Теорема Вика

В теореме Вика утверждается, что среднее значение произведения операторов рождения и уничтожения, вычисленное с квазиравновесным статистическим оператором (2.2.40), равно сумме всех полных систем спариваний. Поскольку матричные элементы m Qq n) статистического оператора (2.2.40) отличны от нуля только для квантовых состояний Iш) и п) с одинаковым числом частиц, следует учитывать только спаривания или [c.99]

Теорема Вика будет часто использоваться в дальнейшем, особенно при изложении квантовой кинетической теории. [c.100]

ТО кинетический коэффициент (2.5.71) легко вычисляется с помощью теоремы Вика и соотношений [c.147]

А. Теорема Вика для неравновесных квантовых газов [c.149]

Напомним, что всюду верхний знак относится к статистике Ферми, а нижний — к статистике Бозе. Мы дадим доказательство теоремы Вика для ферми-систем. В случае статистики Бозе доказательство проводится совершенно аналогично. [c.150]

Каждое из средних в правой части содержит произведение 5 — 2 операторов. Мы можем повторять для этих средних ту же самую процедуру, пока не получим сумму всех полных систем спариваний ). Таким образом, теорема Вика доказана. [c.150]

Указание Вычислить корреляционную функцию (2.5.72) с помощью теоремы Вика, а затем использовать следующее соотношение для средних чисел заполнения (2.5.77) [c.162]

Достоинства квазиравновесного статистического оператора (4.1.32) заключаются в его простой структуре и в простом правиле вычисления средних для квазиравновесного ансамбля. В частности, все квазиравновесные 5-частичные матрицы g t) можно выразить через одночастичную по теореме Вика. Папример, легко проверить, что элементы квазиравновесной двухчастичной матрицы плотности имеют вид [c.268]

После подстановки выражения (4.4.38) в (4.4.37) и вычисления средних с помощью теоремы Вика мы приходим к кинетическому уравнению для электронов [c.304]

Среднее значение легко вычисляется с помощью теоремы Вика, и мы приходим к выражению [c.311]

При использовании статистического оператора вычисление среднего значения в формуле (4.5.47) легко проводится с помощью теоремы Вика, если учесть, что оператор эволюции (4.5.44) преобразует операторы рождения и уничтожения следующим образом [c.319]

Остается подставить выражение (4.5.57) в формулу (4.5.48) и вычислить среднее с помощью теоремы Вика. В окончательном результате удобно исключить величины AAi, используя условия самосогласования (4.5.51). Вводя функционал [c.320]

Для систем со слабым взаимодействием или с малым параметром плотности имеется еще одна возможность упростить уравнение (5.4.18), поскольку в этих случаях статические восприимчивости (5.4.9) и кинетические коэффициенты (5.4.16) удается вычислить методами теории возмущений. Предположим, например, что оператор Н в гамильтониане (5.4.16) описывает слабое взаимодействие частиц или квазичастиц. Кинетические коэффициенты (5.4.2) имеют по крайней мере второй порядок по взаимодействию, так как выражение равно нулю благодаря свойствам оператора проектирования. Поэтому при вычислении интеграла столкновений в низшем приближении в формуле (5.4.16) можно заменить полный оператор Лиувилля L на оператор свободных частиц L . В том же приближении обратную матрицу статических восприимчивостей в правой части уравнения (5.4.18) можно взять в виде (5.4.13). Тогда вычисление интеграла столкновений сводится к вычислению кинетических коэффициентов (5.4.16) с помощью теоремы Вика (см. задачу 5.15). [c.390]

ТО корреляционную функцию (5Б.6) легко вычислить с помощью теоремы Вика. Опуская элементарные преобразования, запишем результат [c.402]

Вывести выражение (5.4.11) для статической восприимчивости, вычислив корреляционную функцию в (5.4.9) в приближении идеального газа с помощью теоремы Вика. [c.426]

Важным обстоятельством является то, что после разложения упорядоченных экспонент в ряды по S все средние значения в правых частях уравнений (6.1.15) и (6.1.17) вычисляются с помощью теоремы Вика, поскольку невозмущенный оператор энтропии (6.1.10) есть билинейная форма от операторов рождения и уничтожения. Для слабо неидеальных квантовых газов множитель Лагранжа 52(/ /2 1 2) играет роль малого параметра. В этом случае уравнения (6.1.15) и (6.1.17) можно решить методом итераций (см. задачу 6.1). Если корреляции дают существенный вклад в неравновесные термодинамические величины, то метод итераций непригоден и требуется по крайней мере частичное суммирование формальных рядов теории возмущений. Как уже отмечалось, для равновесных систем суммирование такого рода наиболее удобно проводится в технике температурных функций Грина. Поэтому естественно построить аналогичную технику и для неравновесных состояний. [c.12]

С помощью теоремы Вика каждый член разложения 5-частичной термодинамической функции Грина (6.1.55) по S может быть выражен через произведения свободных одночастичных функций Грина, вычисляемых со статистическим оператором [c.20]

Теорема Вика справедлива и в случае, когда статистический оператор имеет вид [c.20]

Впрочем, структура соотношения (6.1.75) очевидна из общей формулы (6.1.59) для одночастичной термодинамической функции Грина. Действительно, при вычислении любого члена теории возмущений с помощью теоремы Вика каждый из операторов й (1) и а 2) будет спарен с фермиевским оператором, входящим в один из операторов возмущения S. В результате на диаграмме появятся две краевые -линии. Остальные спаривания дают вклад в собственно энергетическую часть. [c.25]

