Свойства уравнений Лагранжа

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Все эти факты легко объясняются благодаря свойствам уравнений Лагранжа, которые я только что напомнил. [c.776]

В аналитический метод Лагранжа вполне можно ввести геометрические аналогии и представления. Это можно сделать, ибо свойства уравнений Лагранжа тесно связаны со свойствами некоторой квадратичной формы точно такого же вида, какой имеет в геометрии форма, выражающая дугу кривой. [c.818]

Потенциальное силовое поле и его свойства. Уравнения Лагранжа II рода [c.25]

Возвращаясь к общему случаю материальной системы, характеризуемой обобщенными координатами ди. .., дь, отметим еще одно важное свойство уравнений Лагранжа. Пусть мы имеем общие формулы преобразования координат [c.407]

СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 115 [c.115]

Свойства уравнений Лагранжа [c.115]

СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 117 [c.117]

СВОЙСТВА УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА [c.119]

Это свойство уравнений Лагранжа называют их ковариантностью. [c.225]

Заметим еще, что интеграл живых сил следует также из уравнений (7.28) в силу свойств уравнений Лагранжа. [c.363]

Используя эти ранее установленные факты, мы получим теперь уравнения, специально приспособленные для описания движений в потенциальных полях, и изучим некоторые общие свойства таких движений. Весь материал этой главы в равной мере относится к системам, для которых существует обобщенный потенциал. Более того, за редкими исключениями, которые будут далее оговорены, он относится как к натуральным, так и к ненатуральным системам (см. 5 гл. IV). о связано с тем, что далее мы будем исходить из предположения, что движение системы может быть описано уравнениями Лагранжа (4), и лишь в отдельных особо оговариваемых случаях будем предполагать, что [c.259]

Это последнее утверждение играет важную роль потому, что оно позволяет положить в основу классической механики в качестве исходного постулата не второй закон Ньютона (или его ко-вариантную запись — уравнения Лагранжа), а вариационный принцип Гамильтона. Действительно, по крайней мере Для движений в потенциальных полях, постулируя вариационный принцип Гамильтона, можно получить из него как следствие уравнения Лагранжа. В теоретической физике иногда оказывается удобным вводить исходную аксиоматику в форме соответствующего вариационного принципа, устанавливающего общие свойства движения в глобальных терминах, и уже из этого принципа получать уравнения движения. [c.280]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

При доказательствах интегральных принципов вводятся частные предположения о свойствах сил, действующих на точки системы, и свойствах связей. Но и здесь были получены из принципов М. В. Остроградского уравнения движения систем с голо-номными связями в форме уравнений Лагранжа второго рода, а из принципа Гамильтона — Остроградского — система канонических уравнений движения. [c.210]

В только что рассмотренных примерах определить реакции можно было и без применения уравнений Лагранжа первого рода, непосредственно составляя условия равновесия движущейся точки под действием силы тяжести, реакции и центробежной силы инерции. Метод множителей Лагранжа оказывает существенную пользу в тех случаях, когда поверхность или кривая не обладают теми простыми геометрическими свойствами, как сфера или окружность покажем это на следующем примере. [c.392]

Каким свойством обладает поток газа, для которого действительно уравнение Лагранжа вида [c.75]

Принцип Якоби показывает, что если связи и силовая функция не зависят от времени, то и определение траектории выполняется независимо от времени. Это свойство, не представляющееся очевидным в уравнениях Лагранжа, обнаруживается при первом взгляде, когда уравнения написаны в канонической форме. Из канонических уравнений видно также, что если траектория известна, то t определяется квадратурой (п° 450), [c.324]

Хотя принцип наименьшего действия и дает нам способ вывода общих уравнений Лагранжа, непревзойденный по своей наглядности и краткости, все же этот способ представляется нам несколько искусственным. Приведенный вывод не раскрывает истинной природы уравнений Лагранжа, заключающейся в свойствах преобразований различных механических величин. Следующий вывод должен восполнить этот пробел. [c.266]

Таким образом, все изложенное убеждает нас в том, что при выводе уравнений Лагранжа можно обойтись без принципа наименьшего действия, если только вместо этого достаточно глубоко исследовать свойства преобразований механических величин. [c.271]

