Использование возмущенных уравнений

Использование возмущенных уравнений [c.230]

Глава 4 посвящена использованию сопряженных уравнений и теории возмущений для исследования прочностных характеристик твэлов ядерных реакторов. Рассматриваются линейные функционалы перемещений и скоростей перемещений. Математический аппарат этой главы разработан применительно к случаю упругих деформаций в среде. Показано, как можно применить этот аппа- [c.6]

Попытка математически описать переходной процесс с использованием необходимых уравнений, связывающих входные и выходные параметры, не приводит к должным результатам из-за разнообразных режимов работ затвора клапана, случайных возмущений эксплуатационного характера, значительного числа переменных и т. д. Математическое описание переходного процесса возможно в простейших случаях при весьма ограниченном числе характерных режимов, значительном упрощении составленных уравнений и пренебрежении иногда существенными членами уравнений. [c.325]

Несмотря на большое разнообразие реальных физических ситуаций, приводящих к нестационарности молекулярных потоков, необходимый для их анализа математический аппарат традиционен и состоит в использовании дифференциальных уравнений баланса газовых потоков и уравнения диффузии Фика [108]. Рассмотрим на этой основе кинетику откачки двухкамерной системы с диафрагмированным каналом связи [48] и распространение возмущения молекулярной кон- [c.143]

В предыдущем параграфе рассматривались лишь те простейшие случаи до- и Сверхзвуковых течений, которые приводили к возможности использования линеаризированных уравнений движения. Малость возмущений, создаваемых обтекаемыми телами, позволяла отбрасывать вторые и старшие степени, а также произведения возмущенных элементов потока и их производных. При обтекании крыловых профилей сравнительно большой толщины и вогнутости уже нельзя пользоваться линеаризированными уравнениями и граничными условиями, а приходится обращаться к общим, нелинеаризированным уравнениям течения сжимаемого газа. [c.340]

Как уже указывалось выше, число работ, содержащих различного рода приближенные методы расчета отрывных и безотрывных сверхзвуковых течений с распространением возмущений вверх по потоку с учетом эффектов взаимодействия, чрезвычайно велико. Однако большая их часть относится к небольшому числу основных направлений. Одно из направлений связано с использованием интегральных уравнений пограничного слоя. Задача об отрывном или безотрывном взаимодействии области вязкого течения с внешним невязким сверхзвуковым потоком сводится к интегрированию системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Эти уравнения получаются формальным интегрированием уравнений пограничного слоя в поперечном направлении. В них входят определенные интегральные характеристики пограничного слоя толщины вытеснения, потери импульса, энергии и т. п. Кроме того, добавляется соотношение, определяющее связь между распределением давления в невязком сверхзвуковом потоке и толщиной вытеснения области вязкого течения. Информация о формах профилей скорости и энтальпии в пограничном слое оказывается утерянной и должна быть постулирована в виде каких-либо семейств кривых, зависящих от такого же числа свободных параметров, сколько имеется уравнений для определения их распределения по продольной координате. Для получения удовлетворительных результатов важное значение имеет выбор семейства профилей распределения параметров поперек пограничного слоя. Единственным критерием качества является сопоставление результатов с экспериментальными данными. [c.11]

С использованием потенциала возмущений уравнения (18.6) и (18.7) примут соответственно вид [c.339]

Ганзен первым оценил те преимущества, которые получатся в результате прибавления всех возмущений как долгого, так и короткого периодов к средней долготе, или, что то же, к средней аномалии. В этом случае уравнение центра, вычисленное по формуле эллиптического движения, дает непосредственно истинную возмущенную долготу в орбите, тогда как радиус-вектор п широта, полученные по эллиптическим формулам с использованием возмущенной средней аномалии, [c.359]

Волны в жидкостях и газах. В жидкостях и газах возможны лишь деформации сжатия и растяжения, поэтому в них могут распространятся только продольные волны. Хотя мы ранее и рассчитывали скорость распространения возмущений в газе, тем не менее вычислим скорость распространения продольных волн с использованием волнового уравнения. Последнее может быть получено из (4.74), в котором следует заменить величиной -5р = Ро р, где р — давление в волне, р — равновесное давление в среде, 5р — возмущение давления. Тогда мы можем записать [c.97]

