Фоккера — Планка уравнение решение

Из-за флуктуаций можно говорить лишь о вероятности разл. значений ф. Стационарное распределение является решением Фоккера — Планка уравнения [к к-ро-му можно свести ур-ние (1)] и записывается в виде [c.329]

В этих же работах, а также в [304, 435] рассмотрено влияние внешнего шума на поведение системы и показано, что в случае е = О средняя длительность ламинарной фазы т пропорциональна где шума. Чтобы получить этот результат, авторы работ [304, 503] переходят от уравнения Ланжевена к соответствующему уравнению Фоккера — Планка. Однако решение этого уравнения получено в [304, 503] при граничных условиях, не соответствующих рис. 8.18. Соответствующие граничные условия получены в работе [229], результаты которой будут изложены ниже. [c.248]

Уравнение Фоккера—Планка. Точные решения 113 [c.113]

В гл. 10 исследуется влияние шума на процессы, уже ранее рассмотренные. Глава невелика по объему, но весьма содержательна. Интересны приведенные примеры численного решения уравнения Фоккера—Планка. Приводится решение многомерного уравнения Фоккера—Планка для стационарного состояния при выполнении условия детального баланса. Изложение в целом не претендует на полноту, поскольку в серии книг по синергетике, выпускаемой издательством Шпрингер , имеются специальные выпуски, посвященные этим вопросам. [c.12]

Оператор Фоккера—Планка, стоящий в правой части уравнения, описывает необратимость поведения частицы, связанную с трением (первый член) и диффузией в импульсном пространстве (второй член). Нетрудно убедиться, что стационарное решение, релаксацию к которому описывает уравнение Фоккера—Планка, соответствует распределению Максвелла—Больцмана [c.73]

Хотя описание брауновского движения с помощью уравнения Фоккера—Планка (5.55), (5.44) эквивалентно описанию, основанному на уравнении Ланжевена (4.1), однако в первом случае расчетная схема является более удобной и компактной. Решение уравнений (5.44) или (5.55) с начальными условиями позволяет определить все необходимые средние значения в виде интегралов. [c.73]

Решение уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. Определим стационарное распределение. Тогда = 0, и из уравнения (4.97) получим [c.188]

В этом случае — =0. Для решения уравнений Колмогорова—Фоккера—Планка [c.134]

Уравнения (216) аналогичны (208), поэтому решением этой системы будет двумерный марковский процесс, т. е. системе уравнений (216) ставится в соответствие следующее уравнение Колмогорова—Фоккера—Планка [c.136]

Таким образом, физически разумный метод решения системы уравнений Боголюбова заключается в том, чтобы начинать эту процедуру не с последнего уравнения для функции Б , а с первого для функции Б[ и пытаться тем или иным способом оборвать эту систему. Если оказывается возможным выразить некоторую функцию Б +1 как функционал от функций Б1 (/ < п), то такой обрыв системы (86.7) становится возможным, и мы придем к системе с конечным числом уравнений. В частности, если удается тем или иным способом выразить как функционал от Б (х/, /) функцию Б2 (х/, Х2, /), мы получаем уравнение для одночастичной функции Б (х , /), которую принято называть кинетическим уравнением. Уравнение Больцмана и уравнение Фоккера - Планка представляют собой частные случаи кинетических уравнений. [c.478]

Остановимся кратко на основных методах, которые используются в настоящее время при вероятностном исследовании нелинейных систем. Точное решение нелинейных уравнений статистической динамики принципиально возможно методами теории Марковских процессов. Многомерные распределения, переходные вероятности, моментные функции процессов получают на основании уравнений типа Фоккер — Планка — Колмогорова. Однако применение методов теории Марковских процессов в конкретных инженерных задачах до сих пор ограничено из-за вычислительных [c.78]

Эволюция ансамблей межзеренных дефектов обусловлена статистическим распределением зародышей дефектов и взаимодействием между ними. Решение уравнения Фоккера-Планка [c.160]

Поскольку 0(2 )w i 2i)w удовлетворяют дифференциальным уравнениям (7Г.15), ясно, что точное решение этих уравнений должно зависеть от производных функции распределения / всех порядков, т. е. в общем случае (7.4.67) не будет иметь вид уравнения Фоккера-Планка. Отметим, однако, что последние члены в уравнениях (7Г.15) относительно малы, так как они обратно пропорциональны числу активных атомов, которое является макроскопической величиной ). Поэтому, считая, что > 1, можно решать уравнения (7Г.15) методом итераций. В нулевом приближении пренебрегаем последними двумя членами в этих уравнениях. Это приводит к системе алгебраических уравнений, которые легко решаются. Затем полученное решение подставляется в правые части уравнений (7Г.15) и функции g(2)w i 2i)w находятся в первом приближении по параметру N . Ограничиваясь этим приближением, находим [c.153]

