Интегральные уравнения и уравнение теплопроводности

Помимо математической формулировки задачи теплопроводности в виде дифференциальных уравнений и краевых условий для неоднородного анизотропного тела произвольной формы возможна также формулировка задачи в виде интегральных соотношений, в частности с помощью интеграла взвешенной невязки [12], содержащего весовые функции. Такая формулировка задачи, называемая интегральной, позволяет выявить некоторые общие свойства температурных полей и наряду с классическими методами строгого аналитического решения построить эффективные алгоритмы приближенного аналитического или численного решения. [c.38]

Дифференциальное уравнение (1-11-38) было решено для полупространства, когда ядра интегральных соотношений а (6) и X (9) являются степенными или экспоненциальными функциями времени б. Наличие интегральных соотношений в уравнении теплопроводности (1-11-38) не вносит больших трудностей при его решении методом интегрального преобразования Лапласа, поскольку интегрирование в этих соотношениях производится по времени в пределах от О до со [Л. 1-50]. Особый интерес представляют температурные волны в материалах с памятью, они имеют свою особенность, скорости их распространения и коэффициенты затухания отличны от аналогичных соотношений в классической теории теплопроводности. [c.92]

Особые преимущества интегральных преобразований обнаруживаются при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных. Методика решения систем уравнений при этом принципиально не отличается от методики решения отдельных уравнений и заключается в осуществлении ряда последовательных операций. Например, для Одномерных задач теплопроводности, зависящих от координат и времени, необходимо [c.116]

Предполагаем также, что расплав мгновенно сносится и в теплоотдаче не участвует. Для определения температуры в оставшейся части пластины и закона движения волны плавления имеем интегральное условие (проинтегрированное уравнение теплопроводности) и условие баланса тепла на волне плавления [c.611]

Решение системы (1) — (12) связано с большими трудностями. Поэтому были рассмотрены различные возможности численного решения задачи. Применение операционного исчисления Лапласа по переменной времени приводит к системе интегральных или (при несколько иной форме решения) интегро-дифференциальных уравнений. Ядра этих уравнений представляют собой решение уравнений теплопроводности и, строго говоря, являются бесконечными рядами по собственным значениям данной краевой задачи. В этих системах остаются две независимые переменные (время и высота в насадке), т. е. имеются двойные интегралы, причем и по Ро и по 2 как с переменным, так и с постоянным верхним пределом получается своеобразная смесь интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра. Поэтому известные аналитические методы, используемые для решения уравнений типа Фредгольма или Вольтерра в отдельности, в данном случае неприменимы. Конечно, полученные интегральные (интегро-дифференциальные) уравнения могут быть решены одним из известных методов численно, тем более, что численные методы для решения интегральных уравнений хорошо исследованы и их сходимость проверена. [c.338]

В рамках двухжидкостной модели обсуждается ряд вопросов теории течений газа и диспергированных в нем твердых частиц малого, но конечного объема. Анализ основан на интегральных законах сохранения для смеси и для частиц, дополненных выражениями для силы взаимодействия сред и потока тепла между ними и уравнениями состояния. Как ив [1], вязкость и теплопроводность газа считаются существенными лишь при его взаимодействии с частицами. Взаимодействие между частицами допускается только на поверхностях разрыва типа пелены [2-4] ( сгустков [5]). При анализе допускаемых моделью поверхностей разрыва вводятся дополнительные предположения об их структуре. Рассмотрена автомодельная задача о начальном этапе распада произвольного разрыва. [c.471]

В книге приводится приближенный метод расчета нестационарной теплопроводности для классических и неклассических тел, внутренних задач гидродинамики и теплообмена при ламинарном течении жидкости в трубах и каналах с различной формой поперечного сечения. Предложен простой и эффективный метод расчета термоупругих напряжений прн переменных во времени температурных режимах внешней среды. Даны решения для системы уравнении взаимосвязанного тепломассопереноса, полученные путем совместного применения интегральных преобразований и вариационных методов. [c.136]

