Свойства уравнения Шредингера

Свойства уравнения Шредингера [c.68]

Свойства Уравнения Шредингера 69 [c.69]

Ниже мы напомним читателю только те свойства уравнения Шредингера, которые понадобятся для наших рассмотрений. Для дальнейших ссылок мы отсылаем читателя к книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1974]. [c.69]

Свойства уравнения Шредингера 71 [c.71]

Основные свойства уравнения Шредингера [c.117]

Уравнение Шредингера прекрасно работает при расчете свойств микрочастиц. Из него, в частности, довольно легко можно получить условие Бора (ИЗ) (детали расчета выводят за рамки пособия, они приведены во многих руководствах по квантовой механике, см., например, [89]). [c.172]

Тем не менее решения уравнения Шредингера должны существовать, и поэтому оказалось возможным ввести, как и в теории кристаллов, понятие плотности состояний iV(e). При этом величина Ы ъ)йг — количество состояний электронов с заданным направлением спина в единице объема и в интервале энергий между е и е + Если электроны рассеиваются слабо, то достаточно хорошим оказывается приближение свободных электронов. В этом случае, как и ранее, можно ввести сферическую поверхность Ферми, и Ы г) будет определяться уже известной формулой (4.89). Подобная ситуация реализуется, например, для жидких металлов. В случае сильного рассеяния N(е) может значительно отличаться от (4.89), и поверхность Ферми, строго говоря, ввести нельзя. Экспериментальные исследования преимущественно оптических и электрических свойств некристаллических веществ и их теоретический анализ показали, что и для этих материалов в энергетическом спектре электронов можно выделить зоны разрешенных и запрещенных энергий. Об этом свидетельствует, в частности,, резкий обрыв рая поглощения видимого или инфракрасного излучения для материалов (кванты электромагнитного излучения энергии, меньшей некоторой критической, не могут возбуждать электроны [c.276]

Обсуждаются условия применимости уравнения Шредингера, свойства волновой функции и ее нормировка, физический смысл собственных функций и собственных значений, принцип суперпозиции состояний. [c.98]

Влияние внешнего электромагнитного поля на атом сводится к изменению энергетических уровней и состояний атома, а также свойств симметрии соответствующих волновых функций. Общий подход к рассмотрению вопросов взаимодействия атома с электромагнитным полем состоит в том, что атом и электромагнитное поле рассматриваются как единая система, для которой уравнение Шредингера решается подходящими в конкретной ситуации методами. [c.245]

В действительности тонкая структура линий водорода и сходных с ним ионов может быть объяснена лишь при одновременном учете поправок на принцип относительности и на магнитные (спиновые) свойства электрона. Приведенная выше форма уравнения Шредингера не удовлетворяет требованиям принципа относительности. Благодаря этому она ведет к простому выражению для энергии стационарных состояний атома водорода и сходных с ним ионов [c.123]

Качественное своеобразие микрочастиц, резко отличающее их от частиц классической физики, требует и качественно нового подхода к описанию их движения по сравнению с методами классической механики. Из наличия у микрочастиц волновых свойств следует, что закон движения их должен определяться законом распространения волн де Бройля, связанных с этими частицами. Так как распространение любого волнового процесса описывается волновым уравнением, то следует ожидать, что и движение микрочастиц должно описываться волновым уравнением. Такое уравнение было найдено впервые Шредингером и носит его имя. Для микрочастицы, движущейся в силовом поле и обладающей потенциальной энергией U (х, у, г, t), уравнение Шредингера имеет следующий вид [c.96]

Обращение времени в квантовой статистической механике. Квантовое уравнение Лиувилля, как и классическое, обладает свойством симметрии по отношению к обращению времени. Это свойство является следствием аналогичной симметрии основного уравнения квантовой механики — уравнения Шредингера. Поэтому прежде чем перейти непосредственно к обсуждению уравнения Лиувилля кратко напомним, как вводится операция обращения времени в квантовой механике. [c.39]

