Ковариантность уравнений Лагранжа

Ковариантность уравнений Лагранжа в независимых [c.248]

Ковариантность уравнений Лагранжа [c.251]

Классическая механика 7 Ковариантность уравнений Лагранжа 248 [c.569]

Поскольку мы исходили из инвариантного действия и проводили вычисления ковариантно, уравнения Лагранжа являются ковариантными. Следовательно, они удовлетворяют специальному принципу теории относительности и поэтому записываются одинаково в любой инерциальной системе отсчета. [c.97]

КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА) [c.121]

Прежде чем приступить к выводу ковариантной записи уравнений движения — уравнений Лагранжа, получим два вспомогательных равенства. [c.126]

Утверждение, обратное принципу Гамильтона, важно и по другой причине оно позволяет установить, как изменяется лагранжиан при преобразовании координат и времени, и тем самым разъяснить, что собственно имеется в виду, когда утверждается, что уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к таким преобразованиям. Рассмотрим преобразования [c.280]

Таким образом уравнения Лагранжа ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат и времени вида (62), [c.281]

Разумеется, как в том случае, когда время не преобразуется и L может быть вычислен по формуле (65), так и в том случае, когда время преобразуется и L вычисляется по формуле (64), новый лагранжиан (как функция новых переменных), вообще говоря, отличается от старого лагранжиана (как функции старых переменных). Именно поэтому мы говорим о ковариантности (а не об инвариантности) уравнений Лагранжа по отношению к любым преобразованиям вида (62). Но, разумеется, среди преобразований (62) содержатся и преобразования специального вида, такие, что для них L как функция новых переменных имеет совершенно такой же вид, что и L как функция старых переменных, т. е. [c.282]

Ковариантная форма лагранжиана. Хотя описанная процедура получения лагранжиана и приводит к правильным релятивистским уравнениям движения, однако она является релятивистской лишь в определенном смысле, так как не является ковариантной. [c.233]

В главе 6 указывалось, что первый член ковариантного релятивистского лагранжиана (6.57) является в некоторой степени произвольным. Другая возможная форма лагранжиана получается, если преобразовать принцип Гамильтона (6.48) (перейдя от времени i к местному времени т, являющемуся инвариантом Лоренца) и использовать. новую подынтегральную функцию в качестве L. Получить таким путем выражение для ковариантного гамильтониана частицы, находящейся в электромагнитном поле. Показать, что значение этого гамильтониана равно нулю. (При получении уравнений движения значение гамильтониана, конечно, не существенно, так как нас интересует только его функциональная зависимость от координат и импульсов.) [c.261]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

В дальнейшем мы встретимся с ковариантностью дифференциальных уравнений, составленных в форме уравнений Лагранжа, по отношению к любым заменам обобщенных координат и с ковариантностью уравнений, составленных в форме Гамильтона по отношению к каноническим преобразованиям. И в этих случаях речь идет об инвариантности правила составления дифференциальных уравнений, а не об инвариантности самих составленных уравнений . [c.13]

Справедливость утверждения очевидна, поскольку переменные д, также являются локальными координатами конфигурационного многообразия системы. Напомним ( 2), что ковариантность уравнений движения означает инвариантность правила их составления (уравнения Лагранжа), а не инвариантность самих, полученных в результате применения этого правила уравнений. [c.115]

Поскольку при записи уравнений Лагранжа в новых переменных (<, X, у, г) —) х, у, г ) происходит также и перепроектирование их на новые оси, то закон преобразования левых частей написанных уравнений навязывает тот же закон и для преобразования правых частей. В трехмерном случае при переходе от одной инерциальной системы к другой стоящие в правых частях силы изменяются. Для одномерного случая это не так сила Р одна и та же во всех системах координат и представляет собой обычную ньютонову силу. В одномерном случае уравнение механики инвариантно по отношению к лоренцевой группе, в трехмерном оно ковариантно. [c.277]

