Решение задачи о малых колебаниях

Покажем, как учитывается влияние вязкого трения на примере решения задачи о малых колебаниях шпинделя веретена. [c.613]

Найти общее решение задачи о малых колебаниях материальной точки, находящейся в ноле силы тяжести на поверхности, заданной уравнением (ось О г направлена вертикально вверх) [c.166]

Совокупность функций (43.20) содержит 2s произвольных постоянных Ьа и Ра, определяемых из начальных условий, и поэтому является общим интегралом системы уравнений Лагранжа (43.13) или общим решением задачи о малых колебаниях консервативной системы с S степенями свободы вблизи ее положения устойчивого равновесия. [c.240]

Приступая к решению задачи о малых колебаниях многоатомной молекулы, необходимо с самого начала исключить из рассмот- [c.246]

Решение задачи о малых колебаниях многоатомной молекулы существенно упрощается, если от естественных координат перейти к новым обобщенным координатам, учитывающим симметрию молекулы (к так называемым координатам симметрии). Для рассматриваемой нами нелинейной симметричной молекулы ХУа такими координатами являются [c.250]

Решение задачи о малых колебаниях [c.36]

При исследовании малых колебаний около устойчивого равновесного состояния во многих случаях можно (не совершая большой погрешности) сохранять в выражениях, зависящих от координат и скоростей, только члены низшего (относительно этих величин) порядка, отбрасывая все другие как бесконечно малые высших порядков. Такая операция приводит обычно решение задачи о малых колебаниях к интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она называется линеаризацией уравнений движения системы. Колебания, описываемые линеаризованными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями. Линеаризация уравнений малых колебаний может иногда оказаться результатом некоторых конструктивных изменений в рассматриваемой или проектируемой системе, что до известной степени служит основанием ее допустимости. [c.69]

Рассмотрим условия, при которых можно ожидать, что колебания, отвечающие членам разложения р (u )i и А (ид)1, окажутся достаточно малыми. С этой целью заметим, что, согласно выражениям (17) и (18), эти члены представляют собой решение задачи о вынужденных колебаниях вибрационной машины под действием гармонических сил и моментов. [c.142]

Различают две задачи о малых колебаниях молекулы прямую и обратную. В прямой задаче постоянные к , к , к и к считаются заданными и задача сводится к вычислению частот и форм нормальных колебаний молекулы. В обратной задаче по известным из опыта собственным частотам колебаний молекулы требуется определить ее силовое поле, т. е. набор постоянных к , к , к и Н . Решение любой из этих задач в конечном счете сводится к интегрированию системы уравнений движения [c.250]

Такая форма решения хорошо известна в задачах о малых колебаниях, которые возникают при различных приложениях методов теорети- [c.451]

Волновое уравнение рупора. Строгое решение задачи о распространении колебаний малой амплитуды внутри рупора потребовало бы нахождения такого интеграла волнового уравнения (2.10), который удовлетворяет граничному [c.127]

В данной работе предложен метод решения плоской задачи о малых колебаниях кругового горизонтального цилиндра, расположенного полностью в слое линейно стратифицированной жидкости. [c.155]

Вернемся к системе N связанных атомов, совершающих малые колебания. Каждое собственное колебание системы (возбужденное нормальное колебание) — это суперпозиция индивидуальных движений, вообще говоря, всех атомов системы. Математическое решение задачи о собственных колебаниях такой системы в общем случае очень сложно (исключение составляет одномерная [c.505]

Рассматривая задачу о свободных колебаниях материальной точки при отсутствии силы сопротивления, можно довести решение до результата в общем виде и затем подставить в него численные данные. Рещая же задачу о свободных колебаниях материальной точки при наличии силы сопротивления, надо подставить численные данные в составленное дифференциальное уравнение н определить я и к, так как в зависимости от соотношения коэффициентов п ]Л к приходится записывать решение уравнения в тригонометрических либо в гиперболических функциях (случаи малого, большого сопротивлений и предельный случай). [c.80]

