Примеры функций Грина

Простой пример функции Грина, которая приводит к решению (39). [c.25]

Примеры функций Грина. Приведем несколько простейших примеров функций Грина [c.73]

Полученные выше микроскопические формулы (4.70) или (4.76), связывающие коэффициент трения с интегралом от временной корреляционной функции случайной силы, представляют собой один из примеров соотношений Грина—Кубо. Последние в общем случае связывают различные коэффициенты переноса с интегралами по времени от соответствующих корреляционных функций. [c.60]

Приведем примеры. Для шара функция Грина имеет вид [c.108]

Общих методов решения краевых задач теории упругости, которые сводили бы решение к вычисле- нию квадратур, как известно, не существует. Например, при решении пространственной краевой задачи в перемещениях методом Папковича-Нейбера предварительно требуется найти три гармонические функции. Эта задача может быть сведена к вычислению ряда квадратур, если известна одна гармоническая функция — регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа (метод одной гармонической функции [1]). Однако общие условия сходимости итерационного процесса до сих пор недостаточно хорошо изучены. Поэтому возможность применения метода одной гармонической функции к решению конкретных задач целесообразно иллюстрировать на примерах. [c.8]

Приведенный выше пример показывает, что решение простых задач теории упругости методом одной гармонической функции связано с более громоздкими вычислениями по сравнению с методом комплексного переменного. Этот недостаток может быть в значительной мере компенсирован при решении сложных задач, решение которых не выражается через элементарные функции, для областей, где легко определяется регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа. Как видно из примера, итерационный ряд (6) достаточно быстро сходится. [c.11]

Применительно к рассмотренному примеру задачи нестационарной теплопроводности (1.37) сопряженная функция Грина [сопряженная температура 0+] имеет простое физическое толкование. Именно сопряженная температура (л , Х, т, ti) в точке Хо в момент времени то при Р = Ь(х—Xi)6(t—ti), т. е. при измерении температуры в точке Х] в момент времени xi, как раз и есть эта температура в точке Xi в момент времени Ть если в точке Хо действовал тепловой источник единичной мощности в момент времени то. [c.21]

Примеры, иллюстрирующие соотношения между функциями Грина. Рассмотрим сначала простейший случай стационарной теплопроводности в бесконечном цилиндре радиусом R с постоянным коэффициентом теплопроводности X. На радиусе roтепловой источник, создающий на единицу боковой поверхности 44 [c.44]

Пример, иллюстрирующий свойства функций Грина а нестационарном случае. Рассмотрим задачу о функции Грина нестационарного уравнения теплопроводности, описывающего процессы в полубесконечном канале с теплоносителем, Для простоты примем, что внешняя поверхность канала теплоизолирована, импульсный тепловой источник занимает все сечение канала в точке с осевой координатой Хц, а скорость теплоносителя постоянна по сечен ню и длине канала. Таким образом, рассмотрим одномерную задачу, представляющую собой обобщение задачи п. 2.2.3 на нестационарный случай. [c.90]

Изложим на конкретном примере метод построения функции Грина. Рассмотрим краевую задачу [c.104]

Пример, Рассмотрим одномерные процессы и () а f (/), связанные дифференциальным уравнением (6). Переход от дифференциального уравнения к интегральному осуществляется с помощью функции Грина Л (/— X) в форме и (() = J 1г t х) f (Х) dx. Для корреляционной [c.289]

Интегрированием решений для мгновенных источников решается ряд задач, которые можно рассматривать либо как задачи о движении источников в неподвижной среде, либо как случаи выделения тепла в фиксированной точке, мимо которой равномерно движется среда ). В данном параграфе мы рассмотрим в основном неограниченную среду. Аналогичным образом можно применить и функцию Грина (см. гл. XIV) при решении соответствующих задач для случая ограниченной среды = ) (см. ниже пример VI). [c.261]

В данном случае функция Грина описывает температуру в момент времени t в плоскости X, обусловленную распределением единичных плоских мгновенных источников, расположенных в плоскости х в момент т она имеет вид (ср. пример I 10 гл. X) [c.351]