Система, испытывающая упруго-пластические деформации, не является консервативной. Поэтому, вообще говоря, исследование устойчивости равновесия за пределом упругости должно основываться на анализе движения такой системы вблизи основного состояния равновесия при сообщении системе некоторых возмущений. Этот анализ чрезвычайно затруднителен по двум причинам во-первых, мы не располагаем надежными уравнениями пластичности при циклических деформациях, во-вторых, даже при использовании простейших уравнений (например, уравнений деформационной теории или теории течения) возникают огромные математические трудности. [c.350]

Здесь же отметим, что использование уравнения Рэлея — Ламба или его обобщений типа (4.2.41) для описания радиального движения жидкости около пузырька правомерно только тогда, когда характерные времена макропроцесса (например, период радиальных пульсаций или время воздействия на смесь fo) многократно превышают времена пробега звуковыми возмущениями в жидкости расстояний порядка размера пузырьков или расстояний между ними [c.201]

Однако в подавляющем большинстве случаев общее решение дифференциальных уравнений движения (1.1) неизвестно, поэтому этот метод практически редко может быть использован. Но даже в тех случаях, когда общее решение дифференциальных уравнений (1.1) можно построить, ответ на вопрос — устойчиво ли движение, целесообразно, как правило, искать не из анализа общего решения, а с помощью методов, специально разработанных в общей теории устойчивости движения. Эти методы основаны на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) Xj. [c.18]

Аналогичный метод малых возмущений был использован Ц. Линем и П. Лисом ) при исследовании устойчивости ламинарного пограничного слоя на плоской пластине, обтекаемой потоком сжимаемого газа. В этом случае уравнение нейтральной кривой может быть записано в виде [c.311]

Область возмущений нагрузки характеризуется тензором кинетических напряжений (Т)нагр. построение которого основано на использовании общего решения (2.5.2) уравнений равновесия фиктивного тела, удовлетворении граничных условий [c.309]

Причиной замены истинного потенциала более слабым псевдопотенциалом является необходимость использования теории возмущений при решении уравнения Шредингера. Известно, что истинный потенциал электрон-ядерного взаимодействия весьма ве- [c.66]

Рассматриваемая вихревая модель весьма удобна для расчета обтекания на электронно-вычислительных машинах. Это обусловлено, во-первых, достаточно простыми соотношениями, которыми описывается возмущенное течение около летательного аппарата, и, во-вторых, рядом важных свойств системы алгебраических уравнений, к которым сводится решение задачи. Одно из этих свойств состоит в том, что диагональные члены в матрице коэффициентов уравнений играют доминирующую роль сами же решения обладают большой устойчивостью по отношению к исходным данным. Существенной особенностью расчетов на ЭВМ является также и то, что использование косых подковообразных вихрей вместо обычных приводит к значительному упрощению вычислений и достижению более точных результатов. [c.222]

В заключение отметим, что в случае щтампа конечной ширины (0 < X < /) решение может быть получено с использованием суперпозиции решений для полубесконечных штампов. Этот результат основан на том факте, что уравнения динамической теории упругости имеют гиперболический характер и, следовательно, возмущения распространяются с конечной скоростью. Поэтому, пока волны дифракции от противоположного края не достигли рассматриваемой области, пригодно решение для полубесконечного штампа. [c.492]

Основная трудность при рассмотрении неоднородных материалов со статистической точки зрения заключается в том, что для таких величин, как среднее значение ф(х) или двухточечная корреляционная функция / 2ф, не удается получить замкнутую систему конечного числа уравнений как показано в разд. III, Б, вместо этого получается бесконечная цепочка уравнений. Только в некоторых приближениях, например в приближении малых возмущений, использованном при выводе уравнения (35), можно найти решение для ф или других статистических характеристик. [c.281]

Три уравнения (К ) в том случае, когда вспомогательная постоянная исключается посредством формулы (Ь ), строго представляют (согласно нашей теории) три конечных интеграла трех известных уравнений второго порядка (М ) для относительного движения бинарной системы (т,- т ) и дают для такой системы три переменные относительные координаты 1, 0 как функции их начальных значений и начальных скоростей а р,, v , а, / , т и времени /. Подобным же образом три уравнения (I ), по исключении посредством (Ь ), представляют собой три промежуточных интеграла этих же известных дифференциальных уравнений движения той же бинарной системы. Эти интегралы перестают быть строгими, когда мы вводим возмущения относительного движения этой частной или бинарной системы (т,/Пп), возникающие вследствие притяжений или отталкиваний других точек т, всей предполагаемой множественной системы. Однако они могут быть исправлены и сделаны строгими путем использования остающейся части У/2 полной характеристической функции относительного движения V вместе с главной частью приближенного значения Уравнения (Х ), (У ) двенадцатого параграфа дают строго [c.227]