Инвариантность уравнений движения Лагранжа является одним из наиболее важных их свойств. Она позволяет использовать координаты, соответствующие особенностям задачи. Поскольку не существует общего метода решения уравнений Лагранжа, то лучшее, что можно сделать, это выбрать такую систему координат, в которой эти уравнения были бы, хотя бы частично, интегрируемы. [c.143]

Одним из наиболее замечательных примеров эффективности аналитических методов является приложение уравнений Лагранжа к теории малых колебаний вблизи положения устойчивого равновесия. Эта теория чрезвычайно важна при изучении упругих свойств твердых тел, колебаний молекулярных структур, теории теплоемкости и других фундаментальных проблем. Наиболее замечательной чертой теории является ее общность. Независимо от степени сложности механической системы ее движение вблизи положения равновесия описывается всегда одинаковым образом. Конкретные вычисления усложняются по мере увеличения числа степенен свободы, однако теоретические аспекты задачи остаются неизменными. [c.175]

Лагранжа, которая будет очень удобна для дальнейших математических исследований. Перед тем как применить это преобразование к уравнениям Лагранжа, обсудим его общие математические свойства. [c.191]

Теорема и интеграл живых сил. Так как уравнения Лагранжа вполне определяют движение голономной системы, то всякое свойство движения должно являться следствием из этих уравнений. В виде примера полезно проверить, что, когда связи не зависят от времени, уравнения (43) будут содержать в себе теорему живых сил, которая, как уже известно, справедлива для всякой системы с такими связями (п. 30). [c.294]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

С другой стороны, то, что известные законы обратимых процессов могут быть фактически выражены в форме уравнений Лагранжа, а следовательно, и в форме теоремы минимальности кинетического потенциала, я доказал в моих статьях о статике моноциклических движений ). Но при этом обнаруживается, что температура, которая измеряет интенсивность термического движения, входит в функцию, подлежащую интегрированию, в значительно более сложной форме, чем та, в которой скорости входят в выражение кинетической энергии весомых систем. В вышеупомянутых статьях я показал, что подобные формы при известных ограничивающих предположениях могут возникать путем исключения некоторых координат и для систем весомых масс, так что появление таких, более сложных форм не находится в противоречии с возможностью применения лагранжевых уравнений движения. Однако, если хотят изучать общие свойства систем, подчиняющихся принципу наименьшего действия, необходимо отбросить старое, более узкое предположение, согласно которому скорости входят только в выражение живой силы и притом в форме однородной функции второй степени надо исследовать, как будет обстоять дело, если Н есть функция любого вида от координат и скоростей. [c.432]

Это утверждение связано с общей теоремой, принадлежащей Э. Нетер любому непрерывному обратимому преобразованию координат, при котором функция действия S (см. гл. С) данной гамильтоновой системы остается инвариантной, соответствует первый интеграл уравнений Лагранжа этой системы. Функция действия S = j L-di отражает, естественно, инвариантные свойства лагранжиана. См. [c.62]

Закон изменения передаточного отношения, реализуемый посредством вариатора и рассматриваемый как связь, как известно, не принадлежит к типу голономных связей [92]. Ввиду этого уравнения Лагранжа второго рода, обычно используемые в динамике машин, оказываются, вообще говоря, не применимыми для составления уравнений движения машинных агрегатов с вариаторами. Кроме того, переменное передаточное отношение, осуществляемое с помощью вариатора, не только воздействует на суммарную приведенную характеристику агрегата, но и существенно изменяет его инерционные свойства. [c.267]

Колебания паровоза как системы со многими степенями свободы. Точное решение задачи о колебаниях паровоза весьма сложно. С целью упрощения решения рассматривают паровоз как систему с тремя степенями свободы, считая, что величины упругих постоянных рессор не меняются во время колебаний. В этом случае положение системы при колебании определяется вертикальным перемещением центра тяжести г, углом поворота в продольной плоскости 6 и углом поворота в поперечной плоскости <р. Составляя уравнения Лагранжа и пользуясь свойством симметрии в расположении рессор относительно продольной оси, получают следующие линейные диференциальные уравнения свободных колебаний надрессорного строения паровоза [c.389]

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его характеристическая функция для задач механики ( функция Гамильтона Н) оказалась, при довольно широких условиях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений ( канонические уравнения ) равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование. [c.208]

