Малые колебания около устойчивого

Доказать, что период малых колебаний около устойчивого состояния равновесия составляет [c.212]

Доказать, что частота малых колебаний около устойчивой конфигурации выражается формулой [c.260]

Малые колебания около устойчивого решения системы дифференциальных уравнений. [c.382]

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ОКОЛО УСТОЙЧИВОГО РЕШЕНИЯ 383 [c.383]

В заключение заметим, что функции определенные из системы (18), носле подстановки в решения (17), дают приближенное представление всех решений системы (16), близких к устойчивому решению о, справедливое для сколь угодно большого промежутка времени, если начальные значения выбраны достаточно малыми. Такие решения системы (16) называются малыми колебаниями около устойчивого решения о. [c.383]

Малые колебания около устойчивого решения 383 [c.429]

При исследовании малых колебаний около устойчивого равновесного состояния во многих случаях можно (не совершая большой погрешности) сохранять в выражениях, зависящих от координат и скоростей, только члены низшего (относительно этих величин) порядка, отбрасывая все другие как бесконечно малые высших порядков. Такая операция приводит обычно решение задачи о малых колебаниях к интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она называется линеаризацией уравнений движения системы. Колебания, описываемые линеаризованными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями. Линеаризация уравнений малых колебаний может иногда оказаться результатом некоторых конструктивных изменений в рассматриваемой или проектируемой системе, что до известной степени служит основанием ее допустимости. [c.69]

Пусть малые колебания системы с п степенями свободы около устойчивого положения равновесия стеснены дополнительной связью вида = О, где I = (/ ,. .., 1 ) 0 — постоянный вектор, 4 = (9 , д ). При наложении одной дополнительной связи число степеней свободы уменьшается на единицу, и полученная таким образом система также совершает малые колебания около устойчивого положения равновесия. Другими словами, исходный квадратичный лагранжиан. . . , , [c.211]

Как и в 148, будем считать, что рассматриваемая механическая система при (7=0 находится в положении устойчивого равновесия. Исследуем ее малые колебания около положения равновесия еще в двух случаях. [c.392]

Период малых колебаний около положения устойчивого равновесия будет [c.479]

Задача 1329 (рис. 725). Линейка АВ длиной I и массой m своим концом А может скользить вдоль вертикальной оси Oz, а концом fi —вдоль горизонтальной оси Ох, вращающейся вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростью со. Перемещению конца В препятствует пружина, которая при вертикальном положении стержня не напряжена. Определить положения относительного равновесия линейки и исследовать их иа устойчивость. Найти также период малых колебании около положения устойчивого равновесия. [c.480]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

В реальных системах помимо такой восстанавливающей силы всегда действуют и силы другого типа, прежде всего силы трения. Если они достигают значительной величины, то их влияние может существенно нарушить гармоничность колебаний. Но если эти силы малы, то для тела, обладающего одной степенью свободы, малые колебания около положения устойчивого равновесия всегда близки к гармоническим. [c.590]

Равновесное положение консервативной системы является устойчивым, если система, равновесие которой нарушено малым начальным отклонением qjf и малой начальной скоростью ()уо. совершает малые колебания около этого равновесного положения. Иначе, равновесное положение системы считается устойчивым, если при начальных отклонениях [c.7]

При интегрировании системы (18.2), представляющей собой систему двух однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, исходим из того, что механическая система совершает малые колебания около положения устойчивого равновесия. Частные решения этих уравнений, предположив, что координаты qi и изменяются по простому гармоническому закону, можно представить в следующем виде [c.83]

Бесконечно малые колебания тяжелой точки около наинизшей точки поверхности. Рассмотрим на поверхности точку О, в которой касательная плоскость горизонтальна и поверхность в окрестности этой точки расположена над этой касательной плоскостью. Это положение О является положением устойчивого равновесия для тяжелой материальной точки, движущейся без трения по поверхности. Мы исследуем бесконечно малые колебания около этого положения равновесия. Примем точку О за начало координат, ось Ог направим вертикально вверх, а оси Ох и Оу — по касательным к линиям кривизны, проходящим через точку О. Если координату z поверхности разложить для малых значений лг и у по формуле Маклорена, то уравнение поверхности будет иметь вид [c.426]