Такой же критерий (соотношение между размером неоднородностей и длиной волны) определяет роль макроскопических неоднородностей. Если сплошное тело (помимо неоднородностей, обусловленных атомной структурой, которые можно не учитывать) макроскопически неоднородно, например, упругий стержень составлен из сильно прижатых друг к другу чередующихся одинаковых латунных и алюминиевых цилиндров ), то для нормальных колебаний, соответствующих волнам, длина которых значительно превышает высоту одного цилиндра, стержень можно рассматривать как однородный, обладающий средней плотностью и средней упругостью. При расчете же нормальных колебаний, длина волны которых сравнима с высотой цилиндра, необходимо учитывать неоднородность стержня. При наличии неоднородностей решение задачи о колебаниях сплошных систем настолько усложняется, что удается рассмотреть только самые простые случаи, например системы с малой неоднородностью или очень плавно меняющимися вдоль длины системы свойствами. [c.697]

Большое теоретическое и практическое значение имеет задача о гармонических колебаниях аппарата с малыми числами Струхаля (р 0). Эта задача рассматривается в [5]. Она сводится к раздельному решению шести (вместо трех) систем уравнений, но более простых, чем для случая р Ф 0. [c.234]

В книге имеется много примеров применение классической теории малых колебаний к вопросам строения молекулы. В ней подробно рассмотрены вопросы об использовании констант движения и свойств симметрии при решении задачи о колебании систем с большим числом степеней свободы, что уменьшает трудности, связанные с решением векового уравнения в этом случае. В книге рассматриваются многие модели молекул и даются соответствующие решения, иллюстрируемые кривыми различных главных колебаний. [c.376]

Область частот вблизи частоты толщинного резонанса до сих пор остается мало изученной. Известно довольно большое число экспериментальных данных [194, 195, 261], для объяснения которых используется теория второго порядка [179]. Отметим, что результаты, полученные с использованием этой теории, не систематизированы и не проанализированы в сколько-нибудь полной мере, поэтому нельзя говорить хотя бы о качественном соответствии теоретических и экспериментальных данных. Наличие практически точного решения задачи об осесимметричных колебаниях цилиндра [c.212]

Долгое время никаких работ по теории колебаний вязкой жидкости в печати не появлялось. Однако в течение последних семи-восьми лет была опубликована серия работ, посвященных рассматриваемой проблеме. Для этого было много причин, и среди них немаловажную роль играли запросы ракетной техники и проблемы индуцирования ветром ветровых волн. Несмотря на то, что пока еще решены только частные задачи, уже сейчас четко различаются два направления в построении теории. Поясним это на одном примере. Наиболее простыми задачами теории волн являются задачи о свободных колебаниях бесконечно малой амплитуды. Этим термином принято называть задачу отыскания решения линеаризованных уравнений, имеющего вид [c.70]

Видно, что наличие затухания увеличивает коэффициент Я. Без затухания "К = - -1. Например, если нужно ослабить колебания в 8 раз, то частота собственных колебаний массы должна быть ниже частоты возмущений в 3 раза (если затухание в упругом элементе отсутствует). Если, например, упругий элемент изготовлен из резины, отличающейся большой демпфирующей способностью, и Гй = 1,3-10 с, частота возмущений 50 Гц, то Я = 3,1, что практически мало отличается от вычисленной без учета затухания величины Я,. При амортизации сложных многомассовых систем решение задачи о подборе и влиянии амортизации на вынужденные колебания станка может выполняться с помощью ЭВМ. [c.55]

Винтовая цилиндрическая пружина представляет собой пространственный кривой брус. Точное решение задачи о колебаниях такого бруса является чрезвычайно сложным и до сих пор не найдено. Для применяемых в большинстве случаев пружин с малым углом подъема винтовой линии можно получить приближенное решение задачи, заменяя пружину эквивалентным прямым брусом. [c.402]