Применение интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений теплопроводности имеет ряд преимуществ перед классическими методами интегрирования дифференциальных уравнений и перед некоторыми другими методами интегральных преобразований. [c.54]

Весьма привлекательна идея сведения обыкновенного дифференциального уравнения к алгебраическому, уравнения в частных производных с двумя аргументами к обыкновенному, уравнения в частных производных с п аргументами к уравнению также с частными производными, но с п — 1 аргументами, поскольку уменьшение числа аргументов в уравнении, как правило, упрощает отыскание его решения. Добиться уменьшения числа аргументов любого из перечисленных дифференциальных уравнений (в случае их линейности) принципиально возможно с помощью интегрального преобразования. Разберемся в этом вопросе на примере обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего единственный аргумент t, исключение которого трансформирует дифференциальное уравнение в алгебраическое. Операторный метод весьма эффективен и находит широкое применение, например, в некоторых задачах теплопроводности [15]. В данной главе для иллюстрации метода приведены решения задач о прогреве тел простой формы стержня полубесконечного и стержня конечных размеров, а также круглой пластины. [c.193]

Рассмотренный здесь интегральный метод решения нестационарного уравнения теплопроводности отличается простотой результаты, полученные с его помощью, для относительно простых тел достаточно хорошо согласуются с точными. Метод этот может быть применен и к более сложным задачам, в частности, когда на поверхности контакта с газом задается нелинейное условие. [c.295]

Вторая зона лежит глубже первой. В ней основными процессами являются перенос тепла за счет теплопроводности и поглощение тепла за счет теплоемкости. Профиль температуры имеет вид экспоненты (см. гл. 3). После расчета по уравнению (6-18) температуры поверхности Ту, нетрудно определить и скорость уноса массы материала. Интегральное уравнение для скорости уноса описывает баланс подводимой и поглощаемой энергии и имеет вид [c.151]

Интегральное уравнение энергии может быть получено также другими способами, в том числе преобразованием дифференциальных уравнений пограничного слоя, показывающим их взаимосвязь [23]. Приведем один из наиболее простых и наглядных способов. Запишем уравнения неразрывности и теплопроводности [c.116]

В общем случае полости произвольной формы величина q" изменяется по поверхности 5"и интегральное уравнение приходится решать совместно с уравнением теплопроводности в теле, т.е. рассматривать сопряженную задачу кондуктивно-лу-чистого теплообмена. Решение такой задачи существенно усложняется, если в полости находится поглощающая, излучающая или рассеивающая среда [17]. [c.28]

Большая группа методов приближенного решения задач теплопроводности базируется на интегральной формулировке [например, в виде интегрального соотношения (2.47)]. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок. Их особенность состоит в подборе приближенного решения из условия малого рассогласования (невязки) при его подстановке в дифференциальные уравнения теплопроводности и краевые условия. Один из наиболее распространенных - метод Бубнова-Галер-кина [10] - характерен тем, что искомое приближенное решение представляется как линейная комбинация функций, входящих в интегралы взвешенной невязки в качестве весовых. [c.47]

Для решения уравнений теплопроводности применяют методы разделения переменных, интегральные преобразования, численные методы и др. [c.403]

Формула (1.76) не дает решения (1.65) в явном виде, а лишь представляет его в интегральной форме как составную часть математической формулировки задачи, которую следует дополнить граничными условиями (1.66) и (1.67). Явный вид решения возможен, если в каждой точке N S границы рассматриваемой области будут известны значения температуры Т (N) и ее нормальной производной дТ (N)Idn (N) = T,i (N) П N). Однако в задачах теплопроводности в отдельно взятой точке N < S границы можно задать либо Т (N), либо дТ N) dn (TV), либо комбинацию этих величин. Поэтому, чтобы воспользоваться (1.76), необходимо предварительно определить недостающие значения в граничных точках Мо G 5. Эти значения можно найти из решения интегрального уравнения, которое следует из (1.76) с учетом (1.66) и (1.67) [c.25]