Вспоминая теперь соотношение (1.2.83), мы видим, что преобразованная волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера (1.2.85), если матричные элементы гамильтониана обладают свойством симметрии [c.41]

Кроме того по доказанной Фридрихсом теореме, спектр уравнения Шредингера с потенциальной энергией, равномерно стремящейся к бесконечности при стремлении точки конфигурационного пространства к бесконечности, дискретен (отметим, что это условие эквивалентно условию конечности объема фазового пространства в возвратной теореме Пуанкаре). По этим двум причинам, какова бы ни была желаемая точность, можно указать такой промежуток времени, по истечении которого Т( г, t) каждый раз будет с желаемой точностью (в смысле среднего квадратичного) возвращаться к исходному состоянию. Для определения этого промежутка времени следует отбросить остаточный член ряда Y x, t), обладающий достаточно малой нормой, и рассматривать свойства периодичности п первых членов ряда. По истечении этого времени с желаемой точностью будут возвращаться к исходному состоянию и законы распределения в конфигурационном и импульсном пространстве, и, следовательно, величина [л , определенная выше, сможет превзойти 1 — при любом . [c.166]

Из всех свойств атомов и молекул наиболее важно знание их внутренней энергии Е. Частным случаем операторного уравнения вида (3.3) для энергии является хорошо известное и наиболее часто используемое в квантовой механике и спектроскопии стационарное уравнение Шредингера [c.17]

Ясно, что интегрирование ведется по г, а подынтегральное выражение является результатом умножения правой части равенства (38) на любое частное решение уравнения без правой части (т. е. уравнение Лапласа). Очевидно, что 1/ г—г является таким частным решением, которое обладает свойством сингулярности при г= = / . Теперь аналогичным путем выведем уравнение Шредингера [c.25]

В этом можно убедиться, вводя величину С(г) = ey.p ikr)(f /(ри определяя w как С(0)-Уравнение Шредингера для имеет короткодействующий эффективный потенциал и это возвращает нас к обычной постановке задачи о свойствах функции Иоста. [c.304]

Метод, который мы применим для изучения взаимодействия солитонов, основан на установлении связи между уравнением Кдф и одномерным стационарным уравнением Шредингера Основное достоинство такого подхода состоит в том, что мы сможем использовать свойства этого знаменитого [c.68]

Рассмотрение взаимодействия солитонов в гл. 3 основывалось на возможности связать нелинейное уравнение КдФ с линейным одномерным уравнением Шредингера для стационарных состояний решение и х,1) уравнения КдФ играло роль потенциала в уравнении Шредингера, а время / рассматривалось как параметр. Эта техника позволила использовать известные свойства собственных значений и функций уравнения Шредингера. Успех метода был обеспечен открытием замечательного свойства этого уравнения, которое состоит в том, что спектр оператора Шредингера с потенциальной энергией, определяемой из уравнения КдФ, не зависит от времени. В результате этот спектр мог быть определен для всех моментов времени лишь при помощи начального условия и х,0), взятого в качестве потенциальной функции уравнения Шредингера. [c.95]

Для полей, генерируемых хаотическими источниками, достаточно знать средние числа заполнения п , чтобы определить оператор плотности д и из него все статистические свойства поля. Однако если источник по природе не хаотический, то мы не можем предложить какой-либо универсальный путь нахождения оператора плотности для поля, которое он генерирует, без анализа некоторых деталей механизма излучения. Единственный надежный способ нахождения оператора плотности заключается, вообще говоря, в построении теоретической модели изучаемой системы и интегрировании соответствующего уравнения Шредингера, или, что эквивалентно, в решении уравнения движения для оператора плотности. Применительно к лазерному осциллятору эти задачи необычайно трудны и пока не решены до конца в рамках квантовой механики. Наибольшая трудность заключена в математической сложности, связанной с нелинейностью устройств. Нелинейность играет важную роль в стабилизации полей, генерируемых лазером. Следовательно, пока в этих вопросах не будет достигнут дальнейший прогресс, мы не сможем дать последовательное квантовомеханическое объяснение ширины частотной полосы флуктуаций излучения лазера. [c.157]

