Зависящие и не зависящие от времени решения уравнения

Зависящие и не зависящие от времени решения уравнения Фоккера—Планка для случая, когда дрейфовые коэффициенты линейны по координатам, а коэффициенты диффузии постоянны [c.339]

Имеет смысл рассмотреть условия, при которых может существовать решение стационарного уравнения переноса, и единственно ли оно, если существует. Однородное (без источников) уравнение переноса (1.42) будет иметь не зависящее от времени решение, определяемое уравнением (1.47), когда = О с = О для критической системы. Если, как далее предпо- [c.37]

Рассмотрим систему, работающую в стационарном состоянии на мош.ности Ро в отсутствие какого-либо источника. Такая система является критической и, следовательно, р = 0. Уравнения кинетики (9.8) и (9.9) для точечной модели реактора будут иметь не зависящие от времени решения Ро и суо, которые можно получить, полагая производную йс си в уравнении (9.9) равной нулю, т. е. [c.383]

Уравнение (8.8.20) допускает при Яц<с0, устойчивое, не зависящее от времени решение Уо = О и кроме него решения [c.290]

Уравнение (93,7) описывает распространение возмущений в слабо диссипирующей, слабо нелинейной среде. В применении к слабой ударной волне оно описывает ее распространение в системе отсчета, в которой невозмущенный газ (перед волной) неподвижен. Требуется найти решение со стационарным (не зависящим от времени) профилем, в котором вдали от волны, при jt oo, давление принимает заданные значения рг и рь разность р2 — Р есть скачок давления в разрыве ). [c.492]

Случай нескольких инвариантных соотношений, находящихся в инволюции. Переходя после этого к более общим предположениям, докажем, что если для указанной канонической системы порядка 2п с характеристической функцией, не зависящей от времени, известны т<С п инвариантных соотношений, находящихся в инволюции и разрешимых относительно т переменных р, то можно определить со" частных решений данной системы посредством интегрирования приведенной системы дифференциальных уравнений порядка /и. [c.324]

Поскольку иногда детали машин и элементы конструкций работают за пределом текучести, необходимо исследовать зависимость между напряжениями и деформациями в пластической области, где соотношения линейной теории упругости уже неприменимы. Соотношения между деформациями и напряжениями в пластической области в общем случае нельзя считать не зависящими от времени. В любой точной теории пластического деформирования следовало бы учитывать влияние всего процесса изменения пластической деформации с момента начала пластического течения. Соотношения, учитывающие это, были бы очень сложными, они содержали бы в себе напряжения и скорость изменения деформации во времени. Уравнения были бы аналогичны уравнениям течения вязкой жидкости, а деформацию в каждый момент времени следовало бы определять, осуществляя пошаговое интегрирование по всему процессу изменения деформации. Такой подход привел бы к очень трудоемким расчетам даже при решении простейших задач о пластической деформации. Вследствие этого обычно делают некоторые упрощающие предположения, которые позволяют относительно просто исследовать процессы пластического деформирования и получать достаточно простые результаты, пока температура ниже температуры ползучести и в случае обычных скоростей деформации. [c.118]

Для существования нетривиальных решений необходимо, чтобы тензор km имел, по крайней мере, один не зависящий от времени собственный вектор. Однако даже если это условие не выполняется, то колебаний может и не быть, так как левая часть уравнения [c.188]

Как известно, ряд Чепмена — Энскога по существу есть разложение оператора таким образом, его сходимость имеет смысл только для определенного класса функций, на которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана для любого вида оператора столкновений легко получить нормальные решения, разложения которых определенно сходятся, так как оии состоят из конечного числа членов. Решения эти — полиномы по пространственным и временной переменным. Например, легко проверить, что не зависящая от времени функция [c.168]

Тогда, если система (3.36) имеет не зависящий от времени голоморфный интеграл, в котором совокупность членов второго порядка содержит переменные х и у, то уравнения (3.36) всегда имеют периодическое решение, представляемое рядами вида [c.147]