Решение вида (1.81) можно распространить и на случай неоднородной области, когда X = А, (М), т. е. коэффициент теплопроводности зависит от положения точки М V. Для нелинейных задач формула вида (1.81) приводит к нелинейному интегральному уравнению для,определения Т (Мо). Решение нестационарной задачи теплопроводности, описываемой (1.64), также допускает представление в интегральной форме [49]. [c.26]

Положительные стороны МГЭ по сравнению с МКЭ, связанные с понижением размерности задачи, определяют целесообразность его применения к решению пространственных задач термоупругости, особенно в случае постоянных упругих характеристик материала тела. Представим поверхность тела S совокупностью A/ s двумерных граничных элементов. Эти элементы, как и в случае решения пространственных задач теплопроводности (см. 4.5), целесообразно выбрать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией в пределах каждого элемента распределений компонентов перемещений Ui (N) и вектора напряжений Pi (N) постоянными значениями или же зависимостями от координат точки N в виде полиномов. Если в пределах т-го граничного элемента с площадью S,n считать Ui (N) (i Om и pt (М) = = pi)m при N S, , то после отождествления точки Мд с узловой точкой граничного элемента интегральное уравнение (1.108) нетрудно свести к матричному уравнению вида (6.46), в котором теперь и и р — матрицы 3Ns X 1 (вектор-столбцы) с компонентами соответственно ( - )+,= ( Om и P3(m-l)+i = (Pi)r , причем i = 1, 2, 3 и m = 1,2,.,., Ns — матрица SN X 1 (вектор-столбец) с компонентами [c.253]

Связь между определяющей и средней интегральной температурами. Помимо определяющей существует еще средняя интегральная температура в р, характеризующая каждую кривую семейства в ( , Fo, Пг). Ее можно определить путем интегрирования решения дифференциального уравнения теплопроводности Фурье от нуля до единицы. Например, при линейном изменении температуры ва с течением времени в случае регулярного режима [c.55]

В большинстве работ по теплопередаче дается краткое изложение этого метода с точки зрения теории теплопроводности. Подробно он рассмотрен в работе [1]. Хорошее краткое введение в метод дано в [33]. В работе [34] рассматривается решение уравнения Пуассона для трехмерного случая. Совместное использование релаксационных методов и интегральных преобразований излагается в [35]. Применение релаксационных методов к задачам со скрытой теплотой рассмотрено в [36]. [c.465]

В данной книге на основе метода сингулярных интегральных уравнений предложен единый подход к решению плоских задач теории упругости, теплопроводности и термоупругости для тел, ослабленных системой криволинейных трещин. Этим же методом решаются задачи о продольном сдвиге цилиндрических тел с туннельными разрезами, а также задачи об изгибе пластин п пологих оболочек с трещинами. [c.5]

Книга знакомит читателя с применением нового метода численного решения задач механики — так называемого метода граничных интегральных уравнений. Этот метод, которому в последние годы уделяется все возрастающее внимание, позволяет эффективно решать при помощи ЭВМ сложные задачи, возникающие в инженерной практике. Он дает возможность понижать размерность задач, что служит основным его преимуществом перед другими численными методами. Применение метода демонстрируется на решении плоских и пространственных задач гидродинамики, теории упругости, пластичности, механики разрушения, механики горных пород, нестационарной теории теплопроводности. [c.4]

Легко видеть, что (8.26) есть обычное навье-стоксовское выражение для тензора напряжений и — коэффициент вязкости. Для получения численных значений коэффициентов вязкости и теплопроводности необходимо еще решить интегральные уравнения [c.151]