В основе наших представлений о твердом теле лежат два ОСНОВНЫХ понятия представление о многочастичной системе и симметрия кристаллической решетки. Свойства симметрии суш,е-ственны для упрош,ения математического описания. Большая информация может быть получена при использовании всех свойств симметрии без количественного решения уравнения Шредингера. Поэтому мы используем вспомогательные методы теории групп. Этим методам посвящено Приложение Б. [c.17]

Для количественного рассмотрения свойств твердого тела исходным пунктом является уравнение Шредингера для кристалла. Мы начнем с определения функции Гамильтона для всей системы. Она складывается из кинетической энергии всех частиц, заключенных в кристалле, и их взаимодействия. [c.17]

Уравнения (2.1) —(2.6) являются основой для квантовомеханической трактовки большинства свойств твердых тел. Следуюш,им шагом является переход от функции к оператору Гамильтона. В координатном представлении оператор Гамильтона зависит от координат всех электронов и ионов. Соответственно волновая функция, на которую действует оператор Я, будет тоже функцией всех этих координат. При такой форме оператора Гамильтона спин не может быть последовательно учтен (см. следующий параграф). Однако для большинства проблем, которые мы будем рассматривать, достаточно нерелятивистского уравнения Шредингера без членов спин-орбитального взаимодействия. [c.19]

Теперь мы исследуем, в какой мере эти два свойства электронного газа экранировка кулоновского взаимодействия единичных носителей заряда и коллективные колебания, возникающие из-за дальнодействия кулоновского потенциала,—могут быть явно описаны уравнением Шредингера для взаимодействующего электронного газа. Будем исходить из функции Гамильтона. Переход к квантовой механике мы сделаем позже. Тогда гамильтониан [c.58]

Эти результаты мы используем в 19 для описания зонной структуры электронного газа в слабом периодическом потенциале. После того, как мы получили представление о значении зонной модели, мы в 20 изучим общие свойства функции Е к). Мы увидим, что решения уравнения Шредингера для электрона в периодическом потенциале описывают квазичастицы [электроны в кристалле, или блоховские электроны). Влияние периодического потенциала включено в свойства этих квазичастиц. Для динамики электронов в кристалле, т. е. для их движения под действием внешних сил, это означает следующее вместо того, чтобы рассматривать движение отдельных электронов под действием комбинации внешних полей, кристаллического потенциала и кулоновского взаимодействия, вводится понятие электрона кристалла. Последний испытывает влияние только со стороны внешних сил, реагируя как квазичастица с эффективной массой /п ( ) и связью между энергией и импульсом, заданной зонной структурой. Во всех остальных отношениях, однако, квазичастица реагирует на эти силы как свободный электрон. Это мы обсудим (наряду с другими вопросами) в 21. [c.71]

Замечательным свойством многих изолированных квантово-механичесмих систем является сохранение четности. Чтобы доказать это свойство, предположим, что волновая функция системы ij) (х, у, Z, t) представляет собой решение временного уравнения Шредингера и в момент t является четной. Найдем четность этой функции в момент ( +т). Для этого разложим г1)( + т) по степеням т [c.90]

Однако как понимать наличие у электрона волновых свойств Что такое волна де Бройля На эти вопросы ответа не было. В 1925 г. де Бройль ввел в употребление таинственное понятие о волнах материи , описываемых так называемой волновой функцией. В 1926 г, немецкий физик Эрвин Шредингер предложил для волновой функции дифференциальное уравнение, вошедшее в квантовую теорию как уравнение Шредингера . Еще через год в опытах Дэвиссона и Джермера и, независимо от них, П. С. Тарта- [c.89]