Решения для непрерывных точечных или линейных источников в областях, рассмотренных в настоящей главе, можно получить путем интегрирования соответствующих функций Грина. Однако эти решения очень просто получаются и непосредственно. В качестве примера рассмотрим непрерывный линейный источник, выделяющий при t>Q в единицу времени на единицу длины количество тепла, равное Q. Источник располагается параллельно оси z цилиндра г- а и проходит через точку (г, 0). Начальная температура цилиндра равна нулю. Теплообмен на его границе отсутствует. [c.378]

Термодинамические функции Грина ферми- и бозе-систем. В качестве типичного примера рассмотрим теорию возмущений и диаграммную технику для термодинамических функций Грина ферми- и бозе-систем ). [c.18]

Неравновесные корреляции в электронном газе. В качестве примера использования метода термодинамических функций Грина рассмотрим неравновесные уравнения состояния электронного газа. Будем считать, что положительные заряды образуют однородный компенсирующий фон . [c.20]

Альтернативным методом вычисления обобщенных восприимчивостей является расцепление бесконечной цепочки уравнений движения для временных функций Грина. Примеры можно найти в обзоре [18]. [c.32]

Проводимость кулоновской плазмы. Как пример вычисления временных корреляционных функций при помощи метода термодинамических функций Грина получим формулу для проводимости полностью ионизованной кулоновской плазмы в постоянном электрическом поле. [c.37]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

При больших значениях независимых переменных неизвестное поле можно представить в форме уходящей волны и получить решение в виде разности между полным полем волны и этим полем на бесконечности, амплитуда которого определяется в процессе решения. Для таких задач зависимая переменная и ее производные достаточно быстро убывают на бесконечности, в силу чего могут использоваться обычные фундаментальные решения уравнения Лапласа, т. е. In г в двумерном и i/r в трехмерном случаях. При другом подходе можно было бы использовать другие функции Грина, которые сами достаточно быстро убывают на бесконечности, что позволило бы положить равным нулю интеграл по замкнутой поверхности (см. [2], разд. 6.9). В качестве примера последнего подхода рассмотрим распространение двумерных периодических волн малой амплитуды в бесконечно глубоком океане. В этой линейной задаче выберем [c.26]

Индуктивная диафрагма в волноводе. Рассмотрим пример получения интегрального уравнения для электрического поля на отверстии тонкого металлического экрана, на этот раз в волноводе. Отличие от задачи, рассмотренной в п. 13.1, состоит в том, что вместо функции Грина полупространства (13.3) возникает функция Грина волновода. [c.135]

Расчет многофотонных матричных элементов с помощью функций грина. Мы поясним упрощение расчета многофотонных матричных элементов на основе функций Грина на примере двухфотонных матричных элементов [c.31]

В работе [78] предлагается другой метод (метод II) решения смешанных плоских и пространственных задач теории упругости для слоя переменной высоты. Изложение ведется на примере задачи А. Сущность метода II состоит в том, что сначала рассматривается задача о равновесии упругого слоя, жестко скрепленного с недеформируемым основанием, под действием заданных на его поверхности усилий. Методом вариации границы (в специальной форме) проводится построение функции Грина в виде разложения по степеням параметра е. При этом предполагается, что функцию ш можно представить рядом по степеням параметра 8 вида [c.152]

Исходную систему уравнений возможно преобразовать к обобщенному бигармоническому уравнению эллиптического типа относительно некоторой вспомогательной функции, которая связана дифференциальным оператором с функцией вертикального перемещения. Решение выписано в виде однократных квадратур. Для иллюстрации способа решения задачи приведен пример конкретного распределения движущейся нагрузки. Исследуемая задача имеет йак самостоятельное значение, так и является способом построения функции Грина для вязко-упругой полосы с учетом влияния инерционных эффектов. [c.406]

Второе допущение, существенное для вывода формулы (16.115), состоит в том, что полюс функции Грина (16.105) считается однократным. Если гамильтониан, имеющий почти связанное состояние, утопленное в непрерывном спектре, является эрмитовым, то полюс его резольвенты, конечно, должен быть однократным. Однако даже в этом случае может оказаться, что два разных полюса резольвенты сливаются при смещении в комплексную плоскость. Двукратный полюс приводит к резонансной кривой, полностью отличающейся по форме от (16.115) она может иметь сильно сглаженную вершину или даже иметь два максимума. Приведенный пример можно рассматривать как предельный для случая двух перекрывающихся резонансов (к этому вопросу мы вернемся в гл. 19, 3). [c.462]