Поставленные задачи являются нелинейными и сводятся к совместному решению некоторого интегрального уравнения и уравнения теплопроводности. Однако, при помощи введения авторами коэффициента разделения потоков тепла в области контакта (оригинальные исследования по определению этой величины для различных видов сопряжений приведены в [9]), а также разумного усреднения некоторых механических характеристик задач, последние удалось существенно упростить — разбить на износоконтактные задачи и смешанные задачи теплопроводности для соприкасающихся тел. Получены аналитические формулы для основных характеристик явления. Показано, что существует счетный набор скоро- [c.483]

Особый интерес представляет найденный и развитый далее Я. Б. Зельдовичем, А. С. Компанейцем, Г. И. Баренблаттом и М. И. Вишиком факт существование конечной скорости распространения возмущений при нулевом начальном значении v (О, х) = Q для ф (и) = и более общего случая нелинейного уравнения типа уравнения теплопроводности. При этом решение является обобщенным (в смысле С. Л. Соболева) будучи непрерывным, оно имеет разрывную производную в точке v = 0 но непрерывную величину дц> (v)/dx, пропорциональную расходу жидкости или газа обобщенное решение удовлетворяет некоторому интегральному соотношению. В случае фильтрации воды из канала в грунт получается язык воды [1, с. 169 скоростью [c.209]

Значение dQx, в свою очередь, компенсируется поступлением теплоты dQu, а также dQx через границу с жидкостью за счет теплопроводности смеси и диффузии пара dQ = qdx. Суммируя составляющие теплового потока в элементарном объеме слоя (dQx = dQ + dQx), получаем интегральное (интегродифферен-циальное) уравнение энергии пограничного слоя насыщенного газа [c.116]

Более современный подход к разработке математической модели теплового режима изложен в [4]. Основной акцент сделан на анализ аналитических решений [39] и применение интегральных преобразований для решения уравнений стационарной и нестационарной теплопроводности. Авторами [4] разработаны методы решения одно- и многомерных задач, приведены программы, реализующие основные алгоррггмы, оценивается сходимость численных методов, включая и метод конечных элементов, изложенный в [28]. Анализ работы [49] позволяет сделать вывод, что на основе общего подхода для каждой сложной задачи, какой является задача теплового режима, необходимо, используя особенности объекта исследования, конструировать собственную методику, удовлетворяющую поставленным целям и требованиям разработки. [c.79]

На макроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики. Примерами таких уравнений служат дифференциальные уравнения в частных производных—уравнения электродинамики, теплопроводности, упругости, газовой динамики. Эти уравнения описывают поля электрического потенциала и температуры в полупроводниковых кристаллах интегральных схем, напряженно-деформированное состояние деталей механических конструкций и т. п. К типичным фазовым переменным на микроуровне относятся электрические потенциалы, давления, температуры, концентрадии частиц, плотности токов, механические напряжения и деформации. Независимыми переменными являются время и пространственные координаты. В качестве операторов F и У в уравнениях (4.2) фигурируют дифференциальные и интегральные операторы. Уравнения (4.2), дополненные краевыми условиями, составляют ММ объектов на микроуровне. Анализ таких моделей сводится к решению краевых задач математической физики. [c.146]

На основе такой общей постановки проведено обобщение и уточнение теоретических методов расчета радиационного теплообмена. Изложены дифференциальные методы расчета теплообмена излучением дифференциально-разностное и диффузионное приближения, приближение радиационной теплопроводности, тензорное приближение и приближение Милна — Эддингтона. Далее на этой же о снове рассмотрены интегральные уравнения теплообмена излучением и методы алгебраического приближения. Рассмотренные теоретические методы проиллюстрированы решением ряда задач, имеющих практическое значение. [c.89]

В связи с этим весьма перспективны М оказывается исследование процессов радиационного теплообмена с помощью метода электрического моделирования [Л. 89, 147, 148, 174—176, 384, 378, 385], Метод электромоделирования, основанный на математической аналогии уравнений, нашел также широкое применение при решении различных дифференциальных уравнений теории теплопроводности, диффузии и других аналогичных уравнений математической физики [Л, 178, 180]. Были также предложены различные электрические схемы и для решения систем линейных алгебраичеоких уравнений [Л. 177, 178, 180], а также интегральных и интегро-диф-ференциальных уравнений [Л. 179]. [c.281]