Как отмечалось в разд. 1.5.4, решение стационарного уравнения переноса имеет физический смысл для подкритической системы, в которой присутствует постоянный (не зависящий от времени) источник нейтронов. Аналогично и сопряженное уравнение имеет решение (сопряженную функцию) для подкритической системы с постоянным источником нейтронов. Ниже исследуется физический смысл этого решения нестационарная задача рассмотрена в последующих главах. [c.201]

Считая л не зависящим от времени, мы можем рассматривать решения уравнений Максвелла в виде монохроматических волн с фиксированной частотой ю. Иначе говоря, можно считать, что напряженности электрического и магнитного полей и электрическая индукция имеют соответственно вид и [c.548]

Мы будем изучать распространение звуковых волн в турбулентной атмосфере лишь на не слишком больших расстояниях L, удовлетворяющих условию /,/со< 2л/ турб, аналогичному (26.4). При этом коэффициенты уравнений (26.36) можно считать не зависящими от времени, и эти уравнения будут иметь частные решения в виде монохроматических волн с фиксированной частотой , описываемые функциями 9ie( i- 0 и где v и л—не зависящие от [c.560]

Заметим, в частности, что любое статическое поле В определяет, согласно уравнению (34.6), статическую плотность тока j. Поскольку любые не зависящие от времени В и ] являются тривиальными решениями уравнения (34.5), эти два уравнения совместны при произвольном значении статического магнитного поля. Такой результат противоречит наблюдаемому поведению сверхпроводников, внутрь которых не проникает никакое ноле. Ф. Лондон и Г. Лондон обнаружили, что такое характерное для сверхпроводников поведение может быть описано, если выбрать из полного набора решений (34.5) такие, которые удовлетворяют следующему уравнению, называемому уравнением Лондонов ) [c.352]

Влияние вязкости. В предыдущих главах рассматривалась пластическая деформация, не зависящая от времени (атермическая пластичность). По сравнению с уравнениями Гука новые уравнения состояния более полно описывали механические свойства реальных тел, и именно поэтому полученные результаты приобрели важное значение в решении вопросов прочности машин и сооружений. Деформационная теория пластичности и теория пластического течения относятся к описанию необратимых равновесных процессов деформации. [c.393]

Поскольку функции HiH зависят не только от времени, но и от til, т]2, Tji, Г]2, то в результате перехода к квазинормальным координатам, разумеется, не произошло полного разделения переменных в дифференциальных уравнениях (5.56), однако появилась возможность для построения эффективного приближенного решения, которое может быть получено, если сохранить в функции Qi члены, зависящие от и t]i, а в функции Qa — члены, зависящие от т)з, т)2. Как показывает анализ, использование этого приема позволяет получить результаты, которые с учетом степени достоверности исходной информации о данной системе обычно не нуждаются в дополнительных уточнениях. Это обстоятельство связано не только с малостью отброшенных членов, но и с фильтрующими свойствами системы. [c.184]

Выход продуктов деления из облученной UOg. Выход продуктов деления при низком удельном энерговыделении. Механизм диффузии. Выход продуктов деления из облученной иОг зависит от физического состояния горючего. Таблетки высокой плотности (93% теоретической) с энерговыделением до 400 вт/сл /ЫГ = 31,4 ег/сл1) при нормальных условиях эксплуатации, как правило, не претерпевают изменений. В таких предположениях наблюдалось хорошее согласие между результатами измерений и расчета диффузионного выхода долгоживущих газообразных продуктов деления из твэла [13]. Буф [20] и Франк [8] нашли решение зависящего от времени и стационарного уравнений диффузии, описывающих выход продуктов деления из сферических частиц с учетом образования и радиоактивного распада ядер. [c.136]

Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и заключается в осуществлении ряда последовательных операций. Например, для Одномерных задач теплопроводности, зависящих от координат и времени, необходимо [c.116]