Состояние магнитного иона может быть найдено с помощью уравнения Шредпнгера Жф = 1>,где Ш—гамильтониан. Для свободного иона уровни могут быть вырождены если же ион находится в поле кристалла, то степень вырождения в общем случае уменьшается но-разному для различной симметрии поля. При повороте координат на заданный угол (например, тс/2 вокруг оси четвертого порядка я/3 вокруг гексагональной осп) или отран<е-нии в плоскости и т. д. результирующее состояние системы должно совпадать с исходным. Этим свойством должны обладать и собственные функции уравнения Шредингера. Решения уравнений Шредиигера образуют группы с помощью теории групп можно выяснить некоторые особенности решений в кристаллическом поле, даже не зная точно формы потенциальной функции и ее величины. Так, например, состояние с /= /2, которое для свободного иона шестикратно вырождено в кристаллическом поле с кубической симметрией, расщепляетсм на один дублет и один четырехкратно вырожденный уровень. Взаимное расположение уровней и расстояние между ними нельзя определить, ие зная подробно функции V. [c.386]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

Шредингера на отдельные уравнения для каждого электрона, а электронные волновые функции при этом представляются в виде произведений одноэлектронных молекулярных орбиталей. При решении колебательно-вращательного уравнения Шредингера используются приближения жесткого волчка и гармонического осциллятора. Приближенное колебательно-вращательное уравнение получается разделенным, и каждая из собственных функций является произведением врай1,ательной волновой функции, зависящей от трех переменных, и колебательной волновой функции, которая в свою очередь является произведением волновых функций 3N — 6) гармонических осцилляторов, где М — число ядер в молекуле [для линейной молекулы вращательная волновая функция зависит от двух координат, а колебательная волновая функция — от (ЗЛ — 5) координат]. Все эти приближения принимаются феноменологически, исходя из свойств молекул, а не из абстрактного математического анализа имеющихся дифференциальных уравнений в частных производных. [c.131]

Кроме того, существуют еще две группы работ, которые могут относиться лишь к проблеме доказательства jff-теоремы. И та, и другая группы работ характеризуются также тем, что они используют понятие статистического оператора и теряют смысл, если ограничиваться чистыми состояниями. Но в то время как первая группа работ опирается на измерения, проводимые над рассматриваемыми системами, вторая основана на некотором частном свойстве изменения состояния систем по уравнению Шредингера в тех случаях, когда невзаимодействовавшие части этих систем приходят во взаимодействие. В настоящей главе мы разберем последо1зательно эти четыре возможных точки зрения. [c.137]

Отметим попутно, что было бы ошибкой пытаться представить возмущение как действие внешней среды на изучаемую систему, получая таким образом равновероятность собственных состояний полной энергии системы. Причины этого те же, что и указанные в 20 п. г главы I задача доказательства Я-теоремы, составляющая одну из наиболее важных частей Teopiin, может быть поставлена лишь по отношению к изолированной системе. Главное же заключается в том, что, привлекая внешнюю среду для обоснования статистических свойств системы, мы просто переносим трудности в другое место — в определение вероятностной характеристики действия внешней среды (в частности, в излагаемой теории внешнее возмущение должно будет удовлетворять второму и третьему из только что приведенных требований). Как показывает строгое, основанное на уравнении Шредингера решение квантовомеханической задачи, для любой заданной начальной Т-функции и любой [c.147]

Последний П3.4 Приложения 3 вводит в область изучения различных типов квантовомеханического движения. Это наиболее простые и распространенные типы движений в однородном силовом поле, в потенциальной яме, сквозь потенциальный барьер и колебания под действием квазиупругой силы (квантовый гармонический осциллятор). Во всех случаях даются решения уравнений Шредингера, акцентируется внимание на энергетическом аспекте квантовомеханического описания, отмечаются важнейшие свойства исследуемых движений. [c.458]