Уравнения Лагранжа ( 26) были ковариантны по отношению к любым допустимым (дифференцируемым) заменам обобщенных координат. [c.292]

В общем нестационарном случае, когда поле и зависит явно от t, форму Q также можно привести к стационарному виду. Для этого рассмотрим систему дифференциальных уравнений х = v x,t), определяемую (9.3). Пусть x t,z) — решение этой системы с начальными данными x[Q,z) = Z. Соответствие z —> х = x t,z) будем трактовать как неавтономную замену переменных. Положим u x,t)dx -t- B x,t)dt = Ut z,t)dz -t- Bf z,t)dt. В силу свойства ковариантности уравнений Эйлера — Лагранжа, в новых переменных уравнение (9.3) принимает тот же вид [c.61]

Это свойство уравнений Лагранжа называют их ковариантностью. [c.225]

Пришли к разрешенным относительно обобщенных ускорений уравнениям Лагранжа в форме (4.7). Уравнения Лагранжа в форме (4.6) и в их обычной форме (1.11) получим, рассматривая соотношение (13) в ковариантных составляющих. [c.293]

Выражение второго закона Ньютона в ковариантных составляющих принимает вид уравнений Лагранжа [c.293]

И. Явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода и их ковариантность [c.224]

Чрезвычайно удобная и выразительная, ковариантная форма уравнений движения (4.83) как бы вуалирует структуру левых частей уравнений движения не видно, как входят в уравнения первые и вторые производные от обобщенных координат по времени. Поэтому, ограничиваясь классическими системами, мы рассмотрим явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.225]

Уравнения Лагранжа в виде (4.88) будут тоже ковариантными относительно точечного преобразования обобщенных координат (они получены из (4.83)). Поэтому, записав уравнения Лагранжа в виде (4.87), мы можем представить их в явном виде, изменив лишь обозначения в уравнениях (4.88) [c.226]

В заключение отметим, что для уравнений Лагранжа характерна ковариантность их вид не меняется при переходе от независимых координат дх,- -,Я к каким-либо другим независимым координатам р 2 но [c.233]

Если исходить из ковариантного вариационного принципа для одной материальной точки, то уравнения Эйлера—Лагранжа, очевидно, будут иметь вид [c.234]

При ковариантной записи уравнений движения в отличие от той, которая была дана в предыдущем разделе, энергия определяется как производная от функции Лагранжа. [c.147]

Уравнения Эйлера—Лагранжа (1) выражают необходимые условия стационарности некоторого интеграла относительно вариации переменных, входящих в его подынтегральную функцию. Если интеграл является инвариантом относительно преобразования координат, то соответствующие уравнения Эйлера—Лагранжа выражают условия, которые не могут зависеть от выбора координат, иначе говоря, уравнения Эйлера—Лагранжа являются ковариантными дифференциальными уравнениями. [c.904]

Можно показать [1], что это выражение справедливо и в обшем случае любого (локального) лагранжиана взаимодействия. Проще всего убедиться в этом, если строить -матрицу не с помощью уравнений движения, а непосредственно исходя из физических требований унитарности, причинности и ковариантности. [c.265]

Как было установлено, поведение голономной системы при любом выборе обобш,енных координат может быть описано уравнениями Лагранжа — в этом смысл ковариантности уравнений Лагранжа. Другими словами, переход к другим обобщенным координатам всегда влечет перевод уравнений Лагранжа опять в уравнения Лагранжа. Формула (21.12), связывающая лагранжианы в разных координатах, была выведена в 21. Иначе обстоит дело в случае уравнений Гамильтона [c.143]

Компоненты силы в общем случае зависят от ж, ж и Ь. Можно показать, что при заменах локальных координат наборы чисел в левой части равенства (5.6) преобразуются по ковариантному закону. Таким образом, в обеих частях уравнения движения (5.6) стоят ковекторы. Это обстоятельство называется свойством ковариантности уравнений Лагранжа. В приложениях важное значение имеют потенциальные силы [c.55]