Чтобы вывести уравнение Лиувилля более строго, заметим, что эволюционное уравнение (3.1) определяет в каждый момент времени отображение фазового пространства на себя при этом отображении каждой точке 7о соответствует точка 7 = г(2о,/), в которую в момент времени 1 приходит точка, находившаяся при / = О в точке 2о. Отображение является взаимно однозначным, если, как предполагается в дальнейшем, уравнение имеет единственное решение, соответствующее заданным начальным условиям, как при 1 < О, так и при 1 > 0. (Если уравнение обладает свойством временной обратимости, как в случае сил, не зависящих от скорости, то существование и единственность для t < О вытекают из соответствующих свойств для I > 0.) [c.20]

Функция /, ( ) в подвижной системе O V представляет некоторое, не зависящее от времеии распределение возмущений скорости, плотности или давления. Эта фиксированная ( юрма одномерного возмущения (например, синусоида или другая какая-нибудь непрерывная кривая) перемещается, согласно полученному решению волнового уравнения, как одно целое, вдоль положительного направления неподвижной оси Ох со скоростью uq. Аналогично этому, функции /з(5") характеризующая определенное, не зависящее от времени распределение возмущений в подвижной системе 0"i", представляет вторую фиксированную форму возмущения, отличную, вообще говоря, по своему виду от первой и распространяющуюся также как одно целое в отрицательную сторону неподвижной оси Ох с той же скоростью q. [c.155]

Аналитические решения такого рода уравнений получены для задач в идеализированной постановке (плоскость с полу-бесконечной или конечной трещиной, пространство с дисковидной трещиной и т. д.) при воздействии гармонических и ударных нагрузок (достаточно полный их обзор дан в работах [148, 177, 178, 199, 220, 271]. Однако эти решения дают представления о реальном поведении конструкции конечных размеров только в начальный период времени (до прихода в вершину трещины волн напряжений, отраженных от границ тела). Кроме того, они не учитывают разнородности материала конструкции по механическим свойствам, изменения граничных условий по-берегам трещины в процессе ее продвижения траектория трещины считается прямолинейной, а удельная эффективная энергия, затрачиваемая на образование новых поверхностей yf, принимается постоянной и не зависящей от скорости деформирования. Очевидно, что с помощью методов, имеющих указанные ограничения, навряд ли можно дать надежные оценки работоспособности элементов конструкций сложной формы и характера нагружения. Поэтому широкое распространение получили численные методы расчета динамических параметров механики разрушения [177, 178]. [c.241]

Для многих механизмов в рабочем режиме движения начальных звеньев могут быть близкими к стационарным, т. е. не зависящими от времени. Эти движения могут, в частности, рассматриваться как гармонические с медленно меняющимися параметрами (амплитудами, фазами и т. п.). Тогда для огыскач ния приближенных решений нелинейных уравнений движения И исследования их устойчивости применим метод медленно меняющихся параметров или метод Ван-дер-Поля, основанный па усреднении медленно меняющихся параметров за каждый цикл движения. [c.199]

На любое из этих решений а распространяется замечание, вытекающее из теоремы Дирихле для динамического случая, а именно, что возможно указать чисто качественное условие устойчивости, т. е. условие, выражаемое посредством одних только соотношений неравенства. Действительно, таким является в силу уравнений (104) условие, что Н имеет для решения о действительный максимум или минимум (см. п. 7 и гл. VII, пп. 5—6, 17) замечание о лагранжевых системах с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени, в конце упомянутого п. 17, гл. VI, таким образом, будет вполне оправдано, так как, как это непосредственно следует из п. 1 той же самой главы, всякая такая лагранжева система определяет каноническую систему с характеристической функцией, не зависящей от t, и обратно. [c.324]