Относительно других примеров мы отошлем к сочинению Рауса, содержащему большое число изящных упражнений, в частности примеров качения шара по сфере, по цилиндру, по конусу и малых колебаний около положения устойчивого равновесия или устойчивого движения. [c.233]

Малые колебания, вызванные периодической возмущающей силой. Рассмотрим такую же систему, как и та, для которой мы только что исследовали малые колебания около положения устойчивого равновесия, соответствующего [c.304]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Следовательно, это положение, если оно существует, является всегда устойчивым, и период малых колебаний около него будет равен [c.284]

Динамическая устойчивость. В 90 мы изложили принадлежащую Лагранжу теорию малых колебаний около положения абсолют иого равновесия, пренебрегая малыми количествами второго порядка Против нее было сделано возражение, что она не может дать вполне определенной меры устойчивости, так как пренебрегаемые члены в процессе движения могут стать существенными. С точки зрения строгой логики возражение правильно, но так как необходимость и достаточность условия устойчивости равновесия в форме требования, чтобы [c.251]

Малые колебания около положения устойчивого равновесия. Этим названием, как легко понять, обозначают такое движение точки Р, которое она совершает сколь угодно долго в непосредственной близости от своего устойчивого положения равновесия М (с живой силой, не превосходящей известного заданного предела). Здесь мы предполагаем изучить характер этого движения, имея в виду случай, когда действующая сила консервативна, а потенциал и имеет в точке М действительный максимум. [c.135]

Исследование динамической устойчивости, изложенное для одной точки в гл. II, 6, и последующее изучение малых колебаний около положения устойчивого равновесия можно распространить, пользуясь уравнениями Лагранжа, на случай какой угодно голономной системы. [c.352]

Заметим, наконец, что формальный способ составления уравнений в вариациях можно также приложить к системам уравнений (16), правые части которых зависят от t, и по отношению к какому угодно решению о (будет ли оно статическим или нет, будет оно устойчивым или неустойчивым). Мы придем, таким образом, к системе дифференциальных уравнений (18),- которые все еще линейны относительно ко, вообще говоря, содержат в коэффициентах янно переменную t. Даже и в этих случаях можно сказать, что эти уравнения определяют малые колебания около рассматриваемого решения а, но при этом подразумевается та оговорка, что если [c.402]

Вывести, в частности, из предыдущих формул, что при 6 = 0 будем иметь устойчивое равновесие только в том случае, если > , и что в этом предположении при малых колебаниях около положения устойчивого равновесия система ведет себя как простой маятник длиною [c.64]

Рассмотрим более общую задачу, а именно малые колебания около положения устойчивого равновесия ( 9.1). В нормальных координатах имеем [c.276]

Если т = 2, то критический случай соответствует особой точке типа центра мы видели в 19.4, что хотя линейное приближение Fq дает устойчивость, точное поле F может дать как устойчивость, так и неустойчивость. Случай >> 2 отличается от случая т = 2 тем, что при наличии кратных чисто мнимых корней неустойчивость можно получить уже в линейном приближении ( 21.11). Даже в том случае, когда линейное приблин ение дает устойчивость, точное поле мон<ет дать как устойчивость, так и неустойчивость. Мы приведем пример каждой из этой возможностей в случае = 4. В первом из этих примеров рассматриваются малые колебания около положения, где потенциальная энергия V имеет минимум. Равновесие в этом случае, как известно, устойчиво (гл. IX). [c.428]

Малые колебания около положения устойчивого равновесия — один из разделов динамики, в котором эффективно используются аналитические методы. Для теории колебаний характерна большая общность. Независимо от степени сложности механической системы, ее движение вблизи положения равновесия при малых колебаниях описывается всегда одинаковыми по структуре уравнениями. Усложнения происходят с увеличением числа степеней свободы. [c.42]

Довольно подробно рассматривается обп ая теория малых колебаний около положения равновесия показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения. [c.67]