Благодаря этому замечательному свойству уравнения Лагранжа 2-го рода называются ковариантными сопреобразующимися). Заметим, что ковариантность уравнений Лагранжа 2-го рода можно проверить прямыми выкладками. [c.225]

Применительно к системе без механических связей уравнения Лагранжа имеют одно основное преимущество они ковариантны по отношению к точечным преобразованиям координат. В случае же, когда система стеснена механическими идеальными связями, применение лагранжева формализма имеет дополнительные пре имущества по сравнению с непосредственным применением урав нений Ньютона. Оно позволяет уменьшить порядок системь уравнений, описывающих движение, до 2п, где л —число степе ней свободы, и избежать определения реакций идеальных связей Возможность выписать уравнения движения, не интересуясь нор мальньши реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями. [c.156]

Уравнения движения, записанные в ковариантной форме (уравнения Лагранжа), имеют одинаковый вид в любой системе отсчета и поэтому в равной мере пригодны для описания движения в инерциальных и в неинерциальных системах. Для того чтобы описать движение материальной точки по отношению к неинерциальной системе отсчета, надо лишь в качестве новых координат принять отрюсительные ( греческие ) координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции ф,- и г ),-, т. е. преобразование (8) новых ( гре- [c.160]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Пришли к уравнениям движения в форме (4.7), разрешенным относительно обобщенных ускорений. В ковариантной записи получим уравнения Лагранжа второго рода. Таким образом, последние выражают закон Ньютона для движения точки, изображающей рассматриваемую систему материальных точек в пространстве с метрикой, определяемой квадратичной формой 2ТсИ-. Тем самым законам движения придано условно наглядное геометрическое пояснение. Так, словесно повторив сказанное в пп. 7.5 и 7.6, можно записать уравнения движения в форме естественных уравнений, непосредственно следующей из (5.29) [c.306]

Уравнения Лагранжа сохраняют свой вид (ковариантны) при точечных преобразованиях переменных, тогда как уравнения Гамильтона допускают значительно более широкий класс преобразований —каноничес/с преобразсвания. [c.304]

Сопоставим в заключение методы Гамильтона и Лагранжа. В гамильтоновом формализме основными величинами являются , р, и Н. Гамильтониан можно построить с помощью функции Лагранжа и q и р,. Отсюда непосредственно получаются канонические уравнения и динамические переменные. Однако в гамильтоновом формализме время все же играет особую роль по сравнению с пространственными координатами, являясь, по существу говоря, единственной независимой переменной. С одной стороны, это дает возможность провести далеко идущую аналогию с классической механикой, но, с другой стороны, именно поэтому теория оказывается релятивистски неинвариантной. Напротив, в лагранжевом формализме не вводят функции р,-, Н (хотя это и возможно). В лагранжевом методе исходят из вариационного принципа для лагранжиана системы. Из условий для его экстремума получают уравнения движения, а динамические переменные (энергия — импульс, заряд и т. п.) определяются как инварианты, соответствующие различным преобразованиям системы координат и, в случае теории полей, функций поля. В лагранжевом формализме время входит совершенно симметрично с пространством и теория с самого начала релятивистски ковариантна, но зато аналогия с механикой системы точек оказывается гораздо менее отчетливой. [c.878]

Подводя итоги, следует отметить, что метод множителей Лагранжа оказался плодотворным в области механики сплошной среды. Этот метод позволил ввести в пределы лагранжевой механики классическое представление о тензоре напряжений и тензоре кинетических напряжений. Было обнаружено не рассматриваемое ранее поле напряжений, описываемое тензором ,1 . Это поле в линейном приближении не связано с законом движения элементов сплошной среды. При привлечении нелинейных членов в рассмотренных уравнениях эта связь может быть обнаружена. Такое утверждение основывается на составё ковариантных производных, входящих в уравнения движения и содержащих символы Кристоффеля, выраженные равенствами [c.51]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...