Методы интегральных преобразований. Довольно часто удается использовать метод интегральных преобразований для приведения основных уравнений и граничных условий в пространстве трансформант к форме, не зависящей от времени. Эта задача может быть решена для ряда значений параметров преобразования, после чего численно выполняется обращение преобразования Лапласа (переход к временной переменной). Примеры таких решений можно найти в работах Риццо и Шиппи [20, 39], которым мы следуем здесь. [c.278]

Заметим, что пренебрежение столкновениями между частицами легкой примеси и приближенное описание взаимодействия с тяжелым газом не позволяют с помощью уравнения (6.1) рассмотреть полную релаксацию к состоянию равновесия. Это, в частности, проявляется в том, что равновесным — не зависящим от времени и координат — решением уравнения (6.1) оказывается произвольная функция, не зависящая от направления вектора V. Поэтому уравнение (6.1) позволяет рассмотреть лишь те релаксационные процессы, которые приводят только к изотропиаации распределения частиц легкого газа по скоростям. [c.34]

Вглядываясь внимательным образом в уравнения (5.1), мы можем прежде всего подметить необратимость процессов, описываемых этими уравнениями. Это означает следующее рассмотрим некоторое движеиие вязкой жидкости, происходящее под действием сил, не зависящих от времени, и в некоторый момент времени определим поле скоростей переменим теперь направления всех скоростей на обратные и примем это распределение скоростей за начальное тогда жидкость будет совершать некоторое движение. Если бы жидкость была идеальной, то каждая частица жидкости проходила бы в обратном порядке ту траекторию, по которой она двигалась до момента / = 0 и притом с теми же самыми скоростями, но только прямо противоположно направленными в случае вязкой жидкости этого обстоятельства существовать не будет—новое движение не будет уже иметь такой непосредственной связи с первоначальным. С математической точки зрения это последнее утверждение сводится к тому, что если мы имеем решения v x, у, г, t) и р х, у. г, /) уравнений (5.1), то функции [c.400]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Близкий к методу Четаева возможный способ построения функций Ляпунова для линейных уравнений с переменными коэффициентами предложил Я. Н. Ройтенберг (1958). Этот способ состоит в выделении из коэффициентов уравнений части, не зависящей от времени. Система преобразуется так, чтобы выделенная постоянная часть имела канонический вид, корни характеристического уравнения которой были бы простыми. Функция Ляпунова V строится далее в виде суммы квадратов новых переменных со знаком минус. Условия устойчивости доставляются условиями определенной положительности У, накладывающими на переменные части коэффициентов некоторые ограничения. Успешность решения задачи зависит от удачного разделения уравнений на постоянную и переменную части. Для большей гибкости процедуры предлагается варьировать функцию Ляпунова введением коэффициентов перед квадратами переменных. Этот способ Я. Н. Ройтенберг (1965) распространил в дальнейшем на линейные уравнения в конечных разностях. Роль производной функции Ляпунова здесь уже играет в силу системы первая разность функции Ляпунова (см. Ю. И. Неймарк, 1958). [c.43]

Аналогично из рассмотрения солитонных решений мы заключаем, что разности фаз 1р также являются интегралами уравнения КдФ. В гл. 3 мы также упомянули, что Миуре, Гарднеру и Крускалу удалось доказать существование бесконечной последовательности интегралов уравнения Кдф. Они предложили метод построения этих интегралов. Интегралы, или не зависящие от времени функционалы, могут существовать также на решениях общего уравнения (4.1). В этой главе мы изучим их свойства. [c.96]

С другой стороны, если допустимы более общие начальные условия, то на основании (259) они могут порождать произвольное значение dvIdx — duldy, не зависящее от времени. Тогда и и V могут отличаться от безвихревого решения уравнения (260) на произвольное горизонтальное движение, которое является как бездивергентным, так и стационарным. С этим движением не связана никакая восстанавливающая сила, и оно может оставаться невозмущенным, пока волновая энергия распространяется, как было описано выше. [c.435]