ТВЁРДОЕ ТЕЛО — агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы и характером теплового движения атомов, к-рые совершают малые колебания около положений равновесия. Различают кристаллич. и аморфные Т. п. Кристаллы характеризуются пространств. периодичностью в расположении равновесных положений атомов (см. Дальний и ближний порядок). В аморфных телах атомы колеблются вокруг хаотически расположенных точек. Согласно классич. представлениям, устойчивым состоянием (с мин. внутр. энергией) Т. т. является кристаллическое. Аморфное тело находится в мета-стабильном состоянии и с течением времени должно перейти в кристаллич. состояние, однако время кристаллизации часто столь велико, что метастабильность вовсе не проявляется (см. Аморфное состояние. Стеклообразное состояние). [c.44]

Так как в этом равенстве t входит под знаком синуса и косинуса, то как бы беспредельно ни увеличивалось t, ни одна величина д не может возрастать беспредельно, а будет изменяться только в известных пределах. Таким образом, если вывести систему из положения равновесия, то она будет совершать малые колебания около этого положения. В этом случае мы имеем устойчивое равновесие. [c.553]

Определить значения угласб, при которых стержень будет находиться в положении равновесия, и период его малых колебаний около устойчивого положения равновесия. Массой ползунов и пружины, а также трением пренебречь. [c.462]

Рассмотрим две механические системы с одинаковь м числом степеней свободы, совершающие малые колебания около устойчивого положения равновесия. Пусть т4 , у42 — матрицы инерции, Ву, 82 — матрицы жесткости и соответственно = 1 / 2 АрЦ, а) - [c.209]

Однако эти равновесные состояния качественно различны, так как после малых возмущений стержень, свисающий вниз, совершает малые колебания около положения равновесия и от него не удаляется (равновесие устойчиво), тогда как стержень, поднятый вверх, после любого малого отклонения от этого положения в равновесное положение не вернется, а будет от него удаляться (равновесие неустойчиво). Понятие устойчивости можно более конкретизировать, если ввести его следующим образомг Пусть qt — координаты системы, которые в положении равновесия принимают нулевые значения. Это всегда можно сделать путем изменения начала отсчета. Пусть — отклонения (возмущения) координат, появившиеся вследствие внешних воздействий, а б и е — малые числа. Если можно указать такие границы начальных возмущений 1 1 г =sS е, что при этом всегда < б, то положение системы устойчиво. Здесь е зависит от б, т. е. е (б), следовательно, границы до- [c.345]

В тексте мы рассматривали уравнения малых колебаний для голо-номной системы со связями, не зависящими от времени, и находящейся под действием консервативных сил. Если система допускает игнорируемые координаты и вычисляется приведенная функция Лагранжа, то появляются, как мы знаем (гл. V, п. 46), гиростатические члены. В п. 24 мы указали форму (30), которая в этом случае свойственна уравнениям малых колебаний около положения устойчивого равновесия было показано, что гиростатические члены не влияют на интеграл энергии, из рассмотрения которого также и в этом случае становится очевидной устойчивость на основании критерия Дирихле. [c.414]

Его можно вывести из уравнения (5.2.1) или получить непосредственно. И обратно, из уравнения (5.2.10) легко вывести уравнение (5.2.1). Если рассматривать малые колебания около положения устойчивого рановесия 0 = 0, то приближенная форма уравнения совпадает с уравнением гармонического движения [c.63]

Имеются два важных частных случая, в которых элементы a s матрицы А постоянны. Первый из этих случаев относится к движению в окрестности особой точки он, в частности, включает в себя классическую теорию малых колебаний около пололчения устойчивого равновесия. Во втором из этих случаев невозмущенное движение является установившимся ( 9.6). При этом [c.458]

В работах XVIII в. использовалось понятие устойчивости равновесия или движения без уточнения его содержания и без введения для него количественной меры. Это в значительной мере верно и для работ дальнейшего периода, охватывающего почти весь XIX в. — от Лагранжа до Пуанкаре и Ляпунова. Теория малых колебаний около положения равновесия или движения оставалась основным аппаратом теории устойчивости. Она была усовершенствована за это время математически Дж. Сильвестр, К. Вейерштрасс, К. Жордан дали полный анализ всех случаев, которые могут представиться при решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К. Вейерштрасс и, независимо от него. [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...