ДЛЯ изложения последующих глав мог бы быть опущен. В ней рассматриваются различные задачи, связанные с решением дифференциальных уравнений второго порядка. Показано, что во многих типичных случаях решение можно найти с помощью функции Грина. По-видимому, автор этими примерами хотел как-то обосновать принцип линейной суперпозиции при рассмотрении в дальнейшем процесса формирования оптического изображения. В связи с этим следует отметить, чтю принцип линейной суперпозиции не нуждается в доказательстве, а возможность его применения следует искать в физике явления. Далее заметим, что гл. 3—5, посвященные вопросам геометрической оптики и дифракционной теории, изложены слишком сжато и имеют ряд недостатков, отмеченных в примечаниях редактора. Стиль изложения несколько небрежен. При переводе встречались неясности в изложении и трудности в расшифровке ряда новых терминов, введенных автором. Поэтому пришлось иногда несколько отходить от текста, чтобы сделать его более понятным. Эти недостатки связаны, по-видимому, с лекционным характером книги. Дополнительная литература, приведенная автором, не может претендовать на полноту, ибо содержит лишь основные источники. [c.9]

В заключение отметим, что по проблемам использования функций Грина в задачах математической физики имеется обширная литература. В частности, в работах [10, 60, 108] исследуются свойства функции Грина для интегрального уравнения Лапласа и Пуассона. Некоторые конкретные примеры функций Грина применительно к задачам теплопроводности с рассмотрением их физического Mbt jia и построением функций влияния различных тепловых источников приведены в монографиях [48, 27, 28]. Функции Грина для двух случаев, п )едставляющих практический интерес для смещенного нитевидного теплового источника и для точечного источника в теплопроводящем цилиндре бесконечной длины, даны в П. 4. [c.49]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

В качестве второго примера рассмотрим изгибные волны в тонком стержне с периодическими сосредоточенными препятствиями, оказывающими сопротивление перерезывающей силе. Очевидно, что приведенный выше вывод дисперсионного уравпепия может быть неренесен на этот случай без изменений. Считая, что изгибные колебания стержня подчиняются уравнению Бернулли — Эйлера (5.22), и записывая его функцию Грина в виде [c.184]

Сравнивая полученную формулу с (2.63), видим их полную тождественность, т. е. убеждаемся на рассмотренном примере в выполнении теоремы взаимиости функций Грина основного и сопряженного уравнений (2l47). [c.49]

Проиллюстрируем вначале итерационный метод решения уравнения (2.108) т оследовательными приближениями на примере задачи теплопроводности, поддающейся точному решению. Для этого рассмотрим бесконечно длинный сплошной цилиндрический твэл радиусом R. Функция Грина в случае осесимметрич-иой задачи теплопроводности для такого твэла, как следует из 2.2.3, равна [c.61]

Осесимметричные течения или обтекание тела враш,ения параллельно его оси враш ения, представляют пример трехмерных течений, которые могут быть охарактеризованы при помош и единственной скалярной функции тока, как это имеет места и в случае двумерных течений. Разделение переменных в этом случае возможно для более широкого класса систем ортогональных координат, что обсуждается в гл. 4. В другом обш,ем методе получения решений линеаризованных уравнений движения используются обобш енные функции Грина. Так как получаемые решения содержат интегралы, они во многих случаях не так удобны, как решения в виде рядов. В других более специальных методах используются зеркальные отражения и аппарат вариационного исчисления. В последующих разделах этой главы некоторые из этих методов рассматриваются подробно, причем особое внимание уделяется тем из них, которые наиболее широко используются для целей этой книги. [c.78]

Для этого случая функция Грина, представляющая температуру в момент времени t в точке х, у, z), обусловленную действием мгновенного единич-sioro точечного источника в точке (х, у, z) в момент времени т, когда граница х==0 поддерживается при температуре, равной нулю (как и в примере II 11 гл. X), имеет вид [c.363]

Рассмотренный пример показывает, как метод термодинамических функций Грина может быть использован для вычисления квазиравновесных средних значений и вывода неравновесных уравнений состояния. Мы видели, что этот метод является естественным обобщением метода мацубаровских функций Грина, который широко применяется в настоящее время для исследования равновесных свойств систем многих частиц. [c.28]