Для систелш с одной степенью свободы и гамильтонианом, не зависящим от времени, всегда существует интеграл движения. В лшо-гомерпом случае, если переменные в уравнении Гамильтона—Якоби полностью разделяются, можно найти N интегралов движения, которые развязывают все N степеней свободы. Обозначим производящую функцию через 5 и примем, что в случае полного разделения переменных решение имеет вид [c.34]

Рассмотрим сначала одномерную задачу и возьмем в качестве операции симметрии преобразование инверсии относительно точки -V = О, в результате которого х переходит в —х. Это преобразование симметрии обычно обозначают символом J. Допустим теперь, что нам известно решение 1171 не зависящего от времени уравнения Шре-дмнгера с этим гамильтонианом, т. е. [c.25]

В настоящей главе рассмотрены временнйе задачи переноса нейтронов, в которых пространственными и энергетическими изменениями нейтронного потока нельзя пренебречь и эти изменения не могут быть описаны моделью точечного реактора (см. гл. 9). В разд. 9.2.3 показано, что хотя уравнения кинетики реактора (9.8) и (9.9) являются точными, они останутся чисто формальными до тех пор, пока не будет получена оценка форм-функции г ) (г, й, Е, t) для любого момента времени, достаточно хорошая для определения реактивности и других параметров реактора по уравнению (9.10). Известно, что в некоторых случаях форм-функция может быть аппроксимирована не зависящей от времени функцией, приводящей к точечной модели реактора, либо в более общем случае получена из адиабатического приближения. Иногда (г, й, Е, О можно рассчитать на основе квазистатического приближения. Сравнение этих трех приближений дано на примере в разд. 10.1.3, но сначала рассмотрим другие методы решения задач, в которых поток нейтронов зависит как от времени, так и от пространственных координат. [c.420]

Метод установления. В большинстве работ, посвященных численному решению прямой задачи теории сопла, используется метод установления (стабилизации), идея которого состоит в использовании для решения стационарной задачи нестационарных уравнений газовой дипамики [152]. Для нестационарных уравнений решается краевая задача с граничными условиями, соответствующими граничным условиям стационарной задачи, не зависящим от временной координаты. Искомое стационарное решение получается как предел, к которому стремится нестационарный процесс с ростом Такой прием, повышающий на единицу размерность уравнений, тем пе менее для многих задач оправдай. К таким задачам относятся, например, задачи о течении газа в соплах и струях, задачи обтекания тел газом, когда движение газа описывается уравнениями смешанного эллиптико-гиперболического типа. Введением временной координаты задача сводится к решению гиперболических уравнений. [c.103]

Вычислительная устойчивость всех упомянутых выше зависящих от времени решений была ограничена сверху по числу Рейнольдса (принципиально этот предел определяется сеточным числом Рейнольдса, т. е. числом, полученным по размеру шага ячейки конечно-разностной сетки). В 1966 г. Томан и Шевчик добились, по-видимому, неограниченной вычислительной устойчивости, используя для представления конвективных членов разности против потока и уделяя особое внимание граничным условиям. Их расчеты обтекания цилиндра простирались до чисел Рейнольдса, равных миллиону они даже могли вращать цилиндр и получать магнусову подъемную силу, не сталкиваясь при этом с вычислительной неустойчивостью. Несмотря на то что их схема имела лишь первый порядок точности, согласование полученных ими результатов с экспериментальпыми данными заставило переоценить важность формального порядка ошибок аппроксимации при разностном представлении дифференциальных уравнений в частных производных. В этой связи представляется важной работа Чена [1968], установившая существенное влияние численной постановки граничных условий. [c.21]

