии соответствует вероятности найти системы ансамбля в этом же состоянии. Таким образом, средние по времени значения для реальной системы соответствуют средним по ансамблю в ансамбле Гиббса. Гиббс показал, что система в замкнутом объеме, находящаяся в тепловом равновесии с тепловым резервуаром, может быть описана так называемым каноническим ансамблем, в котором вероятность Р(Е)йЕ найти систему, имеющую энергию в интервале между Е и Е + йЕ, определяется формулой [c.21]

Авогадро постоянная 25 Ансамбль Гиббса 21 — канонический 21 [c.444]

С развитием статистической физики все яснее становится представление о том, что для статистического поведения системы важную и, по-видимому, определяющую роль играет фактор наличия большого числа частиц в системе. В монографии Н. Н. Боголюбова Динамические проблемы статистической физики [14] были показаны пути строго математического обоснования предельного перехода в статистической физике при использовании канонического ансамбля Гиббса. Значительно позже Рюэль [16] предложил аналогичный подход к исследованию уравнений [c.212]

Завершением работ Больцмана по теории равновесных состояний молекулярных систем является статистическая механика Гиббса, положенная в основу всей статистической термодинамики. Метод канонических ансамблей Гиббса представляет собой мощный метод исследования различных систем многих частиц. [c.182]

Для определения макроскопических свойств системы в статистической физике рассматривается не одна конкретная система, а, следуя Гиббсу, совокупность таких систем в разных микросостояниях, которая называется фазовым ансамблем Гиббса. [c.185]

Следовательно, статистический ансамбль Гиббса, задается плотностью вероятности микросостояния системы, или фазовой функцией распределения (11.3), которая нормируется на единицу [c.185]

Как отмечалось в 54 при обсуждении термодинамической эквивалентности ансамблей Гиббса, эта эквивалентность не распространяется на флуктуации, поскольку их величина зависит от того, какие параметры системы фиксированы, а какие испытывают флуктуации. [c.293]

Фазовая траектория 185, 187 Фазовое пространство 185 Фазовый ансамбль Гиббса 185 [c.310]

Ситуация становится еще хуже, когда вместо распределения скоростей молекул мы рассматриваем ансамбль Гиббса, соответствующий фазе плотности р. Эволюция этого ансамбля во времени подчиняется уравнению Лиувилля [c.146]

Совокупность систем в контакте с термостатом, т. е. систем с переменной энергией (фиксировано лишь её ср. значение) при пост, объёме V и заданном числе частиц N (канонич. ансамбль Гиббса), описывается каноническим распределением Гиббса [c.452]

Эта формула выражает большое каноническое распределение Гиббса. Вновь подчеркнем, что собственные аргументы Q-потенциала Г, V, л являются как раз теми параметрами, которые фиксированы для большого канонического ансамбля Гиббса. [c.319]

Прежде чем переходить к решению уравнения (70.23), выясним физический смысл величины А(Т), имеющей фундаментальное значение в теории сверхпроводимости. Вернемся к формуле (70.15) и произведем усреднение гамильтониана по ансамблю Гиббса с температурой Т. Имеем [c.380]

Книга представляет собой современный курс статистической теории неравновесных процессов в классических и квантовых системах многих частиц. В отличие от существующих учебников и монографий на эту тему, изложение теории кинетических, гидродинамических и релаксационных процессов основано на едином методе, который является обобщением метода статистических ансамблей Гиббса на неравновесные системы. В первом томе излагаются основы метода неравновесных статистических ансамблей, его приложения к различным задачам классической и квантовой кинетики, а также теория линейной реакции равновесных систем на механические и термические возмущения. [c.4]

