О некоторых свойствах квадратичных форм

О некоторых свойствах квадратичных форм ) [c.493]

Помимо условий (5), коэффициенты уравнений (6) должны удовлетворять еще некоторым неравенствам, вытекающим из свойства положительной знакоопределенности квадратичных форм (2) и (4). Чтобы найти эти неравенства, заметим, что квадратичную форму двух переменных [c.549]

I у I означает малость q , а также малость 5 .) В некоторых случаях можно воспользоваться этим же методом и установить устойчивость по Ляпунову невозмущенного движения, составляя интеграл уравнений (23.7.6), который представляет собой либо определенно-положительную квадратичную форму от переменных г/i, 1/2,. . ., Ут-, либо функцию, обладающую основными свойствами такой формы. Можно также распространить эту теорию на случай, когда функции, кроме переменных z/j, г/2,. . ., г/ , содержат еще t, а также на случай, когда функции не являются интегралами уравнений [c.472]

В аналитический метод Лагранжа вполне можно ввести геометрические аналогии и представления. Это можно сделать, ибо свойства уравнений Лагранжа тесно связаны со свойствами некоторой квадратичной формы точно такого же вида, какой имеет в геометрии форма, выражающая дугу кривой. [c.818]

Теорема П. Ф. Папковича допускает обобщение на распределенные системы, когда в формуле (7.3.22) вместо квадратичных форм стоят квадратичные функционалы с аналогичными свойствами. Граница области устойчивости может оказаться выпуклой в сторону начала координат, если по условиям задачи необходим учет деформаций и перемещений в невозмущенном состоянии равновесия. Некоторые расчетные и экспериментальные результаты можно найти в [68]. На рис. 7.3.10 показана экспериментальная граница области устойчивости для [c.479]

Определив указанным образом числа а , найдем затем из неоднородных систем (5.27), (5.28) а), и построим функции 5 (ж), 8 п х). Отметим, что указанные системы в силу свойств оператора ( 3.10) и теоремы Гильберта [14] однозначно разрешимы в пространстве квадратично суммируемых последовательностей 1г при любых значениях параметров Я,, х е (О, < ), и для их решения может быть использован метод редукции. При известных а находим также б . Наконец, счетное множество постоянных уо и к>1) определим из условия асимптотического совпадения функций у+ 1) вида (5.18) и у-(1) вида (5.11) в окрестности некоторой точки 1 = о. Для практических целей достаточно как-то зафиксировать, постоянные (например, положить /, = 1) и найти Уо из условия +( 0) = -( о)- Определение о и завершает построение решения задачи в форме (,5.11), (5.19). [c.472]

Для того чтобы выяснить, что корни X векового уравнения (19) всегда вещественны и полом<ителыш, рассмотрим предварительно некоторые свойства квадратичных форм е вещественными коэффициентами. [c.234]

Во-вторых, решение ДМНК, выраженное формулой (5.62), дает наилучшую точку на фиксированном расстоянии от начальной в пределах линейной модели. Другими словами, решение (5.62) есть точка минимума оценочной функции, представленной квадратичной формой (5.27), на сфере некоторого радиуса R, описанной вокруг начальной точки в пространстве параметров. Докажем это важное свойство метода. Для этого рассмотрим задачу нахождения минимума оценочной функции ф , выраженной формулой (5.27), при условии постоянства квадрата длины вектора Дх, т. е. задачу нахождения минимума ф/, на сфере [c.236]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...