Рассмотрим теперь условия существования стационарного распределения. Последнее представляет собой не зависящую от времени и начальных условий функцию плотности распределения переходной вероятности Ро (/V) данного случайного процесса Л (0, которая может устанавливаться при / Иначе говоря, процесс, обладающий стационарным распределением, за достаточно большое время перестает практически зависеть от начальных условий и времени. Это означает, что для таких достаточно долго существующих в случайной среде систем характерно установление стационарного распределения численности. Математически стационарное распределение соответствует решению уравнения Колмогорова при условии дро1дг = 0. Существование Ро(Ю обеспечивается интегрируемостью введенной ранее функции/ 2 (Л ) на интервале ( 1, Г2). В одномерном случае [c.317]

Соответствующая система уравнений движения идеальной жидкости принципиально может быть решена, однако получение решений, зависящих от четырех переменных (трех координат и времени), практически невозможно. Известны некоторые попытки получения численных решений в случае установившегося движения, а также при дополнительных упрощающих предположениях. Решение пространственных задач, несомненно, имеет методическую и теоретическую ценность, однако сложность соответствующих вычислений и частный вид получаемых результатов не удовлетворяют потребностей современной практики расчетов и экспериментальных исследований турбомашин. Другой, более распространенный, подход к расчету пространственного потока в решетках турбомашин состоит в решении предельных двумерных задач установившихся течений осесимметричного течения через решетки с бесконечным числом лопаток, двумерного течения на осесимметричных поверхностях токов в слое пере.менной толщины и вторичных течений в поперечных сечениях двумерного потока. Упомян гтые двумерные задачи допускают практически приемлемые методы решения и в своей совокупности дают приближенное решение задачи пространственного течения, [c.273]

Относительно простые уравнения, учитывающие геометрическую нелинейность задачи, получаются, если ввести допущение о том, что в процессе ползучести оболочки при возмущенном движении, обусловленном некоторыми отклонениями от идеальной формы, напряжения и деформации в ней мало отличаются от напряжений и деформаций основного безмо-ментйого состояния. Введение этого допущения позволяет привести задачу об определении прогибов и напряжений пологой оболочки в условиях ползучести к системе из двух нелинейных интегродифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, зависящих от координат на срединной поверхности и времени [87], Эти уравнения отличаются от уравнений, которые были получены ранее [83, 77] при исследовании условных критериев устойчивости, только слагаемыми, учитывающими геометрическую нелинейность. Сведение задачи к системе из двух уравнений позволяет использовать для решения задач ползучести оболочек эффективный прием, аналогичный тому приему, который был предложен Карманом и Тзяном при решении нелинейных задач для упругих оболочек. Прием состоит в разыскании функции прогибов в виде ft (О Щ (х, у), где Wi x, у) — задаваемые функции координат. Вид функции напряжений устанавливается с помощью уравнения совместности. Второе уравнение интегрируется по координатам приближенно в смысле Бубнова — Галеркина. Задача сводится к системе нелиь ей-ных интегральных уравнений относительно функций интегрирование которых при заданных начальных условиях [c.273]

Вторая лекция. Первую половину лекции рекомендуется посвятить решению, в качестве примера, задачи № 837 из сборника И. В. Мещерского (изд. 1965 г.). В условии этой задачи не сделано оговорки о том, что коэффициент трения принимается постоянным, не зависящим от относительной скорости. Если учесть в этой задаче хотя бы незначительное изменение коэффициента трения в зависимости от относительной скорости скольжения, то получим типичный пример самовозбуждаюцдихся колебаний, физическую сторону которых легко описать с помощью баланса энергии. Целесообразно рассмотреть и некоторые другие примеры автоколебаний. Во всяком случае здесь вполне уместно дать определение автоколебаний, подчеркнув их особенности, и перейти к изложению вынужденных колебаний под действием сил, являющихся заданными функциями времени. Во второй части лекции следует дать решение дифференциального уравнения движения системы с одной степенью свободы под действием восстанавливающей и гармонической возмущающей сил. Полезно представить решение этого уравнения в виде суммы трех слагаемых, выражающих соответственно свободные колебания, свободные сопровождающие колебания и чисто вынужденные колебания. [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...