В заключение отметим, что по проблемам использования функций Грина в задачах математической физики имеется обширная литература. В частности, в работах [10, 60, 108] исследуются свойства функции Грина для интегрального уравнения Лапласа и Пуассона. Некоторые конкретные примеры функций Грина применительно к задачам теплопроводности с рассмотрением их физического Mbt jia и построением функций влияния различных тепловых источников приведены в монографиях [48, 27, 28]. Функции Грина для двух случаев, п )едставляющих практический интерес для смещенного нитевидного теплового источника и для точечного источника в теплопроводящем цилиндре бесконечной длины, даны в П. 4. [c.49]

Двумерные задачи. Решение общих задач теплопроводности в двух и трех измерениях можно получить методом интегральных уравнений с помощью функции Грина подобно тому, как это делается в теории потенциала. Но последовательное решение этих задач методом интегральных уравнений оказывается более трудным, чем решение разобранных у ке нами задач. В этих задачах ядро интегрального уравнения в области интегрирования обращается в бесконечность интегралы оказываются поверхностными или объемными и ряды дво1Т ными или тройными. [c.259]

Уравнения газовой дииамики. Т. к. при теоретнч. изучении задач Г. д. параметры газа могут испытывать разрывы на пек-рых поверхностях внутри области течения, то исходные ур-нпя Г. д. записываются в интегральной форме для конечных объёмов газа. Ил этих интегральных соотношений в областях непрерынного движения следуют дифферопц. ур-ния Г. д. Если не учитывать вязкости и теплопроводности газа, то скорость газа V, его давление р и плотность р в точках области, где они непрерывны, должны быть связаны ур-ниями [c.380]

Полученные результаты составляют главное содержание теории теплового переноса излучением. В случае соленоидаль-ного поля излучения результирующий перенос тепла тождественно равен нулю. В общем случае, когда помимо излучения в теплообмене участвуют и другие виды переноса тепла (теплопроводность, конвекция и др.), под результирующим потоком -следует поянмать суммарное значение энергии в рассматриваемом месте среды. Такие процессы описываются нелинейным интегро -дифференциальным уравнением энергии, решение которого для конкретных приложений вызывает большие трудности математического характера. Поэтому широкое распространение получили приближенные методы. По-атедние обычно связаны с приближенными представлениями уравнений переноса энергии (дифференциальные методы) или интегральных уравнений излучения (зональный метод). При этом особое внимание приходится уделять оптическим свойствам сред. [c.525]

Для исследованияс течений в пограничных слоях ГДЛ и химических лазерах необходимо знать коэффициенты переноса. Последние определяются аналогично [1] из решения соответствующих интегральных уравнений путем разложения функции распределения в ряды по многомерным полиномам. Получены выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности, причем им еется несколько различных коэффициентов теплопроводности из-за того, что разным модам колебаний соответствуют разные колебательные температуры. Подученные результаты применены к конкретным течениям многоатомных газов, в частности к течениям сжатия, для исследования эффекта инверсии населенностей в типичных лазерных смесях СОа -J- N2 -f HgO (Не) за сильной ударной волной и в энтропийном слое при обтекании клина [3]. [c.106]

Плоские задачи термоупругостн для изотропных тел, ослабленных криволинейными разрезами, сводятся к интегральным уравнениям соответствующих силовых задач относительно функций, состоящих из двух слагаемых производной от неизвестного скачка смещений при переходе через контур разреза и функции, известной из решения задачи теплопроводности. [c.226]

Кривцун М. Г. Интегральные уравнения теплопроводности и термоупругости. для плоскости с периодической системой криволинейных разрезов.— Мат. методы и физ.-мех. поля, 1978, вып. 8, с. 48—53. [c.307]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...