Пусть квантовый осциллятор находится в равновесном состоянии и описывается матрицей плотности п дщ п ) = где вероятности даются формулой (7.3.37). Полагая = eq в (7.3.38), найти в явном виде равновесную функцию распределения /о( , 2 ) и убедиться, что она совпадает со стационарным решением (7.3.62) квантового уравнения Фоккера-Планка. [c.156]

Разложение по градиентам. Уравнение (9.1.35) является точным. Кроме того, оно справедливо для функции распределения любых базисных динамических переменных. Все это — несомненные достоинства обобщенного уравнения Фоккера-Планка. Но к сожалению, это уравнение очень сложное и в таком виде непригодно для решения конкретных задач. Покажем, что в случае крупномасштабных гидродинамических флуктуаций уравнение (9.1.35) можно существенно упростить. [c.224]

Видно, что даже в случае относительно простой системы, каковой является однокомпонентная жидкость, гидродинамическое уравнение Фоккера-Планка имеет довольно сложную структуру. Отметим, однако, что во многих физических задачах это уравнение можно упростить. Если флуктуации малы, то диффузионную матрицу можно разложить в ряд по отклонениям гидродинамических переменных от их средних значений. Тогда удается найти явное решение уравнения Фоккера-Планка или, по крайней мере, вычислить корреляционные функции флуктуаций и поправки к наблюдаемым коэффициентам переноса. В другом типичном случае, когда сильные флуктуации испытывают только некоторые из гидродинамических переменных, общее уравнение Фоккера-Планка может быть сведено к уравнению для функционала распределения от меньшего числа переменных. Важный пример — теория турбулентности — будет рассмотрен в параграфе 9.4. [c.236]

В принципе, уравнение Фоккера-Планка для турбулентного движения можно получить из общего уравнения (9.1.66). Но, поскольку нас интересует функционал распределения только одной случайной гидродинамической переменной — скорости v, проще вывести уравнение Фоккера-Планка непосредственно из стохастического уравнения (9.4.11). Единственной нетривиальной проблемой является учет дополнительного условия V V = О, которое в терминах пространственных фурье-компонентов выглядит как = 0. Оно означает, что для любого к только две из переменных являются независимыми. С другой стороны, обычные способы вывода уравнения Фоккера-Планка предполагают, что все переменные в стохастических уравнениях являются независимыми. Для решения этой проблемы нам понадобятся некоторые сведения из теории векторных полей. [c.258]

Уравнения Рейнольдса. Ясно, что найти точное решение функционального уравнения Фоккера-Планка (9.4.31), описывающее турбулентное движение, очень сложно, если вообще возможно. Поэтому имеет смысл рассмотреть некоторые [c.261]

В большинстве работ по теории турбулентности опускается последний член в (9.4.45). При этом предполагается, что пульсации скорости существенно превышают тепловой уровень. Такое предположение справедливо для крупномасштабных пульсаций, но, вообще говоря, оно может нарушаться на малых масштабах, где основную роль в релаксации скорости играет вязкость. Заметим также, что тепловой шум необходимо учитывать для того, чтобы уравнение Фоккера-Планка имело правильное равновесное решение. [c.263]

Нормальные решения уравнения Фоккера-Планка. Как [c.266]

Построение нормальных решений уравнения Фоккера-Планка начнем с того, что введем квазиравновесный функционал распределения gj(v ), который соответствует максимуму информационной энтропии (9.4.47) при заданных средних значениях (9.4.37) и (9.4.67) и условии нормировки всех пробных функционалов Используя метод Лагранжа, ищем абсолютный экстремум функционала [c.267]

Наметим кратко, как с помощью квазиравновесного функционала распределения (9.4.69) можно получить замкнутую систему уравнений для средней скорости и(г, ) и корреляций (7 (г,г, ), отбирая определенный класс решений уравнения Фоккера-Планка (9.4.31). [c.268]

Уравнения (9.4.80) не замкнуты, поскольку средние потоки зависят от функционала распределения, который пока не известен. Если, однако, найти в форме функционала от U r t) и (7 (г,г, ), т.е. построить нормальное решение уравнения Фоккера-Планка, то уравнения (9.4.80) станут замкнутыми уравнениями переноса, хотя, возможно, и довольно сложными. [c.269]

По виду уравнение Фоккера-Планка (9.4.76) напоминает уравнение Лиувилля, поэтому для построения его нормального решения воспользуемся тем же методом, который неоднократно применялся для отбора нужного класса решений уравнения Лиувилля. В соответствии с общей идеей сокращенного описания, определим нормальное решение уравнения (9.4.76) как решение, совпадающее в отдаленном прошлом с квази-равновесным функционалом распределения (9.4.69). Формально это граничное условие можно учесть, переходя от (9.4.76) к уравнению с источником [c.269]