Первым этапом методики прогнозирования является разработка математических моделей агрегатов-источников БЭР и утилизационных установок для возможных стратегий перспективного развития. Математические модели технологических процессов строятся на основе данных статистического анализа или с использованием математических соотношений, вытекающих из физической природы процессов (уравнений материального, теплового баланса и т. п.). При этом простые аналитические модели позволяют вчерне разобраться в основных закономерностях явлений, а любое дальнейшее уточнение может быть получено статистическим моделированием. В этом заключается дуализм использования математических моделей технологических процессов, которые, с одной стороны, являются неотъемлемой частью всего комплекса методов принятия решений в условиях неопределенности, а с другой стороны, будучи использованы в качестве самостоятельных объектов исследования, эти модели позволяют получить ряд полезных результатов. Путем варьирования различных параметров (входных по отношению к моделируемому процессу) может быть оценен целый ряд функциональных зависимостей, а также получаемые при возмущениях на входе изменения параметров на выходе системы (к которым относятся, в частности, удельные показатели выхода и выработки энергии на базе БЭР). [c.269]

Этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения в ряд Фурье по малому параметру правых частей уравнений (5.5). В дальнейшем ограничимся, как уже отмечалось, первым приближением, что соответствует исследованию основного резонанса и позволит определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмуш,ений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой вывод является вполне оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмуш,ениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений % и г[ значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превосходит (но не превосходит величины /Ро), то возможно применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмуш,ений % и if] эквивалентными S-коррелированными и использование аппарата процессов Маркова и уравнения ФПК [81 ]. Стохастические методы, связанные с использованием процессов Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы будет увеличиваться и условие < Тр будет выполненным. [c.201]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

На основании уравнения количеств движения можно найти равнодействующий момент взаимодействия лопастного колеса с потоком по величине возмущения, создаваемого им в потоке. При этом кинематика потока внутри области, занятой лопастным колесом, исключается из рассмотрения. Исследование сил взаимодействия профиля в решётке с потоком позволяет установить связь с работой единичного профиля. Установление такой связи весьма ценно, так как открывает возможности по использованию опытных данных авиационных продувок единичных профилей при расчёте осевых насосов. [c.363]

Применительно к инженерно-физическим проблемам изложен, новый метод исследований, основанный на использовании математического аппарата сопряженных уравнений и теории возмущений. Рассмотрено применение метода при решении задач теплообмена и гидродинамики, анализе прочности элементов конструкции ядер-ных реакторов, исследовании электротехнических характеристик систем прямого преобразования энергии, а также при идентификации нестационарных процессов для целей технической диагностики ядер-ных энергетических установок. Обсуждаются преимущества метода и даются рекомендации по его использованию. [c.2]

В гл. 6 обсуждается метод решения обратных задач динамики ЯЭУ, основанный на применении формул теории возмущений. Показано, что идентификация нестационарных процессов в ЯЭУ может быть эффективно выполнена с использованием разработанного математического аппарата сопряженных уравнений. Вычислительная процедура идентификации, как следует из приведенных примеров, существенно выигрывает в экономичности при использовании формул теории возмущений по сравнению с традиционным методом минимизации невязки между экспериментально измеренной и модельной характеристиками. [c.7]

Правая часть уравнения (3.204) после преобразований дает результат (3.196), Принимая во внимание граничные условия (3.202) и (3.203), получаем из (3.204) с использованием (3.205) и (3.196) искомую формулу теории возмущений для декремента [c.109]

Далее, переходя от системы 2 к системе 1 с использованием уравнения (2.106), получаем после несложных преобразований искомую формулу теории возмущений [c.110]

Следует указать еще на одну важную область использования аппарата сопряженных уравнений переноса тепла и функций ценности тепловых источников. Речь идет об оптимизации характеристик теплофизической системы на основе использования функционалов теории возмущений. Подобно тому, как это делается в нейтронной физике [1, 72, 98], в теплофизических исследованиях функционалы теории возмущений позволяют в наиболее общем виде сформулировать алгоритмы решения вариационных задач на поиск оптимальных распределений тех или иных параметров системы. Остановимся на этом подробнее. [c.112]