В заключение приведем точные в рамках трехмерной динамической теории упругости математические постановки задач о линейных колебаниях ограниченного тела, один или два размера которого малы по сравнению с остальными. Именно эти задачи и составляют предмет изучения в теории динамики стержней, пластин и оболочек. В связи с тем, что получение обозримых аналитических решений указанных задач возможно для очень ограниченного числа простейших частных случаев, развивались и уточнялись приближенные теории, которые в основном и удовлетворяли многообразные запросы практики. [c.8]

Построенное таким образом решение будет характеризовать собой либо форму выпучивания оболочки в задачах устойчивости, либо форму собственных колебаний в задачах о малых свободных колебаниях оболочки. [c.82]

Трудности в численных расчетах, встречающиеся при исследовании балки, опертой на жесткие пружины, обсуждались Пестелем и Леки [4.8. Эта проблема становится еще более актуальной при расчете панелей самолетов. Одной из основных возникающих здесь трудностей является цепочка перемножений матриц типа представленных в уравнении (4.125), так как если цепочка становится длинной, а жесткость упругого элемента, определяющая матрицу [Р], существенно превышает жесткость балки на изгиб, определяющую матрицу [U], то возникает неустойчивость процедуры численного счета, что по существу является результатом вычисления малых разностей больших чисел в вычислительных машинах при конечной точности представления чисел. Для задач о свободных колебаниях это означает, что иногда, особенно когда это связано с задачами, описываемыми уравнениями высоких порядков (типа уравнений оболочек), возникают трудности определения частот, при которых частотный определитель достаточно близок к нулю, с тем чтобы с необходимой точностью найти формы колебаний. При решении задач о вынужденных колебаниях может вызвать затруднение процедура численного обращения матрицы (см. уравнение (4.128)). Как было показано Лином и Макданиэлом [4.7], это связано с соотношением [c.186]

Особое значение имели работы Д. Бернулли и Эйлера о малых колебаниях натянутой однородной струны, закрепленной на концах. Бернулли и Эйлеру прпнадленшт также решение нескольких трудных задач о малых колебаниях воздуха в трубах, которыми занимался позже также Лагранж. Труды Бернулли принесли ему очень широкую известность. Он был избран членом академии наук в Петербурге, Париже, Берлине, Лондоне. Паригк-ская академия наук 10 раз присуждала ему премии, назначавшиеся за лучшие работы по вопросам механики, математики и физики. [c.193]

Принципиально можно решить задачу о малых колебаниях системы с любым числом степеней свободы. Однако в общем случае при решении задач приходится преодолевать ряд трудностей чисто вычислительного характера. Наибольшие затруднения возникают при решении уравнения частот (20.79). Уже раскрытие определителя при 5 > 2 представляет трудоемкий процесс. Действительно, определитель порядка х содержат 5 членов, каждый из которых для уравнения (20.79) состоит из произведения 5 биномов вида ij — aiJk . Таким образом, если раскрыть определитель (20.79), то в общем случае получится 2- 5 слагаемых. Так, для 5 = 3 число слагаемых равно 2 -3 = 48, а при 5 =-4 это число будет 2 4 = 384. [c.492]

Вернемся к системе N связанных атомов, совершающих малые колебания. Ka)ioioe собственное колебание системы (возбужденное нормальное колебание) — это суперпозиция индивидуальных движений, вообще говоря, всех атомов системы. Математическое решение задачи о собственных колебаниях такой системы в общем случае очень сложно (исключение составляет одномерная модель кристалла, рассмотренная в задаче 51), поэтому используем физические соображения. [c.198]