Функция Е из (5.4.21) является однородной квадратичной функцией скоростей Uo ио>. Поэтому она тесно связана с диссипативной функцией Рэлея F для систем, в которых силы сопротивления пропорциональны скоростям, причем эта связь имеет вид Е 2F, Большое число работ посвящено свойствам этой функции, особенно в связи с применением ее к уравнениям Лагранжа для затухающих колебаний неконсервативных систем [44]. [c.206]

Здесь 1, Й2,. . ., l, Са. . . суть постоянные величины, зависящие от конфигурации системы и ее упругих свойств. Самый общий вид колебания системы можно получить наложением ряда главных простых колебаний, соответствующих нормальным координатам ф1. Фа,.. . Чтобы найти колебания, соответствующие какой-либо координате Фг, нужно только, пользуясь выражениями (1) для живой силы и потенциальной энергии системы, составить соответствующее уравнение Лагранжа, так как выражения (1) заключают лишь квадраты величин ф1, ф2,. . ., то уравнения Лагранжа получают весьма простой вид [c.140]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

Свойства механических систем определяются дифференциальными уравнениями движения системы, в качестве которых могут быть приняты уравнения Лагранжа второго рода. Покажем, как могут быть получены эти уравнения из принципа наименьшего действия в форме Якоби. [c.507]

Благодаря этому замечательному свойству уравнения Лагранжа 2-го рода называются ковариантными сопреобразующимися). Заметим, что ковариантность уравнений Лагранжа 2-го рода можно проверить прямыми выкладками. [c.225]

Рассмотренные примеры показывают, что для голономных систем основные теоремы динамики можно рассматривать как проявление свойств циклических координат. Ясно, что удачный выбор лагран-жевых координат в значительной мере облегчает интегрирование и исследование системы уравнений Лагранжа. При выборе координат полезно стремиться к тому, чтобы из них как можно больше оказались циклическими. [c.560]

Возмущающие влияния вращения земного шара на движущиеся на его поверхности тела тем заметнее, чем их скорость больше. Но на такие тела, находящиеся в быстром движении, например, на ружейную пулю, действует, вообще, множество других возмущающих причин, и наблюдение почти невозможно. Однако гении Фуко преодолел и это затруднение. Он воспользовался свойствами движения тяжелого тела, подвешенного в своем центре тяжести и быстро вращающегося вокруг оси симметрии, и показал, что ось такого тела должна сохранять постоянное направление, а потому, если она направлена на звезду, то она должна следовать за этой звездой в ее суточном движении. Этот прибор Фуко получил название гироскопа. Другие приборы того же рода построили Сир (Sire) и Жильбер. Дальше мы приведем теорию одного из этих приборов, называемого барогироскопом, как приложение уравнений Лагранжа. [c.249]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Замена независимой переменной. Важное и существенное свойство вариационных принципов заключается в том, что их легко можно выразить в любых выбранных координатах. Это обстоятельство уже отмеча1лось нами ранее (в 6.3) при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Обобщение принципа Гамильтона (26.6.2) дает возможность пойти дальше в этом направлении и произвести замену независимой переменной. Введем вместо t новую независимую переменную 0, связанную с t соотношением [c.537]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

Структурная схема моделируемой системы представлена на рис. 1. На основании проведенных экспериментальных исследований [3] механизм позиционирования руки робота представлен в виде трехмассовой системы с упругими и демпфирующими свойствами. Движение руки описывалось при помощи уравнений Лагранжа. Система охвачена отрицательной обратной связью по положению, где — коэффициент обратной связи — задаваемое положение руки / — ток двухкаскадного электро-гидравлического преобразователя типа сопло—заслонка—золотник с упругой обратной связью (сервоклапан) q — расход масла, поступающего в цилиндр i — передаточное отношение механизма, преобразующего поступательное движение поршня гидроцилиндра во вращательное движение руки робота F —- приведенная сила трения. Амплитудно-частотные характеристики сервоклапанов, используемых л данной конструкции робота, показали, что они [c.67]

Глобальная дифференциальная геометрия и алгебраическая геометрия помогли найти самодуальные решения классических уравнений Лагранжа для неабелевой калибровочной теории. Квантовая теория поля строится на этих классических решениях. Пока неясно, каким образом новые решения повлияют на не-пертурбативные свойства калибровочных теорий. Неизвестно и то, как следует проводить расчеты, не [c.19]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...