Подставляя его в (9.4.84), получаем запаздывающее решение уравнения Фоккера-Планка в искомой форме [c.270]

Подстановка выражения (9.4.87) в (9.4.80) приводит к формально замкнутым уравнениям для средней скорости и корреляций Эти уравнения аналогичны обобщенным уравнениям переноса, которые выводились ранее методом неравновесного статистического оператора из уравнения Лиувилля, поэтому в общем случае они сильно нелинейны и содержат эффекты памяти. Тем не менее, вполне возможно, что более детальное изучение нормальных решений уравнения Фоккера-Планка — один из путей построения последовательной статистической теории турбулентности. Надеемся, что читатель, дочитавший до конца книгу, достаточно подготовлен к тому, чтобы принять участие в решении этой важной и увлекательной проблемы. [c.270]

В. Равновесное решение уравнения Фоккера-Планка [c.273]

Покажем, что равновесная функция распределения гидродинамических переменных является стационарным решением уравнения Фоккера-Планка (9.1.47). [c.273]

Уравнение Ланжевена (1.94) имеет набор случайных решений, распределение по которым задается соответствующим уравнением Фоккера— Планка [c.57]

Уравнение Фоккера—Планка. Точные решения. Некоторые чааные вопросы [c.107]

Рассмотрим винеровский случайный процесс (см. 18), описывающий, пока для простоты, одномерное брауновское движение свободной частицы (многомерное обобщение этого подхода очевидно). Мы уже знаем, что условия и безусловная плотности вероятности удовлетворяют уравнениям Смолуховского (5.27) и Фоккера—Планка (5.39) (в данном случае — уравнению диффузии (5.47)), и нашли их решение (5.48). Обсудим, каким образом можно определить вероятность тех или иных траекторий х 1) бра-уновской частицы, начинающихся при =0 в точке хо. Для этого прежде всего разделим временной интервал (0, ) на п частей (например, равных At=t n) t =jAt и введем для каждого момента пространственные интервалы (aj, 6 ,). Теперь разобьем множество возможных траекторий частицы в зависимости от того, проходят ли они через эти ворота (или окна ) а <Х]<Ь , где, как и раньше, Xj = x(tj) (рис. 9). Вероятность реализации такого множества траекторий можно найти, интегрируя условную плотность вероятности [c.90]

Обсудим кратко выведенные выше уравнения Фоккера—Планка (вращательной ди( )())узии), некоторые их решения и отличия вращательного брауновского движения от трансляционного. [c.237]

Полученное нами уравнение (7.3.48) для функции распределения квазивероятностей квантового осциллятора в термостате представляет собой частный случай общего уравнения Фоккера-Планка, которое широко используется в самых разных областях естествознания. Методы решения уравнения Фоккера-Планка и его приложения подробно рассматриваются, например, в книге Рискена [146]. В некоторых случаях уравнение Фоккера-Планка удается решить аналитически. Именно так обстоит дело с уравнением (7.3.48). [c.126]

Несмотря на то, что марковское уравнение Фоккера-Планка (9.1.47) по своей структуре значительно проще исходного уравнения (9.1.35), получить его точное решение не удается из-за чрезвычайно большого числа переменных. Можно, однако, доказать некоторые важные свойства этого уравнения. Например, в приложении 9В показано, что равновесная функция распределения гидродинамических переменных является стационарным решением уравнения (9.1.47). Это означает, что уравнение Фоккера-Нланка описывает релаксацию системы к равновесию. [c.226]

Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций состоит во введении в уравнения переноса случайных источников , описывающих тепловой шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями а их решения описывают не только регулярное (усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-гласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуаций. Поэтому представляет интерес построение стохастических гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63). [c.237]

Пункт 8.3 посвящен исследованию процесса взрывной кристаллизации, представляющего результат самоорганизуемой критичности в стохастическом распространении тепла по узлам иерархического дерева. Исследование эффективного уравнения движения показывает, что в согласии с предьщущим пунктом неустойчивость развивается только в том случае, когда тепловой эффект кристаллизации (или энергия, вводимая извне) превышают критическое значение, величина которого определяется температуропроводностью. Стационарная функция распределения тепла кристаллизации определяется уравнением Фоккера—Планка, решение которого приводит к выражениям для потока тепла, вьщеляющегося в результате кристаллизации, и вероятности спонтанной кристаллизации в пленке докритической толщины (см. п. 8.4). Оказывается, что эта веро- [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...