Пример 4. КОЛЕБАНИЯ НИТИ С БУСИНКАМИ. Как отмечают в своей книге Ф. Р. Гантмахер и М. Г. Крейн [14, с. 142—143], этой задаче принадлежит совершенно особая роль в истории механики и математики. Пожалуй, она была первой задачей на исследование малых колебаний системы с п степенями свободы. В связи с ней Ж. Даламбер предложил свой метод интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Отправляясь от нее, Даниил Бернулли высказал свое знаменитое предположение, что решение задачи о свободном колебании струны можно представить в виде тригонометрического ряда, что вызвало между Л. Эйлером, Ж. Даламбером, Д. Бернулли и др. дискуссию о природе тригонометрических рядов, затянувшуюся на несколько десятилетий. Впоследствии Ж. Л 1гранж показал более строго, как можно предельным переходом из решения задачи о колебаниях нити с бусинками получить решение задачи о колебании струны. Наконец, этой задачей (и аналогичной задачей из теории теплопроводности) руководствовался III. Штурм в своих замечательных исследованиях по высшей алгебре и теории дифференциальных уравнений . [c.126]

Принципиально можио решить задачу о малых колебаниях истемы с любым числом степеней свободы. Однако в общем случае ри решении задач приходится преодолевать ряд трудностей чисто ычислительного характера. Наибольшие затруднения возникакт рн решении уравнения частот (20.79). Уже раскрытие определителя ри 8 > 2 представляет трудоемкий процесс. Действительно, опре-елитель порядка 8 содержит в членов, каждый из которых для урав-ения (20.79) состоит из произведения 8 биномов вида Сц — иуй . аким образом, если раскрыть определитель (20.79), то в общем слу-ае получится 2% слагаемых. Так, для 8=3 число слагаемых равно, 31 = 43, а при 8 я= 4 это число будет 2 4 — 384. [c.673]

Этот результат представляет собой случай изгиба пластинок, исиользоваиный впоследствии А. Надаи для экспериментального подтверждения приближенной теории изгиба ), предложенной Кирхгоффом. О другой интересной краевой задаче упоминается н Натуральной философии Томсона—Тэйта. Здесь сообщается по этому поводу До сих пор, к сожалению, математикам не удалось решить, а возможно, что они даже и не пытались решать, прекрасную задачу об изгибании широкой, весьма тонкой полосы (подобной, например, часовой пружине) в круговое кольцо ). Лэмб исследовал антикластический изгиб по краю тонкой полосы ) и достиг большого прогресса в решении задачи о балке ). Рассматривая бесконечно длинную балку узкого прямоугольного сечения, нагруженную через равные интервалы равными сосредоточенными силами, действующими поочередно вверх и вниз, он упростил решение двумерной задачи а для некоторых случаев получил уравнения кривых прогиба. Таким путем было показано, что элементарная теория изгиба Бернулли достаточно точна, если высота сечения балки мала в сравнении с ее длиной. При этом было также показано, что поправка на поперечную силу, даваемая элементарной теорией Рэнкина и Грасхофа, несколько преувеличена и должна быть снижена до 75% от рекомендуемого этой теорией значения. Надлежит упомянуть также и о труде Лэмба, посвященном теории колебаний упругих сфер ) и распространению упругих волн по поверхности полубесконечного тела ), а также в теле, ограниченном двумя плоскими гранями ). Он изложил также и теорию колебаний естественно искривленного стержня ). Особый интерес для инженеров представляет его и Р. В. Саусвелла трактовка колебаний круглого диска ). [c.407]

Проблема центра качаний была поставлена, можно сказать, в конкурсном порядке, тем же Мерсенном, который так интересовался открытиями Галилея в акустике. Отсылая за подробностями к гл. V (см. стр. 97), укажем здесь, что Гюйгенсу принадлежит не только решение задачи о центре качания, т. е. приведенной длине физического маятника, но и точная трактовка вопроса о периоде малых колебаний математического маятника. Таким образом, была решена задача и о периоде малых колебаний физического маятника. Гюйгенс определил также центры тяжести и центры качания для многих фигур, открыл циклоидальный маятник и доказал (строгую) изохронность его колебаний. Все это шло об руку с техническими изобретениями часов с коническим маятником, часов с циклоидальным маятником, с существенным усовершенствованием обычных маятниковых часов, идея которых возникла у Гюйгенса, видимо, вполне самостоятельно. Гюйгенсу не удалось создать хронометра, удовлетворяющего требованиям моряков, но его технические изобретения во всяком случае позволили значительно уточнить измерение времени, столь существенное и для исследования колебаний. Его вклад в теорию колебаний тоже велик помимо указанного выше явления, он открыл явление, названное позже принудительным консонансом . С этими (конструк- [c.254]