Ключевым моментом в методе функций Грина является то, что одночастичная функция G(l,l ) удовлетворяет уравнению Дайсона на контуре Келдыша-Швингера С. В большинстве практических приложений вопрос о существовании уравнения Дайсона просто не рассматривается. Между тем, это совсем не тривиальный факт. Дело в том, что мы можем записать уравнения движения для G(l,l ) в форме уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) только тогда, когда на контуре С существует единственная обратная функция G (l,l ). В диаграммной технике [19, 54, 55] вывод уравнения Дайсона основан на теореме Вика, с помощью которой каждый член ряда теории возмущений для G(l, 1 ) выражается через произведение свободных гриновских функций. [c.58]

Можно сказать, что в диаграммной технике существование обратной функции Грина доказывается конструктивно, путем суммирования бесконечной последовательности диаграмм для массового оператора. Напомним, однако, что теорема Вика справедлива только в случае, когда начальный статистический оператор описывает идеальный газ. В пределе Iq —оо это означает, например, что двухчастичная функция Грина G(12,1 2 ) удовлетворяет граничному условию [109] [c.59]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Вычислить с помощью теоремы Вика кинетический коэффициент (7.1.20). Проверить, что результат не зависит от значения параметра а в выражении (7.1.29) для оператора потока. Найти кинетический коэффициент для невырожденных газов, в которых < 1 и < 1. [c.155]

Эта последняя величина, в которой упорядочение следует понимать в смысле теоремы Вика, уже непосредственно выражается через собственно энергетическую часть 8-матрицы [c.139]

Возводя обе его части в квадрат, проводя усреднение и учитывая, что согласно теореме Вика — фф) = Фр (см. (8)), получаем, заменяя вблизи границы Ферми — р ) 2т v p — py), где v = р /т — скорость на этой границе [c.183]

При разложении действия в ряд теории возмущений возникает задача представить в виде Н. п. произведение операторов (напр., лагранжианов взаимодействия), к-рые сами уже приведены к форме Н. п. Соответствующая теорема Вика утверждает, что такое произведение равно сумме всех соответствующих Н. п. со спариваниями, из числа к-рых исключены спаривания между линейными операторами, находившимися в первонач. произведении под знаком одного Н. п. [c.360]

Вычисление квантово-статистических средних от бозевских операторов осуществляется с помощью теоремы Вика-Блоха-Доминисиса, доказанной в Приложении 7. Применяя эту теорему, мы легко можем вывести следующие формулы [c.129]

Вьиислить среднее от этого операторного выражения возможно с использованием теоремы Вика-Блоха-Доминисиса, доказанной в Приложении 7. Однако последующее интегрирование получившихся выражений по временам осуществить весьма сложно. Поэтому обычно прибегают к процедуре симметризации выражения (11.15). [c.139]

Согласно теореме Вика-Блоха-Домекисиса (ВБД) среднее от произведения операторов можно представить в виде суммы членов, каждому из которых отвечает определенный тип спаривания операторов. Например, если W = R , то среднее от двух операторов выглядит так [c.305]

Имея явное выражение (2.2.40) для квазиравновесного статистического оператора, квазиравновесное среднее значение любой динамической переменной, заданной в представлении вторичного квантования, можно выразить через одночастичную матрицу плотности. Такие средние удобно вычислять с помощью так называемой теоремы Вика-Блоха-Доминисиса (или, как часто говорят для краткости, — теоремы Вика )). Здесь мы лишь сформулируем эту теорему для ферми- и бозе-систем. Доказательство приводится в приложении 2А. [c.99]

Эта теорема была доказана Блохом и Доминисисом [58] для частного случая равновесного идеального газа. Ранее аналогичная теорема была доказана Виком в квантовой теории ноля. Существует несколько теорем, относящихся к усреднению динамических неременных но состояниям свободных частиц, и все они часто называются теоремами Вика. Мы будем следовать этой традиции. [c.99]

В разделе 2.2.3 мы сформулировали теорему Вика для квазиравновесных средних значений А1А2. . .As) q, где Ai — либо оператор рождения aj, либо оператор уничтожения а-, а среднее вычисляется со статистическим оператором (2.2.40). Для доказательства теоремы Вика удобно перейти в диагональное -представление, в котором [c.149]

Эта теорема аналогична теореме Вика-Блоха-Доминисиса для средних значений (Л i Л 2 Л д.(см. раздел 2.2.3 и приложение 2А в нервом томе). Различие между теоремами заключается лишь в определении спаривания операторов. В теореме Вика-Блоха-Доминисиса для обычных средних спаривание [c.20]

Р = ф ф), квадрирование которого с учетом теоремы Вика (см. п. 7) ведет к равенству (р) = Л Фр. Отсюда видно, что спонтанно возникшая масса первичной частицы равна А Ф . Как и в случае сверхпроводимости, она определяется энергией, необходимой для разрыва куперовской пары и получения частицы в несвязанном состоянии. [c.185]

В квантовой теории поля при вычислении матричных элементов матрицы рассеяния оказывается необходимым переходить от X. п, к нормальному произведению. X, п. и линейных операторов равно сумме их нормальных произведений со всеми возможными свертками (снариванинми), включая и их нормальное пронзнеденне бея сверток (теорема Вика) [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...