Приведем пример, доказывающий эффективность полученных выще формул. В работе [18] предложена приближенная функция Грина для четвертьпространства, при этом отброшены некоторые [c.158]

Покажем это на примере двумерной задачи. Плоская волна, приходящая из направления 0о, имеет вид ехр[гАгсоз(0 — 0о)]-Если эту функцию вычесть из функции Грина, то разность будет удовлетворять условию излучения. Поэтому функция Грина 0(0, 0о) представима в виде [c.109]

Расчет многофотонных сечений методом штурмовской функции Грина. Современные методы расчета сечений процесса многофотонной ионизации атома водорода можно пояснить на примере двухфотонной ионизации, так как обобщение на случай К > 2с формальной точки зрения достаточно очевидно двухфотонный матричный элемент перехода заменяется на многофотонный. [c.115]

Исследуется вопрос об однозначности квантовой теории поля с обрезающим фактором и устанавливается, что даже конечные (перенормированные) выражения зависят от вида обрезающего фактора. Приведены примеры, в которых перенормированная функция Грина бозона не имеет полюса при конечных импульсах, а критический импульс в перенормировке заряда может быть сделан сколь угодно большим. В этой связи рассматриваются трудности с обращением заряда в нуль и с наличием полюса у функции Г рина, а также вопрос об области применимости мезонной теории. [c.13]

Примеры нестационарных электрических полей. Пусть внешняя поверхность области 1/+ расположена на бесконечности. Тогда область V + представляет собой безграничное пространство, функция Грина для которого равна (4тггрр ) . Рассмотрим несколько [c.719]

Структура уравнений. Остановимся несколько более подробно на структуре ряда теории возмущений для одночастичной функции Грина надконденсатных частиц. График любого порядка можно разделить на несколько неприводимых частей, соединенных между собой одной линией, соответствующей функции 0 ° х—л ). Таким образом, любая диаграмма для функции Грина представляет собой цепочку собственно энергетических диаграмм, связанных нулевыми функциями Грина. На рис. 63 приведено несколько примеров, где кружками обозначены неприводимые собственно энергетические части, структуру которых мы не конкретизируем. Наличие конденсата приводит к тому, что среди собственно энергетических диаграмм появляются диаграммы нового типа, отсутствовавшие во всех рассмотренных в предшествующих главах задачах. Эти диаграммы возникают в результате взаимодействия надконденсатной частицы с частицами конденсата и содержат в некоторых вершинах операторы [c.275]

На рис. 65 приведено несколько примеров диаграмм для функции Грина надконденсатных частиц. [c.277]

Наконец, рассматриваемые явления имеют определенную эври- стическую и педагогическую ценность. Они предоставляют возможность изучения на наглядном ) примере нерелятивистской квантовой электродинамики и освоения многих важных понятий теоретической физики — функций Грина, флуктуационно-диссипатив-ной теоремы и т. д. Хотя непосредственная тема книги довольно узка, попутно затрагивается достаточно широкий круг методических вопросов теории взаимодействия света и вещества. Чтобы заинтересовать читателя, перечислим некоторые из них в умышленно парадоксальной форме Может ли раскаленное прозрачное вещество излучать свет Можно ли с помощью закона Кирхгофа описать эффект Брауна—Твисса Может ли в тепловом излучении существовать не равный нулю средний куб электрического поля [c.10]

Физическая интерпретация. Физическая интерпретация полученных результатов основана на том, что функции Грина имеют смысл функций распространения или пропагаторов, а их полюсы соответствуют связанным состояниям или состояниям свободных частиц. Вспомним, к примеру, интерпретацию решения уравнения (6.15а), полученного методом итераций. Например, полный пропагатор для двух частиц в (9.47) или (9.47а) представлен в виде суммы двух членов первый член представляет редуцированный пропагатор. Второй член разумно интерпретировать следующим образом. Сначала происходит распространение частиц, описываемое редуцированным пропагато-ром, после которого следует вертекс Я, соответствующий испусканию двух частиц и образованию квазисвязанного состояния или квазичастицы. Движение последней описывается пропагатором 1/А. Ее последующий распад описывается вертексом Я Ф, а распространение испускаемой пары частиц — функцией Грина На основании указанной физической интерпретации рассматриваемый метод называют также методом квазичастиц. [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...