Подводя итог, можно сказать, что задача о конечных колебаниях поршня, рассмотренная в этом разделе, может решаться различными методами. Разложение решения по малому числу Маха в эйлеровых координатах приводит к своеобразной трудности в эйлеровых координатах поршень (колеблющийся синусоидально в лагранжевых координатах) совершает довольно сложное колебание, что приводит к появлению псевдогармоник даже у источников звука. Это различие между системами координат проявляется, если учитывать в решении члены и более высокого порядка малости. При решении задач с точностью до членов вид решения не зависит от выбора системы координат. Монохроматическая волна, излучаемая поршнем, по мере распространения искажается. В идеальной среде искажение формы волны происходит беспрепятственно вплоть до образования разрыва на конечном расстоянии от поршня. Степень искажения зависит от безразмерного числа о = ггМ. Искажение может быть представлено как возникновение, взаимодействие п рост гармоник в процессе распространения волны. Спектральное представление искажения удобно тем, что многие экспериментальные методы исследования нелинейного искажения основаны на выделении спектральных составляющих из волны конечной амплитуды (см. гл. 4). [c.80]

Излагается теория малых продольных, крутильных и поперечных колебаний. Выводится дифференциальное уравнение поперечных колебаний с учетом поперечного сдвига и инерции вращения, которое более известно по публикации 1921 года на английском языке. Это уравнение сыграло огромнз роль в теории колебаний упругих систем и известно в литературе как уравнение Тимошенко, а уравнения этого вида для пластин и оболочек как уравнения типа Тимошенко. Приводится решение этого уравнения для случая собственных колебаний. Затем дается изложение результатов автора в области применения тригонометрических рядов и энергетического метода для решения задачи о поперечных вынужденных колебаниях опертого по концам стержня, а также о колебаниях стержня на упругом сплошном основании. Приводится приближенное решение задачи о колебаниях стержней переменного сечения и его сравнение с точным решением. Особенно интересен приведенный здесь результат решенной ранее автором задачи о расчете балки на поперечный удар. При этом в отличие от классической известной схемы учитывались местные деформации балки в зоне удара грузом, в связи с чем появилась возможность определить закон изменения давления в месте удара, а также время соударения. [c.6]

Руководство курсовыми работами слушателей механической группы осуществляют преподаватели кафедры теоретической и прикладной механики. В течение первого месяца слушатели, как правило, заканчивают теоретическую разработку решения задач, выбранных в качестве курсовых работ. Большинство слушателей сами определяют тему своей курсовой работы. Чаще всего она связана с собственными научными исследованиями, и лишь малая часть курсовых работ имеет методическую направленность. Тем, кто затрудняется в выборе темы, предлагаются задачи по терретической механике, при выполнении которых целесообразно использовать ЭВМ [1]. В курсовых работах слушателей решались задачи статики, динамики, теории колебаний. В частности, рассматривались задачи 6 немалых колебаниях маятника, об интегрировании уравнения внешней баллистики, о малых колебаниях систем с тремя степенями свободы, которые не имеют решения в конечном виде и требуют применения численнь1х методов. [c.21]