Подводя итог обсуждению ансамблей Гиббса, мы хотели бы остановиться на трех основных моментах. Во-первых, мы выяснили, что все равновесные распределения выводятся из фундаментального принципа максимума информационной энтропии при дополнительных условиях, которые определяют макроскопическое состояние системы. Несмотря на то, что в равновесном случае этот принцип эквивалентен постулату о равновероятности доступных динамических состояний энергетически изолированной системы, он, как мы увидим, оказывается весьма полезным при изучении неравновесных статистических ансамблей. Дело в том, что во многих случаях неравновесное макроскопическое состояние системы может рассматриваться как состояние с частичным равновесием ее малых подсистем. Принцип максимума информационной энтропии позволяет построить статистический ансамбль, который описывает такое состояние с заданными макроскопическими параметрами для подсистем. В дальнейшем мы приведем много примеров, иллюстрирующих применение этой идеи. [c.61]

Посмотрим теперь, как выводятся термодинамические соотношения в методе ансамблей Гиббса. Для определенности мы рассмотрим квантовый случай. [c.62]

Интересно сравнить термодинамические равенства (1.3.82) и (1.3.89), выведенные для различных равновесных ансамблей. Заметим, что они совпадают только в случае N) = N. Таким образом, возникает вопрос о термодинамической эквивалентности статистических ансамблей, поскольку некоторые величины могут флуктуировать в одном ансамбле и иметь фиксированные значения в другом. Например, количество частиц фиксировано в каноническом ансамбле и флуктуирует в большом каноническом ансамбле. С другой стороны, из термодинамики известно, что все термодинамические потенциалы эквивалентны в том смысле, что один потенциал может быть получен из другого с помощью замены переменных — так называемого преобразования Лежандра. В статистической механике этому соответствует замена одного ансамбля другим, требующая обоснования. Вопрос о термодинамической эквивалентности ансамблей Гиббса мы рассмотрим в разделе 1.3.9, где будет показано, что в большинстве случаев различные ансамбли эквивалентны, поскольку флуктуации аддитивных динамических переменных в этих ансамблях относительно малы и ими можно пренебречь в термодинамическом пределе. [c.65]

Чтобы обсудить теорему Нернста с точки зрения ансамблей Гиббса, предположим, что система описывается квантовым каноническим ансамблем и рассмотрим, к чему стремится распределение Гиббса [c.66]

Рассмотрим флуктуации в статистических ансамблях Гиббса. Наиболее просто вычислить флуктуации тех величин, от которых явно зависит функция распределения или статистический оператор. Начнем с флуктуаций энергии Е = H q p) в классическом каноническом ансамбле. Это позволит нам понять связь между каноническим и микроканоническим ансамблями. [c.68]

В 1949 г. Ван Ховом была предпринята попытка доказательства существования термодинамического предела для систем канонического ансамбля Гиббса [19]. В начале шестидесятых годов Ван Камней указал на трудности в доказательстве Ван Хо-ва. Для систем твердых сфер Янгом и Ли [20] в 1952 г. было доказано существование термодинамического предела на основе большого канонического ансамбля. В дальнейшем это направление интенсивно развивалось. [c.213]

При рассмотрении флуктуаций помимо трех канонических ансамблей Гиббса используется также изотермическо-изобарический ансамбль систем в термостате при постоянном внешнем давлении Р и переменном значении объема Т (например, газ в цилиндре с поршнем). Макроскопическое состояние рассматриваемой системы определяется термодинамическими переменными Т, Р, N, а соответствующее распределение рТ (q, р) микросостояний системы найдем из канонического распределения, подставляя в него значение энергии Гельмгольца f через энергию Гиббса G (F = = G—PV) [c.293]

Для нолучения Г. р. вводится статистический ансамбль Гиббса совокупность большого (в пределе бесконечно большого) числа копий данной системы (клас-сич. или квантовой), соответствующих заданным макро-сконич. условиям. Рассматривается распределение систем (членов ансамбля) в фазоеом пространстве координат q И импульсов р частиц или по квантовым состояниям всей системы. Г. р. имеют место как для состояний классич. системы с ф-цией Гамильтона ff(p, ф в фазовом пространстве (р, q)= р ,.. р , i,- Ы всех N частиц системы, так и для квантовых состояний системы с уровнями анергии ёГ. р. в классич. статистике зависят от координат и импульсов лишь через Н (р, q) и не зависят от времени, удовлетворяя Лиу-вилля уравнению, к-рое выражает сохранение плотности вероятности в фазовом пространстве. Г. р. в квантовой статистике зависят от гамильтониана системы Й, удовлетворяя квантовому ур-нию Лиувилля, выражающему эволюцию во времени матрицы плотности. [c.452]