Оценим влияние параметрических, постоянно действующих и начальных возмущений на качество переходных процессов при использовании законов управления вида (3.12). Поскольку вектор параметров неизвестен, заменим его некоторой оценкой т и подставим полученный закон управления в уравнение динамики РТК (3.1). Тогда получим следующее дифференциальное уравнение переходных процессов [c.67]

В гл. 3 с использованием сопряженных уравнений исследуются нестационарные процессы переноса тепла в каналах ядерных реакторов. Здесь также в центре внимания находится получение формул теории возмущений, которые в данном случае характеризуют нестационарные процессы. Описываются наиболее общий метод собственных функций, используемый для разложения нестационарного решения в ряд Фурье и требующий для своей реализации знания системы собственных функций сопряженного уравнения, биортогональной к системе собственных функций основного уравнения. [c.6]

В гл. II мы многократно выводили дифференциальные уравнения для амплитуды а и фазы г ) (амплитудно-фазовые уравнения) колебательных систем при использовании метода усреднения. Здесь изложим другой алгоритм построения амплитудно-фазовых уравнений первого приближения (вида (2.144)), не требующий предварительного написания возмущенных уравнений вида (2.133). Этот алгоритм основан на применении так называемого энергетического метода [147], хорошо известного в уравнениях математической физики. Для построения уравнений первого приближения достаточно знать некоторое выражение для работы возмущающих сил, а не сами силы, входящие в уравнения Лагранжа второго рода (2.128) или (2.133),.В ряде случаев это существенно упрощает задачу. Чтобы не загромождать суть дела большим количеством громоздких формул и выкладок, вернемся к задаче (см. 2.9) о построении приближенных решений системы (2.133), близких к одночастотпым колебаниям с медленно изменяющейся частотой (оДт). [c.171]

Однако непосредственное использование этих уравнений невозможно хотя бы потому, что гидродинамические поля в турбулент-ном течении всегда нестационарны и очень сильно зависят от мельчайших деталей начальных условий, а эти детали никогда не бывают известны с достаточной полнотой. Кроме того, если бы даже начальные значения и были известны точно, то все равно решение соответствующей задачи с начальными условиями из-за ее не-ухтойчивости относительно малых возмущений начальных данных было бы крайне громоздким и практически бесполезным. Однако отсюда еще не следует, что уравнения гидромеханики вообще не могут быть применены при изучении турбулентности. Благодаря тому, что индивидуальные реализации гидродинамических полей турбулентного течения удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, статистические характеристики этих полей оказываются связанными целым рядом соотношений, весьма важных для теории турбулентности. [c.226]

Пример. Однородная сфера единичной массы радиусом а подвешена на нити длиной Ь к неподвижной точке и приведена во вранхение вокруг вертикального диаметра. В состоянии этого стационарного движения сфере сообщается небольшое воэмун ,е1ше. Пусть Ьх, Ьу к Ь — координаты точки на поверхности сферы, к которой прикреплена нить, Ьх- г а , (/ -- - аг) и 6 г а — координаты центра сферы неподвижная точка принята за начало системы координат, а ось г направлена вертикально вниз. Кроме того, пусть срЧ где ф и ф имеют смысл, обычно придаваемый им при использовании кинематических уравнений Эйлера (см. т. I, гл. V). Поэтому до сообщения возмущения у/ — п. Показать, что функция Лагранжа дастся выражением [c.96]

П и П. В первом приближении допустимо считать последние три величины постойнными, благодаря чему они легко получаются из начальных элементов обеих планет при помощи формул сферической тригонометрии для использования в уравнениях (138). Если для возмущений первого порядка применяются выражения (92), то вместо первого уравнения из (138) мы имеем уравнение для д 1д1, которое можно получить непосредственным. дифференцированием ряда, выражающего функцию . [c.389]