Книга содержит изложение нового метода решения широкого класса задач дифракции и рассеяния (акустика, электродинамика, уравнение Шредингера). Изложен формальный аппарат различных вариантов метода, основанного на разложении дифрагированного поля в ряд по собственным функциям однородных задач, в которых собственным значением выбирается не частота. Строгой математической трактовке этого подхода посвящено дополнение, где средствами функционального анализа исследованы свойства важнейших из рассмотренных в книге спектральных задач. Метод особенно эффективен для аналнза резонансных систем, в частности — открытых резонаторов и волноводов. Он позволяет представить решение в бесконечной области в виде ряда (спектр дискретен), частично суммировать нерезонансный фон, широко применять вариационный аппарат и т. д. Решен ряд новых задач. [c.2]

Функция Иоста. Существует функция, которая, обладая простыми математическими свойствами, содержит многостороннюю информацию о квантовомехапической системе (см., например, [3]). В этом пункте рассматривается задача двух тел с центральным потенциалом + Уз (Уь = — константа связи), достаточно быстро спадающим на бесконечности здесь и ниже речь идет только о 5-состоянии. Пусть г) — радиальное решение уравнения Шредингера [c.300]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Классификация электронных состояний, В уравнении Шредингера для движения электронов (1,5) величина Уе обозначает потенциальную энергию электронов в поле ядер (неподвижных). Как указано выше, в первом приближении (которое, как правило, является хорошим) мы можем рассматривать движение электронов при равновесном положении ядер. Поэтому функция Уе У 1меет ту же симметрию, что и молекул(а в определенном электронном состоя- ти. Таким образом, уравнение Шредингера, описывающее электронное ч движение, не изменяется под действием операции симметрии. Следовательно, 4 лектронная волновая функция невырожденного состояния может быть 4 олько симметричной или антисимметричной по отношению к каждой из оне-. Ч аций симметрии, допускаемых симметрией молекулы в равновесном ноло- ении, т. е. она либо остается неизменной, либо только меняет знак. В случае вырожденных состояний собственная функция может превращаться только в линейную комбинацию двух (или более) вырожденных волновых функций, так что квадрат волновой функции, представляющий собой электронную плотность, остается неизменным. Различные волновые функции могут вести себя по-разному по отношению к различным операциям симметрии данной точечной группы но, как правило, не все элементы симметрии точечной группы независимы друг от друга, поэтому возможны лишь определенные комбинации поведения волновых функций по отношению к операциям симметрии. Такие комбинации свойств симметрии называются типами симметрии (см. [23], стр. 118). На языке теории групп это неприводимые представления ])ассматриваемой точечной группы. Каждая электронная волновая функция, а следовательно, и каждое электронное состояние принадлежат к одному из возможных типов симметрии (представлений) точечной группы молекулы [c.17]

Рассмотрим некоторое значение %, и пусть Я,.у < Я, < Xw+t, т. е. существует N собственных значений, меньпшх чем Я,. Вопрос заключается в следующем можно ли указать некоторые общие свойства асимптотического распределения собственных значений при больших значениях N1 Известны два подхода к решению этого вопроса. Первый из них основан на использовании вариационных методов [189], вто-юп — на использовании теорем тауберова типа (см., например, 9, 190]). С помощью этих методов удается, в частности, определить число N %) собственных значений Я.<, заключенных в области h[c.233]

Начальная волновая функция в (15) считается известной — предполагается, что источник фотонов (или электронов, атомов, молекул,...) изготавливает их в заданном состоянии 1 1 ( о), зависящем от свойств источника. Другая часть любой экспериментальной установки — детектор — определяет, какую именно динамическую переменную надо выбрать в качестве наблюдаемой величины /, а также момент времени t. Эволюция системы от о до t определяется уравнениями Шредингера или Гейзенберга, т. е. внешними силами Р t) и внутренними свойствами самой С11Стемы, задаваемыми ее гамильтонианом Ж (1). [c.47]

Интерпретация этого уравнения проста, если учесть, что электрон, описанный уравнением Шредингера (16.1), есть кеазичастица. а квазичастица включила уже в свои свойства взаимодействие со статической решеткой. Этот кристаллический электрон чувствует только действие внешних сил и силу со стороны колебаний решетки, на которые он реагирует иначе, чем свободный электрон. [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...