V с заданным числом частиц N (микроканонич. ансамбль Гиббса) описывается микрокапоническим распределением Гиббса /(р, q), согласно к-рому все состояния системы в узкой области энергий (Д5<С ) вблизи S равновероятны (осн. гипотеза статистич. механики) [c.452]

Распределение вероятностей для систем в термическом и материальном контакте с термостатом и резервуаром частиц, т. е. для систем с переменными энергией Ядг и числом частиц N (большой канонич. ансамбл Гиббса), описывается большим каноническим распределением Гиббса [c.452]

Совокупность систем в термич. и механич. контакте с окружающей средой, т. е. с переменными энергией и объёмом, когда постоянным поддерживается давление Р с помощью, наир., подвижного поршня (изобарически — изотермич. ансамбль Гиббса), описывается изо-барно-изотсрмич. Г. р. [c.452]

Статистич. ансамбль квантовомехаиич. систем с заданным числом частиц N при пост, объёме V в контакте с термостатом (канонич. ансамбль Гиббса квантовой статистики) описывается канонич. распределением Гиббса. Вероятность нахождения системы в i-м квантовом состоянии равна [c.452]

Г. ф. в статистич. физике наз. также двухвременнымп температурными Г. ф., они отличаются от Г. ф., при-лшняемых в квантовой теории поля, лишь способом усреднения вместо усреднения по пижнему, вакуумному состоянию производят усреднение по большому ка-нопич. ансамблю Гиббса. [c.538]

БСА — равновесное распределение вероятностей для статистич. ансамбля систем с заданной полной энергией при пост, объёме V и пост. полно.м числе частиц N, соответствует микроканониче-скому ансамблю Гиббса. Установлено Дж. У. Гиббсом (J. W. Gibbs) в 1901 для случая клас-сич. статистики как один из осн. законов статистической физики, [c.136]

П. т. рассматривает динамич. системы со строго фиксиров. энергией F. В статистич. физике им соответствуют системы, описываемые микроканонпч. распределением Гиббса (см. Гиббса распределения). Энергия этих систем задана с точностью с F (Д можно ири-нять равной ср. флуктуации энергии). Число состояний, находящихся в слое AF [определяемое статистич. весом W (if, V, N), где N — число частиц, 7 объём], чрезвычайно велико. Аналогичное рассмотрение возможно и для др. ансамблей Гиббса. [c.174]

Энтропия в равновесной статистической физике зависит от выбора статистич. ансамбля. Для микроканонич. ансамбля Гиббса (см. Гиббси распределения), описывающего равновесное состояние изолированных систем, Э. выражается через статистический вес состояния N, V) [c.617]

Вдали от областей сосуществования фаз и критич. точек значения Э,, вычисленные с помощью разл. ансамблей Гиббса, совпадают с термодинамич. Э. в пределе 7V- oo, V-KX) при Л /К= onst (см. Термодинамический предел). [c.617]

Локально-равновесное распределение служит вспомогательным распределением для определения понятия Э. неравновесного состояния, но не описывает необратимых переноса явлений. Потоки энергии и импульса, вычисленные с помощью/)(0, соответствуют потокам этих величин в идеальной гидродинамике. Неравновесная ф-ция распределения может быть получена как формальное решение ур-ния Лиувилля с нач. условием локального равновесия в нек-рый момент времени to f(t o) = exp[-r L(r-ro)]yi((o). Оператор Лиувилля L определяется через скобки Пуассона iLf= H, / . Это решение зависит от нач. состояния, к-рое реальная система должна забывать из-за корреляций между элементами среды. Можно считать, что пучок фазовых траекторий с различными to(—ос<Го<0 реализует ансамбль Гиббса для неравновесных состояний. Предполагая, что нач. состояния распределены с экс1Юненщ1альной вероятностью Г ехр[ — ( — о)/Г] (гипотеза об априорных вероятностях), получим неравновесную ф-цию распределения [c.618]