Эффективный метод исследования дозвуковых потоков с большими возмущениями был предложен акад. С. А. Ч а п л ы г и н ы м г работе О газовых струях , где приведены уравнения, составляющие математическую основу теории потенциальных дозвуковых течений. Уравнения Чаплыгина являются основой многих методов аэродинамики сжимаемых течений. Акад. С. А. Христианович на их основе разработал метод, позволяющий учитывать влияние сжимаемости на дозвуковое обтекание профилей различной формы. По этому методу сначала решается задача об обтекании некоторого фиктивного профиля фиктивным несжимаемым потоком, а затем полученные результаты пересчитываются для условий обтекания реальным сжимаемым потоком заданного профиля. Этот пересчет основан на использовании функциональной зависимости между истинной относительной скоростью /. = Via сжимаемого потока и значением фиктивной безразмерной скорости А в соответствующих точках заданного и фиктивного профилей. [c.172]

Переход конвективного горения аэровзвесей в детонацию. Описанная в 2 теория конвективного горения аэровзвесей справедлива до тех пор, пока скорости движения газа существенно дозвуковые, и движуш,ийся за счет выделения продуктов горения газ не успевает вовлечь частицы топлива в движение. Для анализа дальнейшего развития процесса необходимо использование полной системы уравнений (5.3.1) для двухскоростного движения горючей аэровзвеси. Рассмотрим плоское одномерное нестационарное движение монодиснерсной аэровзвеси. Пусть в начальный момент времени на участке О < а а о У закрытого конца неограниченного объема повышается температура газа до и частиц до Tsначальный момент задается контактный разрыв (без возмущения давления), слева от которого частицы горят. Начальные и граничные условия сформулированной задачи имеют впд [c.430]

Решить указанную выше систему уравнений в общем случае не удается. Только при использовании дополнительных ограничений на характер протекания процесса, которые сильно упрощают математическую модель адсорбера, можно получить некоторые результаты, характеризующие динамические свойства объекта. Рассмотрим поведение арсорбера при малых входных возмущениях, выводящих его из стационарного режима. В этом случае можно воспользоваться линейным приближением и рассматривать линеаризованную модель вместо исходной нелинейной. [c.236]

Итак, волновой фронт распространяется по среде со скоростью Ссо. За ним движется возмущение с меньщей скоростью Со-При уменьщении времени релаксации быстрый сигнал, имеющий скорость становится малым, а основное возмущение распространяется со скоростью Со. В рамках описания, даваемого системой уравнений релаксирующего газа (2.2), разрыв на фронте волны отсутствует, если скорость U ударной волны, которая вводится при использовании приближенной системы (2.3), заключена в пределах [c.46]

Функции Ляпунова. Наиболее эффективным методом исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова. Этот метод не предполагает нахождения тех или иных решений уравнений возмущенного движения, а связан с отысканием некоторых функций V переменных i, Ж2,..., t и изучением свойств самих этих функций и их производных, функции V будем в дальнейшем называть функциями Ляпунова. В основе прямого метода Ляпунова лежат соображения, использованные Дирихле в его доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы (см. п. 225). [c.515]

В данном конкретном случае использованный метод не слишком подходящ, по двум причинам прежде всего мы обнаруживаем, что решения дифференциальных уравнений для q - и допускают еще одно слагаемое, пропорциональное решению невозмущенного уравнения (7.112). Но мы не добавили этот член к выражению q - а добавили к решению Сделано это было для того, чтобы получить правильный ответ, т. е. ответ, получаемый либо вторым способом, либо с помощью канонической теории возмущений— для и Если положить к тому же а равной 11/8, цель будет достигнута [ср. (7.133)]. Вторая трудность состоит в том, что у нас появился член, пропорциональный / osсо/, в выражении для Если разложение в ряд по степеням X имеет хоть какой-нибудь смысл, то должна быть возможность выбрать X столь малым, чтобы члены, содержащие (п Ф 0), оказались бы меньше невозмущенных членов. Но совершенно очевидно, что это невозможно, когда появляется неограниченно возрастающий член такого вида, как t os со/. В следующем параграфе мы увидим, что в выражении для [c.187]

Если математическая модель исследуемой динамической системы имеет высокий порядок п >2), а действующие на систему случайные возмущения относятся к классу со скрытой периодичностью (например, если в простейшем случае они описываются стационарными случайными функциями времени с дробно-рациональными спектральными плотностями), то решение поставленной задачи в общем случае требует использования специализированных комплексов. Для иллюстрации мы ограничимся приведенными выше моделями, описываемыми стохастическими дис еренциаль-ными уравнениями второго порядка, а также системами двух стохастических дифференциальных уравнений второго порядка, что позволяет использовать промышленные ЭВМ и одновременно дать краткий обзор основных результатов, полученных другими авторами. [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...