Отметим, что возмущенная система может не иметь невырожденных долгопериодических решений периода 2n/uj = 2тгп/т при т ф I. Точнее, существование таких решений не вытекает, вообще говоря, из рассмотрения возмущения первого порядка по , Примером может служить известная задача о плоских колебаниях спутника на эллиптической орбите (см, 4 гл, I), Трансверсальность пересечения сепаратрис в этой задаче при малых ненулевых значениях эксцентриситета орбиты установлена в работе [36], [c.296]

Прием интегрирования этой системы уравнений, основывающийся на замене в их правых частях неизвестных а ,, постоянными значениями, малопригоден в задачах колебаний, так как, давая количественно верное для достаточно малого промежутка времени решение, он не допускает суждения о качественном характере движения. Более приспособлен к задачам этого рода метод осереднения правых частей уравнений (9), являющийся в настоящее время одним из наиболее важных средств решения задач нелинейной теории колебаний. Он был разработан Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым ) и развит в многочисленных трудах других ученых ). [c.576]

Теория колебаний развилась из исследований Галилея о малых колебаниях маятника. Однако опыты Галилея, в сущности, лишь наметили путь для дальнейшей работы в этой области. Возникновение учения о колебаниях упругих тел в механике связано с именами академиков Петербургской Академии наук — Д. Бернулли, Эрмана и Л. Эйлера. В 1716 г. Эрман нашёл решение некоторых сложных задач о колебаниях маятника в 1740 г. Эйлер обобщил принцип Эрл)ана и применил его к исследованию колебаний струн и тонких брусьев. В 1751 г, Эйлер и Бернулли впервые получили дифференциальные уравнения поперечных колебаний. Хотя общая теория колебаний систем с конечным числом степеней свободы была дана в 1762—1765 гг. в работах Лагранжа, но по его же собственному признанию эти работы представляли собой возврат к методу Эрмана и Эйлера . [c.769]

Е. Н. Kennard [3.118—3.121] (1953—1958) рассматривает задачу о малых упругих колебаниях круговой цилиндрической оболочки в развитии статьи [3.84]. Считая, что искомые функции являются аналитическими по z, автор разлагает в ряды по степеням z компоненты тензора напряжений и вектора перемещений. Пользуясь граничными условиями и общими соотношениями теории упругости, автор исключает слагаемые, содержащие производные от искомых величин по переменной г. Это позволяет вывести уравнения движения без привлечения гипотез о неизменяемости нормального элемента и получать уравнения с любой степенью точности, которая оценивается степенью h. Получены уравнения в перемещениях с точностью до включительно. В приближении тонких оболочек предполагается, что hIR очень мало и изменение любой функции вдоль срединной поверхности на расстояниях порядка h тоже мало. В этом случае, как полагает автор статьи, метод степенных рядов справедлив и законно усечение рядов. Показано, что несоблюдение второго условия может приводить к паразитным решениям. Проверкой служит предельный переход h 0. Если в этом случае мембранные уравнения имеют решение и притом единственное, то построенное приближенное решение действительно [c.189]

Н. Коперника (16 в.) и открытие нем. астрономом И. Кеплером законов движения планет (нач. 17 в.). Основоположником динамики явл. итал. учёный Г. Галилей, к-рый дал первое верное решение задачи о движении тела под действием силы (закон равноускоренного падения) его исследования привели к открытию закона инерции и принципа относительности классич. М. им же положено начало теории колебаний (открытие изохронности малых колебаний маятника) и науке о сопротивлении материалов (исследование прочности балок). Важные для дальнейшего развития М. исследования движения точки по окружности, колебаний физ. маятника и законов упругого удара тел принадлежат голл. учёному X. Гюйгенсу. Создание основ классич. М. завершается трудами И. Ньютона, сформулировавшего осн. законы М. (1687) и открывшего закон всемирного тяготения. В 17 в. были установлены и два исходных положения М. сплошной среды закон вязкого трения в жидкостях и газах (Ньютон) и закон, выражающий зависимость между напряжениями и деформациями в упругом теле (англ. учёный Р. Гук). [c.415]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...