Именно стремление как можно быстрее пройти первоначальные этапы и перейти к конкретным задачам диктовало в значительной мере методы введения основных понятий. Так, например, в разделе, посвященном феноменологической термодинамике, понятия энтропии и температуры вводятся совместно уже в первых параграфах, и в даль-нейщем щирокое использование якобианов позволяет дать единый способ рещения щирокого круга простейщих задач, относящихся к любым моновариантным (а в дальнейщем и поливариантным) термодинамическим системам. Те же соображения побудили нас начать изложение основ статистической физики с метода ящиков и ячеек , пригодного только для идеальных газов, поскольку этот метод позволяет просто рещать довольно щирокий класс задач. В дальнейщем излагается, конечно, и более общий метод ансамблей Гиббса. [c.8]

Вводя понятие плотности вероятности для канонического распределения Гиббса, мы рассматривали множество экземпляров одной и той же системы с одинаковыми числами частиц и объемами (канонический ансамбли Гиббса). Рассмотрим теперъ более широкий ан- [c.312]

Формулы (63.13) и (63.20) выражают каноничеекое распределение Гиббса. Мы указали явно аргументы свободной энергии Е(Т, У, М), чтобы подчеркнуть, что собственные аргументы свободной энергии — это как раз те параметры, которые являются фиксированными для канонического ансамбля Гиббса. [c.317]

Далее он переходит к систематическому изложению равновесной статистической механики (гл. 4—10), начиная с введения равновесных ансамблей Гиббса для различных типов контакта системы с окружением и обсуждения их связи с термодинамикой (гл. 4). В качестве простых примеров рассмотрены идеальные и слабоидеальные газы, причем очень подробно обсуждается диаграммный метод для случаев слабого взаимодействия и малой плотности. Большое внимание уделяется методу частичных распределений в равновесном случае. Этот метод далее, в гл. 8, служит основой для приближенных теорий жидкого состояния (уравнение Перкуса — Йевика, гиперцепное приближение). Большая [c.5]

Сегодня имеется обширная литература, в которой излагаются конкретные вопросы теории неравновесных процессов. Однако, в отличие от равновесной статистической механики, основанной на универсальном методе ансамблей Гиббса, существует большое число различных подходов к неравновесным системам. Поскольку детали микроскопических взаимодействий тесно связаны с неравновесными свойствами многочастичных систем, может показаться, что общий статистический подход к необратимым процессам вообще невозможен. Как следствие такой точки зрения, во многих недавно изданных книгах отсутствует изложение неравновесной статистической механики как таковой. Вместо этого проводится мысль, что различные явления требуют различных подходов. Тем не менее, фундаментальная идея статистических ансамблей Гиббса применима и к неравновесных системам, так что задача состоит в том, чтобы использовать эту идею в форме, пригодной для описания различных неравновесных процессов, в рамках единого метода. Такой метод, известный теперь как метод неравновесного статистического оператора был развит Д.Н. Зубаревым и изложен в его книге Неравновесная статистическая термодинамика , которая появилась на русском языке в 1971 году, а затем была переиздана в США (1974 г.) и в Германии (1976 г.). Позже краткое введение в метод было дано в книге Г. Рёпке Неравновесная статистическая механика (на немецком языке книга вышла в 1987 году и на русском — в 1990 году). [c.10]

К классическому пределу, можно обосновать метод классических ансамблей Гиббса. Следует также напомнить, что определение безразмерного элемента фазового пространства drдг, включающее множитель 1/М и минимальный размер фазовой ячейки (27r/i) , можно обосновать только в рамках квантовой статистики. [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...